《2022年全国百套高考数学模拟试题分类汇编导数与极限解答题b .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国百套高考数学模拟试题分类汇编导数与极限解答题b .pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2008 届全国百套高考数学模拟试题分类汇编11 导数与极限三、解答题 ( 第二部分 ) 51、已知函数)0( 1)1ln()(xxexfx，（ 1）求函数)(xf的最小值；（ 2）若xy0，求证：)1ln() 1ln(1yxeyx解： （1）)(xf=11xex，2分当0 x时，111, 1xex，所以当0 x时，)(xf0，则函数)(xf在, 0上单调递增，所以函数)(xf的最小值0)0(f；5分（ 2）由（ 1）知，当0 x时，0)(xf，yx，01)1ln()(yxeyxfyx，)1ln(1yxeyx7 分011)(ln)1ln()1ln()1ln(xxyxyyxyx，)1ln()1l
2、n()1ln(yxyx 10分由得)1ln()1ln(1yxeyx 12分52、( 河南省许昌市2008 年上期末质量评估) 已知函数f (x) x22ax，g(x) 3a2lnx b, 其中 a0设两曲线yf (x) ，yg(x) 有公共点，且在公共点处的切线相同 () 用 a 表示 b； () 求证：f (x) g(x) ， (x0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页53、 ( 黑龙江省哈尔滨九中2008 年第三次模拟考试) 已知函数xxaxxf2)ln()(在0 x处取得极值，（1）求实数a的值；（2）若关
3、于x的方程bxxf25)(在区间2,0上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围 . 解：11)(.)ln()(2xaxxfxxaxxf又1.011,0)0(aaf即 4 分由023)ln(25)(2bxxaxbxxf得设23211)(,23) 1ln()(2xxxgbxxxxg则即)1(2)1)(54()(xxxxg13ln034)21ln()2(212ln0231)21ln()1(00)0(2, 00)(2,025)(8.)2,1 ()(,0)()2, 1 ()1 ,0()(0)()1 ,0(bbgbbgbbgxgbxxfxgxgxxgxgx恰有两个不同实数根在得于恰有两个不同实数根等在分
4、上单调递减在当上单调递增在当212ln13lnb 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页54、( 黑龙江省哈尔滨三中2008 年高三上期末) 已知函数22),1(log2,2)(232xxxxaexfx在处连续。（1）求实数 a 的值；（2）解关于 x 的不等式.2)(xf答案：（ 1）1a（2）),1055、( 黑龙江省哈尔滨三中2008 年高三上期末) 设函数.3331)(23axxxxf（1）如果 a=1，求曲线)4,31()(过点xfy的切线方程；（2）当0)(,)0(3 ,xfaaax若时恒成立，求a
5、 的取值范围。答案：（ 1）03308312yxyx或（2）a6 56、(黑龙江省哈师大附中2008 届高三上期末 ) 已知a为实数，).)(4()(2axxxf（1）若)(,0) 1(xff求在 4，4 上的最大值和最小值；（2）若,22,)(和在xf上都是递增的，求a的取值范围。解：（ 1）) 1)(43()(,21012) 1(, 423)(2xxxfaafaxxxfx ( , 1) 1 )34, 1(34)4,34()(xf+ 0 0 + )(xf增极大减极小增42)4()(,54)4()(42)4(,54)4(,2750)34()(,29)1()(maxminfxffxffffxff
6、xf极小极大（2）,22,0)(及对一切 xxf均成立，22002320)2(0)2(aaff即或57、(湖北省八校高2008 第二次联考 ) 已知( )lnf xaxbx，其中0,0ab. （）求使)(xf在0,上是减函数的充要条件；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页（）求)(xf在0,上的最大值；（）解不等式11ln 1ln 21xxxx解：（ 1）( )1aabaxfxaxbaxb. 0,0,0 xab, ( )0fx 时，0ab，即 ab. 当 ab时，0,0,0.0,0abxaxbabax, 即( )0f
