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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标 )必修 1 1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素 |元素的特征 ，例如, 5|Nxxx且2、常用数集及其表示方法（1）自然数集N（又称非负整数集） ：0、1、 2、3、,（2）正整数集N*或 N+：1、2、 3、 ,（3）整数集Z：-2、-1、0、1、,（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R：全体实数的集合（6）空集 ：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于例如： a 是集合 A 的元素，就说
2、a 属于 A，记作 aA4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（ 1）子集的概念如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素， 那么集合A 叫做集合B 的子集 (如图 1)，记作BA或AB. 若集合 P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q，记作QP（ 2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合 B 的真子集 (如图 2). AB或BA. （ 3） 集合相等：若集合 A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合 B,记作 A=B. BAABBA,5、重要结论（1）传递性：若BA，CB，则CA（2）空 集是任
3、意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、 含有n个元素的集合, 它的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个( 即不计空集 ) ；非空的真子集有2n2 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集（ 1）一般地，由所有属于A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB（读作 A 交 B） ，即 AB=x| x A，且 xB B A A,B (图 1) 或B A (图 2) AB 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1
4、 页，共 19 页 - - - - - - - - - （ 2）一般地， 对于给定的两个集合A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作AB（读作 A 并 B） ，即 AB=x| x A，或 xB （ 3）若 A 是全集 U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作ACU, A,U|ACUxxx且注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。8、映射观点下的函数概念如果 A，B都是非空的数集，那么 A到 B的映射 f ：A B就叫做 A到 B的函数， 记作 y=f(x)，其中 xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域， 象
5、的集合 C （CB）叫做函数y=f(x)的值域 .函数符号y=f(x)表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数f(x). 9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如3122xxy00 xx10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）分式的分母不为零；01,11:xxy则如偶次方根的被开方数大于或等于零；05,5:xxy则如对数的底数大于且不等于；10),2(log:aaxya且则如对数的真数大于；02),2(log:xxya则如指数为的底不能为零；xmy)1(:如, 则01m11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足)()(xfxf，
6、 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足)()(xfxf，偶函数的图象关于y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;若奇函数在原点有定义,则0)0(f根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数)(xf在某区间上是增函数或减函数，那么说)(xf在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增 /减）区间13、一元二次方程20
7、axbxc(0)a（1）求根公式 :aacbbx2422, 1（2）判别式：acb42（3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。（4）根与系数的关系韦达定理:abxx21，acxx2114、二次函数：一般式cbxaxy2(0)a；两根式)(21xxxxay(0)aAB ACUA 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - （ 1）顶点坐标为24(,)24bacbaa； （ 2）对称
8、轴方程为：x=ab2；（ 3）当0a时，图象是开口向上的抛物线，在x=ab2处取得最小值abac442当0a时，图象是开口向下的抛物线，在x=ab2处取得最大值abac442（ 4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。15、函数的零点使0)(xf的实数0 x叫做函数的零点。例如10 x是函数1)(2xxf的一个零点。注：函数xfy有零点函数xfy的图象与x 轴有交点方程0 xf有实根16、函数零点的判定：如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf。那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存
9、在0,cfbac使得。17、分数指数幂（0,am nN，且1n）（ 1）nmnmaa. 如233xx；(2)nmnmnmaaa11. 如2331xx； （3）()nnaa；（ 4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 18、有理指数幂的运算性质（Qsra, 0）（1）srsraaa；（2）rssraa )(；（3）rrrbaab)(19、指数函数xay（0a且1a） ，其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R 1a10a图象性质（1）定义域： R （2）值域：（0， +）（3）过定点（ 0，1） ，即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R
10、上是减函数x y 0 x y 0 1 x y 0 1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 20、若Nab，则叫做以为底N的对数。记作：bNalog（1,0 aa，0N）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN21、对数的性质（ 1）零和负数没有对数，即Nalog中0N；（ 2）1 的对数等于0，即01loga；底数的对数等于1，
11、即1log aa22、常用对数Nlg：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：NNlglog10自然对数Nln：以 e(e=2.71828,) 为底的对数叫做自然对数，记为：NNelnlog23、对数恒等式：NaNalog24、对数的运算性质（a0，a1，M 0，N0）(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR（注意公式的逆用）25、对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m,且1m,0N). 推论或1loglogabba；loglogmnaanbbm. 26、 对数函数xyal
12、og（0a，且1a） ：其中，x是自变量，a叫做底数， 定义域是),0(1a10a图像性质定义域： (0, ) 值域： R 过定点（ 1，0）增函数减函数取值范围0 x1 时， y1 时， y0 0 x0 x1 时， y 0时，有22xaxaaxa. 小于取中间 22xaxaxa或xa. 大于取两边 (2)、解一元二次不等式)0( , 02acbxax的步骤：求判别式acb42000求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根画二次函数cbxaxy2的图象结合图象写出解集02cbxax解集12xxxxx或abxx2R 02cbxax解集21xxxx注：02cbxax)0(a解集为 R 02c
13、bxax对Rx恒成立0（ 3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下) （ 4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式11xx：先移项;011xx通分; 0)1(xxx再除变乘0)12(xx，解出。87、线性规划：（ 1）一条直线将平面分为三部分（如图）：（ 2）不等式0CByAx表示直线0CByAx某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1， 0） 。（ 3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标
14、函数z，最大的为最大值。0CByAx直线0CByAx0CByAx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 选修 1-1 88、充要条件（1）若pq，则p是q充分条件，q是p必要条件 . （2）若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 89、逻辑联结词。 “p 或 q” 记作： pq; “p 且 q” 记作： pq; 非 p 记作： p 90、四种命
