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1、2008 届全国百套高考数学模拟试题分类汇编07 立体几何三、解答题 ( 第四部分 ) 76、( 江苏省前黄高级中学2008 届高三调研 )如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4，AD=3，AA1= 2E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值解：以A为原点，1,AB AD AA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0 ， 3，0) 、D1(0 ，3，2)、E(3 ，0，0) 、F(4 ，1，0)、C1(4 ，3，2) 于是，1(3, 3,0),(1,
2、3,2)DEEC，1( 4,2,2)FD（1）设EC1与FD1所成角为，则11222222111( 4)322221cos| |14|132( 4)22EC FDECFD（2）设向量( , )x y zn与平面C1DE垂直，则有133013202DExyxyzxyzECnn(, )( 1, 1,2),222zzzzn其中z0取n0=(-1 ，-1 ，2) ，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量1AA=（0， 0，2）与平面CDE垂直，n0与1AA所成的角 为二面角C-DE-C1的平面角01011010226cos3|114004AAAAnn，2tan277、 ( 江苏省泰兴市2007200
3、8 学年第一学期高三调研) 已知等腰梯形PDCB中 （如图 1） ，PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图 2）. （）证明：平面PAD PCD ；（）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:MACBPDCMAVV；（）在M满足（）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC. （I ）证明：依题意知：ABCDPADADCD面面又.PADDC平面 2分.PCDPADPCDDC平面平面面又4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9
4、 页（II ）由（ I ）知PA平面ABCD平面PAB平面ABCD. 5分在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h 则312213131hhhSVABCABCM21112)21 (3131PASVABCABCDP 8 分要使21, 1:23:)321(, 1:2:hhhVVMACBPDCMA解得即即M为PB的中点 . 10 分（）连接BD交 AC于 O ，因为 AB/CD， AB=2 ，CD=1 ，由相似三角形易得BO=2OD O不是 BD的中心10 分又 M为 PB的中点在 PBD中， OM与 PD不平行 OM 所以直线与PD所在直线相交又 OM 平面 AMC 直线 PD
5、与平面 AMC 不平行 . 15 分78、( 江苏省南通通州市2008 届高三年级第二次统一测试) 如图已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，AC=BC，M、N 、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点（1）求证：面PCC1面MNQ；（2）求证：PC1面MNQ主要得分步骤：（1）AB面PCC1；4MNAB，故MN面MNQMN在平面MNQ内，面PCC1面MNQ； 7（2）连AC1、BC1，BC1NQ，ABMN面ABC1面MNQ 11PC1在面ABC1内PC1面MNQ 1379、( 江西省鹰潭市2008 届高三第一次模拟) 已知斜三棱柱111ABCA B C,90BCA,2A
6、CBC,1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D, 又知11BAAC. ( ) 求证：1AC平面1A BC；( ) 求1CC到平面1A AB的距离； ( ) 求二面角1AA BC的大小 . 解法 1：( ) 1A D平面ABC,平面11AAC C平面ABC, 又BCAC, BC平面11AAC C, 得1BCAC, 又11BAAC, 1AC平面1A BC. 4 分( ) 11ACAC, 四边形11AAC C为菱形 , 故12AAAC, 又D为AC中点 , 知160A AC. 取1AA中点F, 则1AA平面BCF, 从而面1A AB面BCF, 6 分过C作CHBF于H, 则CH面1A AB, 在R
7、t BCF中,32,BCCF, 故2 217CH, 即1CC到平面1A AB的距离为2 217CH. 8 分 ( ) 过H作1HGA B于G, 连CG, 则1CGA B, 从而CGH为二面角1AA BC的平面角 , 在1Rt A BC中,12ACBC,2CG, 10 分BAC1A1B1CDGHFBACD1A1B1C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页在Rt CGH中,427sinCHCGCGH, 故二面角1AA BC的大小为427arcsin. 12 分解法2：( ) 如图 , 取AB的中点E, 则/DEBC, BCA
8、C, DEAC, 又1A D平面ABC, 以1,DE DC DA为, ,x y z轴建立空间坐标系, 1 分则(0, 1,0)A,(0,1,0)C,(2,1,0)B,1(0,0, )At,1(0,2, )Ct,1(0,3, )ACt, 1( 2, 1, )BAt,(2,0,0)CB, 由10AC CB, 知1ACCB, 又11BAAC, 从而1AC平面1A BC. 4 分 () 由21130ACBAt, 得3t. 设平面1A AB的法向量为( , , )nx y z,13(0,1,)AA,(2,2,0)AB,130220n AAyzn ABxy, 设1z, 则33(,1)n. 6 分点1C到平
9、面1A AB的距离1|2 217|ACnnd. 8 分 () 设面1A BC的法向量为( , , )mx y z,13(0, 1,)CA,(2,0,0)CB, 13020m CAyzm CBx. 10 分设1z, 则3(0,1)m, 故77| |cos,m nmnm n, 根据法向量的方向可知二面角1AA BC的大小为77arccos. 12 分80、( 宁夏区银川一中2008 届第六次月考 ) 如图，在四棱锥PABCD 中，侧面 PAD是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2 的菱形， BAD=60 ， N是 PB中点，截面DAN交 PC于 M. （）求PB与平面 AB
10、CD 所成角的大小；（）求证：PB 平面 ADMN ；（）求以AD为棱， PAD与 ADMN 为面的二面角的大小. （I ）解：取AD中点 O ，连结 PO ，BO. PAD是正三角形，所以PO AD ， 1 分又因为平面PAD 平面 ABCD ，所以， PO 平面 ABCD ， 3 分BO为 PB在平面 ABCD上的射影，所以 PBO为 PB与平面 ABCD 所成的角 . 4 分由已知 ABD为等边三角形，所以PO=BO=3，所以 PB与平面 ABCD所成的角为45. 5 分（） ABD是正三角形，所以AD BO ，所以 AD PB ，6 分又， PA=AB=2 ，N为 PB中点，所以AN
11、PB ，8 分所以 PB 平面 ADMN. 9 分（）连结ON ，因为 PB 平面 ADMN ，所以 ON为 PO在平面 ADMN 上的射影，因为 AD PO ，所以 AD NO ，11 分故 PON 为所求二面角的平面角. 因为 POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以PON=45 12 分81、(山东省济南市2008 年 2 月高三统考 ) 如图，四棱锥PABCD中， ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，APD=90 ，BACD1A1B1Cxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页面 PAD 面 ABCD
12、，且 AB=1 ，AD=2 ， E、F 分别为 PC和 BD的中点（ 1）证明： EF 面 PAD ；（ 2）证明：面PDC 面 PAD ；（ 3）求锐二面角BPD C的余弦值解：（ 1）如图，连接AC ，ABCD 为矩形且F是 BD的中点，AC必经过 F 1 分又 E是 PC的中点，所以， EFAP 2 分EF在面 PAD外， PA在面内，EF面 PAD 4 分（ 2）面 PAD 面 ABCD ， CD AD ，面 PAD面 ABCD=AD， CD 面 PAD ，又 AP面 PAD ， AP CD 6 分又 AP PD ， PD和 CD是相交直线，AP 面 PCD 7 分又 AD面 PAD
13、，所以，面PDC 面 PAD 8 分（ 3）由 P作 PO AD于 O ，以 OA为 x 轴，以 OF为 y 轴，以 OP为 z 轴，则A（1，0，0）， P（ 0，0，1）9 分由（ 2）知( 1,0,1)AP是面 PCD的法向量， B（ 1，1，0）， D（一 1，0，0），( 2, 1,0)BD，( 1,0,1)PD10 分设面 BPD的法向量( , , )nx y z，由,nPD nBD得200 xyxz取1x，则(1, 2,1)n，向量( 1,0,1)AP和n的夹角的余弦(1, 2, 1) ( 1,01)332611 分所以，锐二面角BPD C的余弦值3312 分82、( 山东省聊城