7、x . ( )f x在0,)上是减函数的充要条件为ba. （ 4 分）（2）由（ 1）知，当 ba时( )f x 为减函数，( )f x 的最大值为(0)lnfb ；当 ba时，( )abaxfxaxb，当 0abxa时，( )0fx，当abxa时( )0fx，即在 0,)aba上( )f x 是增函数，在,)aba上( )f x 是减函数，abxa时( )f x 取最大值，最大值为max( )()lnababfxfaaa， 即maxln(),( )ln().bbafxababaa（ 13 分）（3）在（ 1）中取1ab，即( )ln(1)f xxx, 由（ 1）知( )f x 在0,)上是减
8、函数 . 11ln(1)ln 21xxxx，即1()(1)fxfx，11xx，解得1502x或152x. 故所求不等式的解集为1515,0),)22（8 分）58、 ( 湖北省三校联合体高2008 届 2 月测试 ) 对于函数( )f x， 若存在0 xR， 使00()f xx成立，则称0 x为( )fx的不动点。如果函数2( )( ,*)xaf xb cNbxc有且仅有两个不动点0、2，且1( 2)2f。（1）试求函数( )f x的单调区间；（2）已知各项不为零的数列na满足14()1nnSfa，求证：1111lnnnnana；（3）设1nnba，nT为数列nb的前n项和，求证：200820
9、071ln 2008TT。（1）设22(1)0(1)xaxb xcxabbxc2012 01cbab012acb2( )(1)2xfxcxc由21( 2)1312fcc又,*b cN2,2cb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页2( )(1)2(1)xf xxx 3 分于是222222(1)22( )4(1)2(1)xxxxxfxxx由( )0fx得0 x或2x；由( )0fx得01x或12x故函数( )f x的单调递增区间为(,0)和(2,)，单调减区间为(0,1)和(1,2) 4 分（ 2）由已知可得22nnnS
10、aa，当2n时，21112nnnSaa两式相减得11()(1)0nnnnaaaa1nnaa或11nnaa当1n时，2111121aaaa，若1nnaa，则21a这与1na矛盾11nnaanan 6 分于是，待证不等式即为111ln1nnnn。为此，我们考虑证明不等式111ln,01xxxxx令11,0,t xx则1t，11xt再令( )1lng ttt，1( )1g tt由(1,)t知( )0g t当(1,)t时，( )g t单调递增( )(1)0g tg于是1lntt即11ln,0 xxxx令1( )ln1h ttt，22111( )th tttt由(1,)t知( )0h t当(1,)t时，
11、( )h t单调递增( )(1)0h th于是1ln1tt即11ln,01xxxx由、可知111ln,01xxxxx 10 分所以，111ln1nnnn，即1111lnnnnana 11 分（3）由（ 2）可知1nbn则111123nTn在111ln1nnnn中令1,2,3,2007n，并将各式相加得111232008111lnlnln1232008122007232007即200820071ln 2008TT 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页59、( 湖北省黄冈市麻城博达学校2008 届三月综合测试)
12、若函数xxxgxxf2)(,ln)(（）求函数)()()(Rkxkfxgx的单调区间（）若对所有的aaxxxfx)(),3都有成立，求实数a的取值范围 . 解：（ 1）)(x的定义域为),0( 12 分222221)(xkxxxkxx 2 分82k当0)(,2222,082xkk时即时 3分2222,082kkk或即时时28,280222212kkxkkxkxx有两个不等实根方程0)(,0,2221xxxk故则若 4 分;0)(,; 0)(,00,2221121xxxxxxxxxk时当时当则若0)(,2xxx时当 5 分综上：),28()28,0()(,2222kkkkxk及的单调递增区间为时
13、当单调递减区间为28,2822kkkk)(,22xk时当的单调递增区间（0，+） 6 分（2）1lnlnxxxaaaxxxex 7 分),1ln)(exxxxxh令 8 分则2)1(1ln)(xxxxh 9 分021ln1ln011) 1ln( ,eeexxxxxex时当0)(xh 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页1)()(mineeehxh 11 分1eea 12 分另解：0ln)(aaxxxaaxxxf0)(,),ln)(minxhexaaxxxxh时则当令 7 分10)(,1ln)(aexxhaxx
14、h得由 8 分0)(,0)(011xhexxhexaa时当时且当),(,), 0()(11aaeexh在单减在单增 9 分当eeaa 1,2时0)()(),()(minaaeeehxhexh单增在1eea 11 分当aeaeeha0)(,2由时,2,2,2aeaaeeaaeeaeea则若则若2a故不成立 12 分综上所述1eea60、( 湖北省荆门市2008 届上期末 ) 已知函数21( )ln2f xxx. （ 1）求函数( )f x在1,e上的最大值、最小值；（ 2）求证：在区间1,)上，函数( )f x的图象在函数32( )3g xx的图象的下方；（ 3）求证：( )()nnfxfx22
15、(nnN*）. 解：（ 1）f(x)=1xx当x1,e时，f(x)0 ，( )f x在1,e上是增函数故min1( )(1)2f xf，2max1( )(e)e12f xf. 4 分（ 2）设2312( )ln23F xxxx，则221(1)(12)( )2xxxFxxxxx，1x时，( )0Fx，故( )F x在1,)上是减函数 . 又1(1)06F，故在1,)上，( )0F x，即2312ln23xxx，函数( )f x的图象在函数32( )3g xx的图象的下方. 8 分（ 3）x0，11( )()nnnnnfxfxxxxx，当1n时，不等式显然成立；精选学习资料 - - - - - -
16、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页当n2时，有1122121111( )()nnnnnnnnnfxfxC xC xCxxxx1224121224122421101111()()()2nnnnnnnnnnnnnnnnnC xC xCxCxCxCxxxx分1-nn2n1n2C2C2C2122n( )()nnfxfx22(nnN*）61、( 湖北省荆门市2008 届上期末 ) 设函数011233)(23yxbxaxxxf的图像与直线相切于点（ 1， 11）。（1）求a，b的值；（2）讨论函数)(xf的单调性。解：（ 1）求导得.363)(2baxxxf2
17、分由于0112)(yxxf的图象与直线相切与点（ 1， 11），所以.12363,11331,12) 1(,11)1(babaff即5 分解得.3, 1 ba6 分（2）由).3)(1(3)32(3363)(3, 122xxxxbaxxxfba得令.31, 0)(; 31, 0)(xxfxxxf解得又令或解得所以当)(,)1,(xfx时是增函数，8 分当)(,),3(xfx时也是增函数；10 分当)(,)3, 1(xfx时是减函数。62、( 湖北省荆州市2008 届高中毕业班质量检测) 设函数22( )(1)ln(1)f xxx求( )f x的单调区间；若关于x的方程2( )f xxxa在区间
18、0,2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。解：定义域为(,1)( 1,)，因为12 (2)( )2(1)11x xfxxxx所以，当21x或0 x时，( )0fx当2x或10 x时，( )0fx故( )f x的单调递增区间是( 2,1)和(0,)( )f x的单调递减区间是(, 2)和( 1,0) (6分) （注：0和2处写成“闭的”亦可）由2( )f xxxa得：21ln(1)0 xax，令2( )1ln(1)g xxax，则( )1g x或21( )111xxg xxx所以1x2时，( )0,0gx1x时，( )0gx故( )g x在0,1上递减，在1,2上递增（8 分）精选学习资料
19、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页要使2( )f xxxa在0,2恰有两相异实根，则必须且只需(0)0(1)0(2)0ggg1022ln 2022ln 232ln 332ln 30aaaa即(22ln 2,32ln 3a63、( 湖北省随州市2008 年高三五月模拟) 函数3( )3( ,f xxtxm m t为实常数）是偶函数。求实数m的值；比较()(2)(0)ftftt与的大小；求函数( )yf x在区间2,2上的最大值( )F t。64、 ( 湖北省武汉市武昌区2008 届高中毕业生元月调研测试) 已知函数2lnfxxax
20、在区间（ 1，2 上是增函数，g xxa x在区间（ 0，1）上为减函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页（）试求函数,fxg x的解析式；（）当x 0 时，讨论方程2fxg x解的个数 . 解: （）02xaxxf在2, 1x恒成立 , 所以22xa,2a. 又021xaxg在1 ,0 x恒成立 , 所以xa2,2a. 4 分从而有2a. 故xxxfln22,xxxg2. 6 分（）令2)()()(xgxfxF, 则xxxxF1122)(xxxxxx)222)(1(所以xF在1 ,0上是减函数 , 在, 1上
21、是增函数 , 9 分从而当0 x时,01minFxF. 所以方程2)()(xgxf在,0只有一个解1x. 12 分65、( 湖南省雅礼中学2008 年高三年级第六次月考) 已知函数0) 1(,ln2)(fxxbaxxf（） 若函数f(x) 在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（） 若函数f(x) 的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且211()11nnafnan，已知a1 = 4 ，求证：an 2n + 2 ；（） 在（） 的条件下，试比较naaaa11111111321与52的大小，并说明你的理由解： (1)xxaaxxfbabafln2)(,0) 1(，xxaaxf2)(2要使函数f
22、(x) 在定义域), 0(内为单调函数，则在),0(内)(xf恒大于 0 或恒小于0，当02)(0 xxfa时，在),0(内恒成立；当时，0a要使01)11()(2aaaxaxf恒成立，则01aa，解得1a，当时，0a02)(2xxaaxf恒成立，所以a的取值范围为0, 1根据题意得：2)11()(, 1,02,0)1(xxfaaaf得即，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页于是121)()11(2221nnnnnnaannanafa，用数学归纳法证明如下：当时，1n21241a，不等式成立；假设当kn时，不等式2
23、2kak成立，即22kak也成立，当1kn时，2) 1(25412)22(1)2(1kkkkaaakkk，所以当1kn，不等式也成立，综上得对所有*Nn时，都有22nan(3) 由 (2) 得121222)1(21)22(1111nnnnnannanaaa，于是)1(211nnaa)2(n，所以)1(21) 1(21),1(2112312nnaaaaaa，累乘得：)2(112111),1(211111naaaannnn则，所以52)211(52)2121211(1111111112121nnnaaaa66、( 湖南省岳阳市2008 届高三第一次模拟)(1) 已知函数m(x) ax2ex (a0
24、), 求证 : 函数ym(x) 在区间 2, ) 上为减函数 . (2) 已知函数f(x) ax22ax, g(x) ex, 若在 (0, ) 上至少存在一点x0, 使得f(x0) g(x0) 成立 , 求实数a的取值范围 . 解:(1) m (x) axex(2x), 而ax0, 当x2 时, m (x) 0, 因此m(x) 在2, ) 上为减函数 . (2) 记m(x) ax22axex , 则m(x) ( ax2 2a)ex, 当x2时, m (x) 0 当 0 x2时, m (x) 0 故m(x) 在x2时取最大值 , 同时也为最大值. m(x)maxm(2) 222 2aae依题意
25、, 要在 (0, ) 上存在一点x0, 使f(x0) g(x0) 成立 . 即使m(x0) 1 只需m(2) 1 即2222aae 1 2212ae , 因此 , 所求实数a的取值范围为(2212e, ) 67、( 黄家中学高08 级十二月月考) 设函数aaxxaxxf其中,86) 1(32)(23R. （1）若3)(xxf在处取得极值，求常数a的值；（2）若)0,()(在xf上为增函数，求a的取值范围 . 【解】： （）).1)(66) 1(66)(2xaxaxaxxf因3)(xxf在取得极值，所以.0)13)(3(6)3(af解得.3a经检验知当)(3,3xfxa为时为极值点 . （）令.