15、题：原命题：若p，则 q 逆命题：若q，则 p 否命题：若p，则 q 逆否命题：若q，则 p 注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；（2） p 是指命题P 的否定，注意区别“否命题”。例如命题P： “若0a，则0b” ，那么 P的“否命题”是： “若0a，则0b” ，而 p 是： “若0a，则0b” 。91、全称命题： 含有“任意”、 “所有” 等全称量词 （记为）的命题， 如 P：0)1( ,2xRx特称命题：含有“存在”、 “有些”等存在量词（记为）的命题，如q：1,2xRx注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如上述命题p 和 q 的
16、否定： p：0) 1( ,2mRm，q：1,2xRx92、椭圆定义：若F1， F2是两定点， P为动点，且aPFPF221(a为常数 )则 P 点的轨迹是椭圆。标准方程： 焦点在 x 轴:12222byax)0(ba；焦点在 y 轴:12222bxay)0(ba；长轴长 =a2，短轴长 =2b 焦距： 2c 恒等式：a2-b2=c2离心率：ace93、双曲线定义：若F1， F2是两定点，aPFPF221（a为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。图形：如图标准方程：焦点在 x 轴:12222byax)0,0(ba焦点在 y 轴:12222bxay)0,0(ba实轴长 =a2，虚轴长 =2b，焦距：
17、 2c 恒等式：a2+b2=c2离心率：ace名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 渐近线方程： 当焦点在 x 轴时， 渐近线方程为xaby；当焦点在y 轴时， 渐近线方程为xbay等轴双曲线：当ba时，双曲线称为等轴双曲线，可设为22yx。94、抛物线定义：到定点F 距离与到定直线l的距离相等的点M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH ） 。图形：方程)0( ,22ppxy22, (0 )yp
18、xp22, (0 )xp yp22, (0 )xp yp焦点：F)0,2(pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2p准线方程：2px2px2py2py注意：几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；95导数的几何意义：)(0/xf表示曲线)(xf在0 xx处的切线的斜率k；导数的物理意义：)(0/xf表示运动物体在时刻0 x处的瞬时速度。96、几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） . (2) )()(1Qnnxxnn. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；aaaxxln)(. (6) xxee )(;. （7）21)1(x
19、x97、导数的运算法则（1）()uvuv. （2）()uvuvuv. （3）2()(0)uu vuvvvv. 98函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间（ a , b）内，如果0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增；如果0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。注：若函数)(xfy在这个区间内单调递增，则0)( xf若函数)(xfy在这个区间内单调递减，则0)( xfF)0,2(p准线F M H 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
20、- - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 99、判别)(0 xf是极大（小）值的方法(1) 求导)(xf；（2）令)(xf=0，解方程，求出所有实根0 x（ 3）列表，判断每一个根0 x左右两侧)( xf的正负情况：如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤：（1）求函数)(xf的所有极值；（2）求闭区间端点函数值)(),(bfaf；（3）将各极值与)(),(bfaf比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注
21、意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即)(0 xf，千万不能写成导数值)(0/xf。（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。选修 1-2 101、复数zabi，其中a叫做实部，b叫做虚部(1) 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）(2) 当 a=0,b 0 时,z=bi为纯虚数 ; (3) 当 b=0 时,z=a 为实数 ; (4) 复数 z 的共轭复数是biaz(5) 复数zabi的模|z=22ab. (6)i2 =-1, （ -i ）2 =-1. (7) 复数zabi对应复平面上的点( , )a b，102、复数的
22、四则运算法则(1) 加：()()()()abicdiacbd i; (2) 减：()()()()abicdiacbd i; (3) 乘：()()()()abicdiacbdbcad i; 类似多项式相乘(4) 除：)()(dicdicdicbiadicbia（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”）103、常用不等式：（ 1）重要不等式 : 若,a bR，则222abab( 当且仅当a b 时取“ =”号) （ 2）基本不等式 : 若0,0 ba，则abba2 ( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等当ab为定值时，ba有最小值，简称
23、“积定和最小”当ba为定值时，ab有最大值，简称“和定积最大”极大值极小值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 104、推理：（ 1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）（ 2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理） 、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）105、证明：（ 1）直接证明：包括综
24、合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）（ 2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。坐标系与参数方程106、极坐标系：其中| OM（1）如图，点M的极坐标为),(（2）极坐标与直角坐标的互化公式：sin,cosyx; 222yx，xytan107、参数方程形如)( ,)()(为参数ttgytfx,（*）参数方程是借助参数t，间接给出yx,之间的关系 , 而普通方程是直接给出x与y的关系，如01yx（1）圆222ryx的参数方程是)( ,sincos为参数ryrx（2）椭圆12222byax的参数方程)0,( ,
25、sincosbabyax为参数（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。消去参数的方法有：公式法：用公式1cossin22等代入法： 方程（*）中，由)(tfx解出)(xht， 代入)(tgy加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数t请 同 学 们 试 着 将 圆 的 参 数 方 程)( ,si nc o s为 参 数rbyrax， 化 为 圆 的 标 准 方 程_，说说你用的是什么方法？提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。极点 O 极径点 M),(yx)极角极轴xy x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
26、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 几何证明选讲108平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰109平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论： 平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例110判定两个三角形相似的方法：预备定理
27、：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边111相似三角形的性质定理：1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比2）相似三角形周长的比等于相似比3）相似三角形面积的比等于相似比的平方112直角三角形的射影定理如图RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则（1）BDADCD2（2）CDABBCAC（3）ABADAC2；ABBDBC2113圆周角定理
28、：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角114圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论 1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线115弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角如图：21116与圆有关的定理：（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条
29、线段长的积相等；（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线1（2 C A B D -1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 平分两条切线的夹角。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -