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1、第1页（共 18页）平面向量高考试题精选(一)一选择题（共14 小题）1 （ 2015?河北）设D 为ABC 所在平面内一点，则（）ABCD2 （ 2015?福建）已知，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A13 B15 C19 D21 3 （2015?四川） 设四边形 ABCD 为平行四边形， |=6，|=4，若点 M、N 满足，则=（）A20 B15 C9 D6 4 （2015?安徽） ABC 是边长为2 的等边三角形， 已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A| |=1 BC? =1 D （4+）5 （ 2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成
2、立的是（）A| | | | B| | | C （）2=|2D （）?（）=226 （ 2015?重庆）若非零向量，满足 | |=| |，且（）（3 +2） ，则与的夹角为（）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页第2页（共 18页）7 （2015?重庆）已知非零向量满足 |=4|，且（）则的夹角为（）ABCD8 （ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（ 1，0） ，B（0，） ，C（3，0） ，动点 D 满足 |=1，则 |+|的取值范围是（）A4，6B1，+1 C 2，2D1，+19 （ 2
3、014?桃城区校级模拟）设向量，满足，=60 ，则 | |的最大值等于（）A2 BCD1 10 （2014?天津）已知菱形ABCD 的边长为2，BAD=120 ，点 E、F 分别在边BC、 DC上，=，=，若?=1，?=，则 + =（）ABCD11 （2014?安徽）设，为非零向量，| |=2|，两组向量，和，均由 2 个和 2 个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4| |2，则与的夹角为（）ABCD0 12 （2014?四川）平面向量=（1，2） ，=（4，2） ，=m+（m R） ，且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A 2 B 1 C1 D2 13 （2014?新课标 I）
4、设 D，E，F分别为 ABC 的三边 BC，CA ，AB 的中点，则+=（）AB CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页第3页（共 18页）14 （2014?福建） 设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D4二选择题（共8 小题）15 （2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、 y R若、的夹角为 30 ，则的最大值等于16 （2013?北京）已知点A（1， 1） ，B（3，0） ，C（2，1） 若平面区域D 由所有满足（12，
5、01）的点 P 组成，则D 的面积为17 （2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD 中， APBD ，垂足为P，且 AP=3，则=18 （2012?北京）己知正方形ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点则的值为19 （2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD BC，ADC=90 ，AD=2 ，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则的最小值为20 （2010?浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120 ，则 |的取值范围是21 （2010?天津）如图，在ABC 中， AD AB ，则=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
6、第 3 页，共 18 页第4页（共 18页）22 （2009?天津）若等边ABC 的边长为，平面内一点M 满足=+，则=三选择题（共2 小题）23 （2012?上海）定义向量=（a，b）的 “ 相伴函数 ” 为 f（x）=asinx+bcosx，函数 f（x）=asinx+bcosx 的“ 相伴向量 ” 为=（a，b） （其中 O 为坐标原点） 记平面内所有向量的“ 相伴函数 ” 构成的集合为S（1）设 g（x）=3sin（x+） +4sinx，求证： g（x） S；（2）已知 h（x）=cos（x+ ） +2cosx，且 h（x） S，求其 “ 相伴向量 ” 的模；（3）已知 M（a， b）
7、 （b 0）为圆 C： （x 2）2+y2=1 上一点，向量的“ 相伴函数 ” f（x）在 x=x0处取得最大值当点M 在圆 C 上运动时，求tan2x0的取值范围24 （2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1 的左、右焦点（ ）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点 P的作标；（ ）设过定点M（0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点A、B，且 AOB 为锐角（其中O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页第5页（共 18页）平面向量高考试题精选(一)参考答
8、案与试题解析一选择题（共14 小题）1 （ 2015?河北）设D 为ABC 所在平面内一点，则（）ABCD解：由已知得到如图由=；故选： A2 （ 2015?福建）已知，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A13 B15 C19 D21 解：由题意建立如图所示的坐标系，可得 A（0， 0） ，B（，0） ，C（0，t） ，P（1，4） ，=（1， 4） ，=（ 1，t4） ，=（1） 4（t4）=17（+4t） ，由基本不等式可得+4t 2=4，17（+4t） 174=13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
9、 页，共 18 页第6页（共 18页）当且仅当=4t 即 t=时取等号，的最大值为13，故选： A3 （2015?四川） 设四边形 ABCD 为平行四边形， |=6，|=4，若点 M、N 满足，则=（）A20 B15 C9 D6 解： 四边形 ABCD 为平行四边形，点M、N 满足，根据图形可得：=+=，=，=，=?（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9 故选： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页第7页（共 18页）4 （2015?安徽） ABC 是边长为2 的等边三角形， 已知向量，满
10、足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A| |=1 BC? =1 D （4+）解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，满足=2，=2+，又，所以，所以=2，=1 2 cos120 =1，4=4 1 2 cos120 =4，=4，所以=0，即（ 4）=0，即=0，所以；故选 D5 （ 2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A| | | | B| | | C （）2=|2D （）?（）=22解：选项 A 正确， |=| |cos，|，又|cos，| 1，| | |恒成立；选项 B 错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得| | |；选项 C 正确，由向量数量积的运算可得（）
11、2=|2；选项 D 正确，由向量数量积的运算可得（）?（）=22故选： B 6 （ 2015?重庆）若非零向量，满足 | |=| |，且（）（3 +2） ，则与的夹角为（）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页第8页（共 18页）解： （）（3+2） ，（）?（3+2）=0，即 3222? =0，即?=3222=2，cos，=，即，=，故选： A 7 （2015?重庆）已知非零向量满足 |=4|，且（）则的夹角为（）ABCD解：由已知非零向量满足 |=4|，且（） ，设两个非零向量的夹角为 ，所以? （） =0
12、， 即 2=0， 所以 cos =， 0， ， 所以；故选 C8 （ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（ 1，0） ，B（0，） ，C（3，0） ，动点 D 满足 |=1，则 |+|的取值范围是（）A4，6B1，+1 C 2，2D1，+1】解： 动点 D 满足 |=1，C（3，0） ，可设 D（3+cos ， sin ） （ 0，2 ） ） 又 A（ 1， 0） ，B（0，） ，+=|+|=， （其中 sin =，cos =）1 sin（ + ） 1，=sin（ + ）=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，
13、共 18 页第9页（共 18页）|+|的取值范围是故选： D9 （ 2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，=60 ，则 | |的最大值等于（）A2 BCD1 解： ，的夹角为 120 ，设，则；=如图所示则AOB=120 ；ACB=60 AOB+ ACB=180 A，O，B，C 四点共圆由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当 OC 为直径时，模最大，最大为2 故选 A 10 （2014?天津）已知菱形ABCD 的边长为2，BAD=120 ，点 E、F 分别在边BC、 DC上，=，=，若?=1，?=，则 + =（）ABCD解：由题意可得若?=（+） ?（+）=+=2 2 cos120 +?+
14、?=2+4 +4 +2 2 cos120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页第10页（共 18页）=4 +4 22=1，4 +4 2=3 ?=?（）=（1 ）?（1 ）=（1 ）?（1 ）=（1 ） （1 ） 2 2 cos120 =（1 +） （ 2）=，即 += 由求得 + =，故答案为：11 （2014?安徽）设，为非零向量，| |=2|，两组向量，和，均由 2 个和 2 个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4| |2，则与的夹角为（）ABCD0 解：由题意，设与的夹角为 ，分类讨论可得?+?+
15、?+?=? +? +? +? =10|2，不满足?+?+?+?=? +? +? +? =5|2+4|2cos ，不满足；?+?+?+?=4? =8|2cos =4|2，满足题意，此时cos =与的夹角为故选： B12 （2014?四川）平面向量=（1，2） ，=（4，2） ，=m+（m R） ，且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A 2 B 1 C1 D2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页第11页（共 18页）解： 向量=（1，2） ，=（4，2） ，=m+=（m+4，2m+2） ，又与的夹角等于与的夹角，=，=
16、，=，解得 m=2，故选： D 13 （2014?新课标 I）设 D，E，F分别为 ABC 的三边 BC，CA ，AB 的中点，则+=（）AB CD【解答】 解： D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，+=（+） +（+）=+=（+）=，故选： A 14 （2014?福建） 设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D4解： O 为任意一点，不妨把A 点看成 O 点，则=，M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，=2=4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
17、- - -第 11 页，共 18 页第12页（共 18页）故选： D二选择题（共8 小题）15 （2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、 y R若、的夹角为 30 ，则的最大值等于2解： 、为单位向量，和的夹角等于30 ，=1 1 cos30 =非零向量=x+y， | |=，=，故当=时，取得最大值为2，故答案为216 （2013?北京）已知点A（1， 1） ，B（3，0） ，C（2，1） 若平面区域D 由所有满足（12，01）的点 P 组成，则D 的面积为3解：设 P的坐标为（ x，y） ，则=（ 2，1） ，=（1，2） ，=（x1， y+1） ，解之得12，01， 点 P