26、1,0) 1)(6)(21xaxxaxxf得当1,(, )(1,),( )0,axafx时 若则( )(, )f xa所以在和),1 (上为增函数，故当)0,()(,10在时xfa上为增函数 . 当1,(,1)( ,),( )0,axafx时 若则( )(,1)( ,)f xa所以在和上为增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页从而0,()(在xf上也为增函数. 综上所述，当)0,()(,),0在时xfa上为增函数 . 68、 ( 吉林省实验中学2008 届高三年级第五次模拟考试) 已知函数)0()(,ln)(
27、axaxgxxf，设)()()(xgxfxF。（）求F（x）的单调区间；（） 若以)3,0)(xxFy图象上任意一点),(00yxP为切点的切线的斜率21k恒成立， 求实数a的最小值。（）是否存在实数m，使得函数1)12(2mxagy的图象与)1(2xfy的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。解 .( ) F0(ln)()()(xxaxxgxfx)0(1)( 22xxaxxaxxF）上单调递增。在（由,)(),(0)(,0axFaxxFa由）上单调递减在（axFaxxF,0)(),0(0)(。），单调递增区间为（的单调递减区间为（,0)(aaxF（）恒成立)
28、30(21)(),30()(020002xxaxxFkxxaxxFmin020)21(xxa当212110200取得最大值时，xxx21,21nmnaa4 分（）若21211)12(22mxmxagy的图象与)1ln()1 (22xxfy的图象恰有四个不同交点，即) 1ln(212122xmx有四个不同的根，亦即2121) 1ln(22xxm有四个不同的根。令2121) 1ln()(22xxxG，则1)1)(1(1212)(2232xxxxxxxxxxxxG。当x变化时)().(xGxG的变化情况如下表：x），（1(-1,0) (0,1) (1,) 精选学习资料 - - - - - - - -
29、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页)(xG的符号+ - + - )(xG的单调性由表格知：02ln) 1()1()(,21)0()(GGxGGxG最大值最小值。画出草图和验证212125ln)2()2(GG可知，当)2ln,21(m时，恰有四个不同的交点，与myxGy)(的图象与时，当21211)12()2ln,21(22mxmxagym交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1 (22xxfy12 分69、( 江苏省常州市北郊中学2008 届高三第一次模拟检测) 已知函数.1ln)(kxxxf（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若)(xf0 恒成立，试确
30、定实数k 的取值范围；（3）证明：)1,)(1()1(432ln2nNnnnn解：（ 1）函数)(xf的定义域为（0，+）1,0,10)(,1)(kxxkxxfkxxf所以因为得由（2 分）当 k0 时，kx1，所以函数)(xf的单调递增区间为（0，k1）单调递减区是为),1k当 k=0 时，不等式恒成立，所以函数)(xf是单调递增区间为（0，+）当 k0，所以不等式恒成立，所以函数)(xf是单调递增区间为（0，+）综上所述，当k0 时，函数)(xf的单调递增区间为（0，k1），单调递减区间为k1，+）；当 k0 时，函数)(xf的单调递增区间为（0，+）。（ 5 分）（ 2）由（ 1）知k时
31、，函数)(xf是增函数，而01)1(kf，不成立，所以k0，由（ 1）可得0)(,ln)(maxxfkxf要使恒成立，只需0)(maxxf，所以0ln k所以 k1（9 分）（ 3）由（ 2）可得当k=1 时， lnx x1 在（ 0，+）上恒成立。ln2 1 ln3 2 ln43 nn)1ln(以上各式左右两边分别相加得)1ln(4ln3ln2lnn 1+2+3+n=2)1(n2)1()1(432lnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页)1()1(432ln2nnn70、( 江苏省南通市2008 届高三第二