14、市2008 届第一期末统考) 如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段 EF的中点 . （1）求证： AM/平面 BDE ；（2）求二面角A DF B的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页（1）解：记AC与 BD的交点为O ，连接 OE 1 分 O ，M分别是 AC 、EF的中点，且四边形ACEF是矩形，四边形AOEM 是平行四边形， AM/OE，又 OE平面 BDE ， AM平面 BDE ， AM/平面 BDE.4 分（2）在平面 AFD中过 A作 AS D
15、F ，垂足为S，连接 BS ， AB AF，AB AD，ADAF=A ， AB 平面 ADF.6 分又 DF平面 ADF ， DFAB ，又 DF AS ，ABAS=A ， DF平面 ABS. 又 BS平面 ABS ， DFSB. BSA是二面角ADF B的平面角 . 8 分在 RtASB中， AS,2,36AB3tanASB ASB=60 . 10 分（本题若利用向量求解可参考给分）83、( 山东省实验中学2008 届高三第三次诊断性测试) 如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，BCAC，且BCAC（1）求证：AM平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成的
16、角的大小；（3）求二面角CEBA的大小解法一： () 四边形ACDE是正方形，ECAMACEA,1 分平面ACDE平面ABC，又ACBC，BC平面EAC2 分AM平面EAC，BCAM3 分AM平面EBC4 分 ( )连结BM，AM平面EBC，ABM是直线AB与平面EBC所成的角 5 分设aBCACEA2，则aAM2，aAB22，6 分21sinABAMABM，30ABM即直线AB与平面EBC所成的角为30 8 分（）过A作EBAH于H，连结HM9 分AM平面EBC，EBAMEB平面AHMAHM是二面角CEBA的平面角 10 分平面ACDE平面ABC，EA平面ABCEAAB在EABRt中，EBA
17、H，有AHEBABAE由 ( ) 所设aBCACEA2可得aAB22，aEB32，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页322aEBABAEAH 10 分23sinAHAMAHM60AHM二面角CEBA等于6012 分解法二 : 四边形ACDE是正方形，ECAMACEA,，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC， 2 分可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA设2BCACEA，则),0,2 ,2(),0,0,0(BA)2,0,0(),0 ,2
18、,0(EC，M是正方形ACDE的对角线的交点，)1 ,1 ,0(M4 分（）AM)1 , 1 ,0(，)2,2, 0()2,0 ,0()0, 2, 0(EC，)0, 0, 2()0, 2, 0()0 ,2 ,2(CB，0, 0CBAMECAM，4 分CBAMECAM,AM平面EBC 5 分（）AM平面EBC，AM为平面EBC的一个法向量，6 分)0,2,2(),1 , 1 ,0(ABAM，21,cosAMABAMABAMAB7 分60,AMAB直线AB与平面EBC所成的角为30 8 分( ) 设平面EAB的法向量为),(zyxn，则AEn且ABn，0AEn且0ABn.0),()0, 2, 2(
19、,0),()2, 0, 0(zyxzyx即.0, 0yxz取1y，则1x， 则)0 , 1, 1(n10 分又AM为平面EBC的一个法向量，且) 1 , 1 ,0(AM，21,cosAMnAMnAMn， 设 二 面 角CEBA的 平 面 角 为， 则21,c o sc osAMn，60二面角CEBA等于60 12 分84、( 山东省郓城一中2007-2008 学年第一学期期末考试) 如图，直二面角DAB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， AE=EB ，F 为 CE上的点，且BF平面 ACE. （）求证：AE 平面 BCE ；（）求二面角BAC E的余弦值；（）求点D到平面 ACE的距