18、 坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF 及其内部其中 C（4， 2） ，D（6，3） ，E（ 5，1） ，F（3，0）|CF|=，点 E（5，1）到直线CF：2x y6=0 的距离为d=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页第13页（共 18页）平行四边形CDEF 的面积为S=|CF| d=3， 即动点 P 构成的平面区域D 的面积为3 故答案为： 3 17 （2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP=3，则=18【解答】 解：设 AC 与 B
19、D 交于点 O，则 AC=2AO APBD ，AP=3，在 RtAPO 中， AOcosOAP=AP=3 |cosOAP=2| cosOAP=2|=6，由向量的数量积的定义可知，=|cosPAO=3 6=18 故答案为： 18 18 （2012?北京）己知正方形ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点则的值为1【解答】 解：因为=1故答案为： 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页第14页（共 18页）19 （2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD BC，ADC=90 ，AD=2 ，BC=1，
20、P 是腰DC 上的动点，则的最小值为5解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B（1，a） ，C（ 0，a） ，D（0，0）设 P（ 0，b） （ 0 b a）则=（2， b） ，=（1，a b） ，=（5，3a 4b）= 5故答案为520 （2010?浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120 ，则 |的取值范围是（0，解：令用=、=，如下图所示：则由=，又与的夹角为120 ，ABC=60 又由 AC=由正弦定理得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页第15页（共
21、 18页）|=| （0，故|的取值范围是（0，故答案：（0，21 （2010?天津）如图，在ABC 中，AD AB，则=【解答】 解：，cosDAC=sin BAC ，在ABC 中，由正弦定理得变形得 |AC|sinBAC=|BC|sinB ，=|BC|sinB=，故答案为22 （2009?天津）若等边ABC 的边长为，平面内一点M 满足=+，则=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页第16页（共 18页）解：以 C 点为原点，以AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得，=+=，M，=（，）?（，）=2故答案为：
22、 2三选择题（共2 小题）23 （2012?上海）定义向量=（a，b）的 “ 相伴函数 ” 为 f（x）=asinx+bcosx，函数 f（x）=asinx+bcosx 的“ 相伴向量 ” 为=（a，b） （其中 O 为坐标原点） 记平面内所有向量的“ 相伴函数 ” 构成的集合为S（1）设 g（x）=3sin（x+） +4sinx，求证： g（x） S；（2）已知 h（x）=cos（x+ ） +2cosx，且 h（x） S，求其 “ 相伴向量 ” 的模；（3）已知 M（a， b） （b 0）为圆 C： （x 2）2+y2=1 上一点，向量的“ 相伴函数 ” f（x）在 x=x0处取得最大值当点
23、M 在圆 C 上运动时，求tan2x0的取值范围【解答】 解： （1） g（x）=3sin（ x+）+4sinx=4sinx+3cosx ，其 相伴向量 =（4， 3） ，g（ x） S（2）h（x） =cos（x+ ）+2cosx =（cosxcos sinxsin ） +2cosx =sin sinx+（cos +2）cosx 函数 h（x）的 相伴向量 =（ sin ，cos +2） 则|=（3）的 相伴函数 f（x）=asinx+bcosx=sin（x+ ） ，其中 cos =， sin =当 x+ =2k +，k Z 时， f（x）取到最大值，故x0=2k + ，k Z精选学习资料
24、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页第17页（共 18页）tanx0=tan（2k + ）=cot =，tan2x0=为直线 OM 的斜率，由几何意义知： ，0）（0，令 m=，则 tan2x0=，m ，0）（0，当 m0 时，函数tan2x0=单调递减， 0tan2x0；当 0m时，函数tan2x0=单调递减， tan2x00综上所述， tan2x0 ，0）（0，24 （2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1 的左、右焦点（ ）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点 P的作标；（ ）设过定点M（0，2）的直线 l 与
25、椭圆交于不同的两点A、B，且 AOB 为锐角（其中O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围】解： （）易知 a=2，b=1，设 P（x，y） （ x0，y0） 则， 又，联立，解得，（ ）显然 x=0 不满足题设条件可设l 的方程为y=kx+2 ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，由=（16k）24?（1+4k2）?12016k23（ 1+4k2） 0，4k230，得又AOB 为锐角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页第18页（共 18页）又 y1y2=（ kx1+2） （kx2+2）=k2x1x2+2k（ x1+x2）+4 x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4 =综可知，k 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页