32、次调研考试) 已知函数21( )2 ,( )log2af xxxg xx（a0，且a1），其中为常数如果( )( )( )h xf xg x是增函数，且( )h x 存在零点（( )h x 为( )h x 的导函数）（）求a的值；（）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是函数yg（x）的图象上两点，21021()yygxxx（( )g x为( )g x的导函数），证明：102xxx 解：（）因为21( )2log2ah xxxx(0)x，所以21ln2 ln1( )2lnlnxaxah xxxaxa 3分因为h（x）在区间 (0,) 上是增函数，所以2ln2 ln10lnxaxax
33、a在区间 (0,) 上恒成立若 0a1，则 lna0，于是2ln2 ln10 xaxa恒成立又( )h x 存在正零点，故（2lna）24lna 0，lna0，或 lna1 与 lna1由2ln2 ln10 xaxa恒成立，又( )h x 存在正零点，故（2lna）24lna0，所以 lna1，即ae 7 分（）由（），001()gxx，于是210211yyxxx，21021lnlnxxxxx9 分以下证明21121lnlnxxxxx（）（）等价于121121lnln0 xxxxxx 11 分令r（x）xlnx2xlnxx2x，13 分r （x） lnx2lnx，在（ 0，x2上，r（x）0，
34、所以r（x）在（ 0，x2上为增函数当x1x2时，r（x1）1，令21xtx，作函数h（x）t1lnt，下略71、( 江苏省前黄高级中学2008 届高三调研 ) 设三次函数32( )(),f xaxbxcxd abc在1x处取得极精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页值，其图象在xm处的切线的斜率为3a。()求证：01ba；()若函数( )yf x在区间 , s t上单调递增，求|st的取值范围；()问是否存在实数k（k是与, , ,a b c d无关的常数），当xk时，恒有( )30fxa恒成立？若存在，试求出k的
35、最小值；若不存在，请说明理由。解： ()方法一、2( )32fxaxbxc . 由题设，得(1)320fabc2()323fmambmcaabc，6326aabcc，0,0ac。由代入得23220ambmb，24240bab，得26()0,bbaa6ba或0ba将32cab代入abc中，得11ba由、得01ba；方 法 二 、 同 上 可 得 ：2320132302abcm abmac（）（ ）将 （ 1 ） 变 为 ：32abc代 入 （ 2 ） 可 得 ：222220131()24m cm cbmmm，所以0ab，则01ba方 法 三 ： 同 上 可 得 ：2320132302abcm a
36、bmac（ ）（ ）将 （ 1） 变 为 ：32cab代 入 （ 2 ） 可 得 ：232 (1)0amb m，显然1m，所以231bmam因为2( )32fxaxbxc图象的开口向下，且有一根为x1=1 由韦达定理得123cxxa,2103cxxa()30fma,所以(,1)3cma，即1m，则2301bmam，由abc得：1ba所以：01ba方法四：由2( )32fxaxbxc得：(0)0fc且(1)0f，由此可知()由（ 1）知，2( )32fxaxbxc的判别式 =24120,bac方程2( )320fxaxbxc有两个不等的实根12,x x，精选学习资料 - - - - - - -
37、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页又(1)320fabc,122121,1,03bxxxxa，当2xx或1xx时，( )0fx，当21xxx时，( )0fx，函数( )yf x的单调增区间是12,x x，122| 23bxxa，由01ba知1282 |3xx。函数( )yf x在区间 , s t上单调递增，12 , ,s tx x，82|3st，即|st的取值范围是8(0,)3；( ) 由( )30fxa， 即23230a xb xca， 2220,033bbaxxaa，01ba，2232200 xxx，713x或713x。由题意，得7171 ,)(,)
38、33k，713k，存在实数k满足条件，即k的最小值为713。72 、 (江 苏 省 泰 兴 市2007 2008学 年 第 一 学 期 高 三 调 研 ) 设 常 数0a， 函 数2()l n2l n1fxxxax ( 0 ,)x. （1）令( )( )g xxfx(0)x，求( )g x的最小值，并比较( )g x的最小值与零的大小；（2）求证：( )f x在(0,)上是增函数；（3）求证：当1x时，恒有2ln2 ln1xxax解（）( )(ln)(ln)2 ln1fxxxxax，(0,)x112( )1 ln(ln)afxxxxxx，2ln21xaxx， 2 分( )( )2ln2g xx