20、离 . （）求证：平面BDF 平面 ABCD 解法一：（）BF平面 ACE. .AEBF二面角DAB E为直二面角，且ABCB，CB平面 ABE. .AECB.BCEAE平面（）连结BD交 AC于 C，连结 FG ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页正方形ABCD 边长为 2， BG AC ，BG=2，BF平面 ACE ，（）过点E作ABEO交 AB于点 O. OE=1. 二面角DAB E为直二面角，EO 平面 ABCD. 设 D到平面 ACE的距离为h，,ACDEACEDVV.3131EOShSACDACBAE平面
21、 BCE ，.ECAE.3326221122212121ECAEEODCADh点 D到平面 ACE的距离为.332解法二：（）同解法一. （）以线段AB的中点为原点O ，OE所在直线为x轴， AB所在直线为y轴，过 O点平行于 AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图 . AE面 BCE ，BE面 BCE ，BEAE，在ABOABAEBRt为中,2,的中点，).2, 1 , 0(),0 ,0 , 1 (),0, 1,0(. 1CEAOE).2, 2,0(),0, 1 , 1(ACAE设平面 AEC的一个法向量为),(zyxn，则.022, 0,0, 0 xyyxnACnAE即解得,x
22、zxy令, 1x得) 1 , 1, 1(n是平面 AEC的一个法向量. 又平面 BAC的一个法向量为)0, 0, 1 (m，.3331|,),cos(nmnmnm二面角BAC E的大小为.33arccos（ III ） AD/z 轴， AD=2 ，)2 ,0 ,0(AD，点 D到平面 ACE的距离.33232|,cos|nnADnADADd85、( 山西大学附中2008 届二月月考 ) 如图，正三棱柱111ABCA B C所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱1CC的中点，AE交1A D于点.H精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
23、页，共 9 页（1）求证：1AEA BD平面；（2）求二面角1DBAA的大小（用反三角函数表示）；（3）求点1B到平面1A BD的距离 . （1）证明：建立如图所示，)0, 2, 1()0, 1, 2(1DAAE)3,0 ,0(BD0221DAAE0)3(000BDAEBDAEDAAE,1即 AE A1D， AE BD AE面 A1BD （ 2）设面 DA1B的法向量为),(1111zyxn由020)3(00111111yxzBDnDAn取)0 , 1 , 2(1n设面 AA1B的法向量为0,0),(12122222AAnBAnzyxn，则由)3,0,3(0203222222nyzyx取，51
24、51256,21nn由图可知二面角DBA1A为锐角，它的大小为arcos515（ 3）)0,2 ,0(1BB，平面 A1BD的法向量取)0, 1 , 2(1n则 B1到平面 A1BD的距离 d=55252|111nnBB86、( 上海市部分重点中学2008 届高三第二次联考) 在长方体1111ABCDA B C D中（如图），AD=1AA=1，2AB，点 E是 AB上的动点(1) 若直线1D EEC与垂直，请你确定点E的位置，并求出此时异面直线1AD与EC所成的角(2) 在（ 1）的条件下求二面角1DECD的大小 解 解法 1：由1D EEC与垂直DE与 CE垂直 -1分设 AE=x,在直角三
25、角形DEC中求得1x-2分所以点E是 AB的中点 -3分取 CD的中点 Q ，则 AQ平行与 EC ，所以1D AQ是所求的角 -4分求解1D AQ得1D AQ=3-5分异面直线1AD与 EC所成的角为3-6分解法 2：利用向量法分别以 DA ，DC ，D1D所在的直线为X轴建立坐标系-1分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页设 AE=x，根据直线1D EEC与垂直1x-2分所以点E是 AB的中点 -3分写出 A（1，0，0） E （1，1，0 ） C （0， 2，0）1D（ 0，0，1）-4分1( 1,0,1),(1, 1,0)ADCE设1ADCE与的夹角为 cos=12-5分异面直线1AD与EC所成的角为3-6分（2）解法 1：由1D EEC与垂直DE与 CE垂直，所以1D EC是所求1DECD的平面角 -8分1D DE求解直角得122tgD ED-11分二面角1DECD是2arc2tg-12分解法 2：利用向量法求得二面角1DECD是2arc2tg87、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页