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1、1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22xpy外一点00(,)P xy的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为 Q。（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x xp yy；（2）求证：112|PCPDPQ. 2. 已知定点F（1，0） ，动点 P在 y 轴上运动，过点P 作 PM 交 x 轴于点 M，并延长MP 到点 N，且. | ,0PNPMPFPM（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于A，B 两点，若304|64, 4ABOBOA且，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . 3. 如图，椭圆134
2、:221yxC的左右顶点分别为A、B，P为双曲线134:222yxC右支上（x轴上方）一点，连AP交 C1于 C，连 PB并延长交C1于 D，且 ACD与 PCD的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD的倾斜角 . 4. 已知点( 2,0),(2,0)MN， 动点P满足条件|2 2PMPN.记动点P的轨迹为W. （）求W的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页（）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值 . 5. 已知曲线 C的方程为 : kx2+(4-k)y2=k+1,(k R) （）若曲线
3、 C是椭圆，求 k的取值范围；（）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线的方程；（）满足（）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线 l： y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。6. 如图（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P满足：6.PMPN(1)求点 P的轨迹方程；(2)若21cosPMPNMPN,求点 P的坐标 . 7. 已知F为椭圆22221xyab(0)ab的右焦点， 直线l过点F且与双曲线1222byax的两条渐进线12,ll分别交于点,M N，与椭圆交于点,A B. （I）若3MON，双曲线的焦距为4。求
4、椭圆方程。（II）若0OMMN（O为坐标原点） ，13FAAN，求椭圆的离心率e。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页8. 设曲线2212:1xCya（a为正常数）与22:2()Cyxm在x轴上方只有一个公共点P。（）求实数m的取值范围（用a表示） ；（）O为原点，若1C与x轴的负半轴交于点A，当102a时，试求OAP的面积的最大值（用a表示） 。1. （1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为200()2 ()xxp yy，点Q，C，D的坐标分别为331122() () ()xyxyxy， ， ，点(0 ,0)P，直线
5、ykx，200()2 ()xxp kxy220002()20 xxpk xxpy一方面。要证112|PCPDPQ化斜为直后只须证：123112xxx由于0012212122()112xpkxxxxx xxpk另一方面，由于(0,0)P所以切点弦方程为：000()(2)x xxp yy所以3x0202xpkxpk002312xpkxxpk从而123112xxx即112|PCPDPQ2. （1）设动点N 的坐标为（ x,y） ，则),2,(),0)(2, 0(),0,(yxPMxyPxM2 分040),2, 1(2yxPFPMyPF得由，因此，动点的轨迹方程为).0(42xxy 4分x y O 2
6、2xpy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页（2）设 l 与抛物线交于点A（x1,y1） ,B(x2,y2)，当 l 与 x轴垂直时，则由6424| ,22,22,421AByyOBOA得， 不合题意，故与 l与 x轴不垂直，可设直线 l 的方程为 y=kx+b(k0),则由4, 42121yyxxOBOA得6 分由点 A，B在抛物线.8,4,4,)0(4212221212yyxyxyxxy故有上又 y2=4x, y=kx+b 得 ky24y+4b=0,8 分所以)3216(1|),21(16.2, 8422222kk
7、kABkkbkb 10 分因 为.48 0)3216(196,304|64222kkkAB所以解 得直 线l 的 斜率的取值 范围 是 1 ,2121, 1.12 分3. 由题意得 C 为 AP中点，设)0, 2(),(00AyxC，),2, 22(00yxP把 C 点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得,124)22(3124320202020yxyx解之得：)0, 2(),3, 4(),23, 1(,23100BPCyx又故故直线 PD 的斜率为232403，直线 PD的方程为),2(23xy联立)23,1 (134)2(2322Dyxxy解得，故直线CD的倾斜角为904. 解法一：（）由
8、 |PM| |PN|=2 2知动点P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实半轴长2a又半焦距c=2，故虚半轴长222bca所以W 的方程为22122xy,2x（）设A，B 的坐标分别为11(,)x y, 22(,)xy当 ABx 轴时 ,12,xx从而12,yy从而221212112.OA OBx xy yxy当 AB与 x轴不垂直时 ,设直线 AB 的方程为ykxm,与 W 的方程联立 ,消去 y 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页222(1)220.kxkmxm故1222,1kmxxk21222,1mx
9、xk所以1212OA OBx xy y1212()()x xkxm kxm221212(1)()kx xkm xxm2222222(1)(2)211kmk mmkk22221kk2421k. 又因为120 x x,所以210k,从而2.OA OB综上 ,当 ABx轴时 , OA OB取得最小值2. 解法二 : (）同解法一. （）设A，B 的坐标分别为，则11(,)x y, 22(,)xy,则22()()2(1,2).iiiiiixyxyxyi令,iiiiiisxy txy则2,i ist且0,0(1,2)iisti所以1212OA OBx xy y1122112211()()()()44st
10、ststst1 21 21 2 1 2112,22sst ts s t t当且仅当1 21 2sst t,即1212,xxyy时” ” 成立 . 所以OA OB的最小值是2. 5. (1) 当 k=0或k=-1或 k=4时， C表示直线；当k0且k-1且k4时方程为kkkkkkkkkkykkx411,04101:,141122且为椭圆的充要条件是即是 0k2或 2k0，存在满足条件的P、Q，直线 PQ的方程为21xy6. (1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N 为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 . 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy(2)
11、由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N 构成三角形 .在 PMN 中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN将代入，得22242(2).PMPNPMPN故点 P在以 M、N 为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上. 由(1)知，点 P的坐标又满足22195xy，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页由方程组22225945,33.xyxy解得3 3,25.2xy即 P点坐标为3 353 353 353 35(,)
12、22222222、（，-）、（ -，）或（，-）.7. 解： （ I）3MON，NM ,是直线l与双曲线两条渐近线的交点，336tanab，即ba32 分双曲线的焦距为4，422ba4 分解得，1, 322ba椭圆方程为1322yx 5 分（II）解：设椭圆的焦距为c2，则点F的坐标为)0,(c0ONOM，1ll直线1l的斜率为ab，直线l的斜率为ba，直线l的方程为)(cxbay7 分由xabyaxbay)(解得cabycax2即点),(2cabcaN设),(yxA由ANFA31， 得),(31,2ycabxcaycx即)(31)(312ycabyxcacxcabycacx44322)4,4
13、3(22cabcacA 10 分。点A在椭圆上，11616)3(2222222cacaac12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页22422216)3(caaac，222161) 13(ee0210924ee9752e375e椭圆的离心率是375e。8. （）由222222212(21)02()xyxa xmaayxm， 设222( )2(21)f xxa xma，则问题（）转化为方程在区间(,)a a上有唯一解：若2102am，此时2Pxa，当且仅当2aaa，即01a适合；若( )()0f a fa，则ama；若
14、()0fama，此时22Pxaa， 当且仅当22aaaa，即01a时适合；若( )0f ama，此时22Pxaa，但22aaa，从而ma。综上所述，当01a时，212am或ama；当1a时，ama。（）OAP的面积是12PSay。因为102a，所以有两种情形：当ama时，22021aaama，由唯一性得2221Pxaaam。显然，当ma时，Px取得最小值22aa，从而212PPxy取得最大值22 aa，所以有2maxSa aa；当212am时，2Pxa，21Pya，此时2112Saa。因此，有当22112a aaaa，即103a时，2max112Saa；当22112a aaaa，即1132a时，2maxSaaa。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页