39、fxxxa，(0,)x22( )1xg xxx，令( )0g x，得2x， 4 分列表如下：x (0,2) 2 (2 ， ) g(x) 0 g(x) 极小值 g(2) ( )g x在2x处取得极小值(2)22ln 22ga，即( )g x的最小值为(2)22ln 22ga 6 分(2)2(1ln 2)2ga，ln 21，1ln20，又0a，(2)0g 8 分证明（）由（）知，( )g x的最小值是正数，对一切(0,)x，恒有( )( )0g xxfx， 10 分从而当0 x时，恒有( )0fx， 11 分故( )f x在(0)， 上是增函数 12 分证明（）由（）知：( )f x在(0)， 上
40、是增函数，当1x时，( )(1)f xf， 13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页又2(1)1ln 12 ln110fa， 14 分( )0fx，即21ln2 ln0 xxax， 15 分2ln2 ln1xxax故当1x时，恒有2ln2 ln1xxax 16 分73、( 江苏省南通通州市2008 届高三年级第二次统一测试) 函数)(xfy在区间（0，+）内可导， 导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx),0(0是曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）处的切线方程，并设函数.)(mkxxg（1）用
41、0 x、)(0 xf、)(0 xf表示 m ；（2）证明：当)()(,),0(0 xfxgx时；（3）是否存在实数a，使得若关于x的不等式2231310,)22xaxx 在上恒成立？若存在，求出a的范围，若不存在说明理由。解：（ 1）).()(000 xfxxfm 5（2）证明：令.0)(),()()(),()()(00 xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0 xhxx时；当0)(,0 xhxx时. 所以0 x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg 11（ 3）0a是不等式成立的必要条件
42、，以下讨论设此条件成立. 22111,022xaxxax即对任意),0 x成立的充要条件是2.a 14令2313( )22xaxx，于是231322axx对任意),0 x成立的充要条件是.0)(x由.0)(331axxax得当30ax时;0)(x当3ax时，0)(x，所以， 当3ax时，)(x取最小值 . 因此0)(x成立的充要条件是0)(3a，即1a 17综上所述，当 1a2.不等式2231310,)22xaxx 在成立 1874、( 江苏省盐城市2008 届高三六校联考) 已知函数32( )f xxbxcxd(b,c,d R 且都为常数 ) 的导函数精选学习资料 - - - - - - -
43、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页2( )34fxxx且f(1)=7 ，设2( )( )F xf xax(1) 当a2 时，( )F x的极小值；(2) 若对任意0,)x都有( )0F x成立，求a的取值范围；(3) 在(2) 的条件下比较2113396aaa与的大小 . (1)22( )3234fxxbxcxx 2b=4 c=0 b=2 c=0 32( )2f xxxdf(1)=7 d=4 f(x)=x3+2x2+4 2 分F(x)=f(x) ax2=x3+(2 a)x2+4 则2( )32(2)Fxxa x( )0Fxx1=0 x2=2(2)3aa
44、x2故由2(2)( )0,(,)(0,)3aFxxF(x) 在2(2)(,),(0,)3a上单调增在2(2)(,0)3a上单调减故x=0时F(x) 取得极小值为F(0)=4 5 分(2)F(x) 0 恒成立当x0 ，+) 时F(x) 最小值 0 当 2a0 即a0 符合题意7 分若 2a 0，即a2 时，由 (1) 知x1x2当x0 ，+) 时，F(x)m in=2(2)03aF即322424()(2)()4033aaaa5 2a5 综上所述a5 10 分(3)22111339(6)6366taaaaaa12 分a5 2(6)1a 6a1 故12 130t2113396aaa( 等号在a=5
45、时成立 ) 14 分75、( 江西省鹰潭市2008 届高三第一次模拟) 设函数bxaaxxxf2233231)(，), 10(Rba（1）求函数)(xf的单调区间和极值（2）若当2, 1 aax时，恒有axf)(/，试确定a的取值范围解：（） f(x)的导函数f (x)=-x2+4ax-3a2 =-(x-2a)2+a2 2 分f (x) 在区间（ 0，1）上存在反函数 2a 0 或 2a1 4 分又 0a1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页a 的取值范围是12a2a， f (x) 在 a+1 , a+2 上是减
46、函数。8 分f (x)max = f (a+1)=2a-1 9 分f (x)min = f (a+2)=4a-4 10 分2a-1 a4a-4 -a解得45a0, 且对于任意xR，f(|x|)0恒成立，试确定实数k 的取值范围（3）设函数 F(x)=f(x)+f(x), 求证：F(1)F(2) F(n)=21)2(nne解：（ 1）由 K=e得 f(x)=exex, 所以 f (x)=exe. 由 f (x)0得 x1, 故 f(x)的单调增区间为（ 1，+），由f (x)0得 x0对任意 xR成立等价于f(x)0对任意 x0 成立。由f (x)=exk=0 得 x=lnk. 当 k(0,1)
47、 时 ，f (x)=exk 1k0(x0), 此时 f(x)在（ 0，+上单调递增，故 f(x) f(0) 1）, 符合题意。当k(1,+ ) 时， lnk0, 当 X变化时， f (x) 、 f(x) 的变化情况如下表：由此可得，在（0，+）上 f(x)f(lnk)=klnk. 依题意， kklnk0, 又 k1, 所以 1ke. 综上所述，实数k 的取值范围是0ken+1+2,F(2)F(n1)en+1+2 F(n)F(1)en+1+2. 由此得， F(1)F(2)F(n)2=F(1)F(n)F(2)F(n1) F(n)F(1)(en+1+2)n 故 F(1)F(2) F(n)(en+1+
48、2)2n,n N*（12 分）77 、 (山 东 省 济 南 市2008年2月 高 三 统 考 ) 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数221( )2,( )3ln2f xxax g xaxb，其中0a。设两曲线( ),( )yf xyg x有公共点，且在公共点处的切线相同。（ 1）若1a，求b的值；（ 2）用a表示b，并求b的最大值。解：（ 1）设( )yf x与( )(0)yg xx在公共点00(,)xy处的切线相同3( )2,( )fxxgxx1 分X(0,lnk)lnk(lnk,+ )f (x)0+f(x)单调递减极小值单调递增精选学习资料 - - - - - - - -
49、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页由题意知0000()(),()()f xg xfxg x， 200000123ln232xxxbxx由0032xx得，01x，或03x（舍去）4 分即有52b5 分（ 2）设( )yf x与( )(0)yg xx在公共点00(,)xy处的切线相同23( )2 ,( )afxxa g xx由题意知0000()(),()()f xg xfxg x， 22000200123ln232xaxaxbaxax由20032axax得，0 xa，或03xa（舍去）7 分即有222221523ln3ln22baaaaaaa8 分令225(
50、)3ln (0)2h tttt t，则( )2 (1 3ln )h ttt，于是当2 (13ln )0tt，即130te时，( )0h t；当2 (13ln )0tt，即13te时，( )0h t10 分故( )h t在(0,)的最大值为12333()2h ee，故b的最大值为2332e12 分78、( 山东省实验中学2008 届高三第三次诊断性测试) 已知函数( )2ln,(1)0.bf xaxx fx（1）若函数( )f x在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围 ; （ 2 ） 若 函 数( )f x的 图 象 在1x处 的 切 线 的 斜 率 为0 ， 且11()11nnnafnaa