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1、成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义1全国初中数学联赛一 全国初中数学联赛简介中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12 万名学生参加。竞赛简介奖项名称：全国初中数学联合竞赛创办时间： 1984 年主办单位：由各省、市、自治区联合举办，轮流做庄竞赛介绍：同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984 年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14 个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大
2、学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。 当年 11 月， 在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛” 的决定，并详细商定了一些具体办法， 规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。 会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、 1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。“全国初中数学联赛” 原来不分一试、 二试。为了更好地贯彻 “在普及的基础上不断提高”的方针， 1989年 7 月，在济南召开的“数学竞赛
3、命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12 万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991 年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。所谓“联赛”，就是各省、市、自治区联合举办，轮流做庄，由各省、市
4、、自治区数学竞赛组织机构具体承办，大家提供试题。为了更好地规范初中数学竞赛的内容、难度，中国数学会制定了“初中数学竞赛大纲”，以“大纲”为准，命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。二 竞赛的意义全国初中数学联赛 是初中生初中阶段最为重要的竞赛之一，方式较为规范，也是许多高中入学考察的对象之一，因此，许多初中生为此而加紧培优，从某种意义上讲，这种为大众认可的竞赛提升了中国初中生的整体数学成绩。在北京，全国数学联赛的获奖成绩常常被作为人大附中、四中等重点高中提前录取的一个重要参考。三 竞赛大纲数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的
5、作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定初中数学竞赛大纲（修订稿）以适应当前形势的需要。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义2本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。教学大纲在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发
6、展他们的数学才能” ， “要重视能力的培养， 着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。四 参赛对象全国在校初中生，采取自愿与学校推荐相结合的办法报名参加。五 联赛题目结构一试 70 分选择 6 题，填空 4 题 （每题 7 分）代数几何 数论 组合（一般选填压轴）归纳知识点：实数化简；三角形的五心等方面是考察重点。但是其涵盖知识体系相对单一，有时候，选择题、填空题还是要用技巧性搞的；举特殊值；（08 年的二次根式一题）二试 70 分第一大题 一元二次方程和二次函数
7、的互相转化、根的分布、整数根问题（冲刺奖项的必对大题）第二大题 几何综合题（冲刺一等奖的必对大题）考察点 05 、06 三线共点、梅涅劳斯、赛瓦、09 几何计算 （四点共圆）、 07，10 相似三角形 . 几何方面应该多下功夫，争取能够拿下第三大题 二试最后一题 25 分 以数论为基础和其他结合，思路清楚的话简单5 分能拿下来六 竞赛题型全国初中数学联赛每年4 月举行，分为一试和二试。成绩公布的时间各省市不尽相同，北京市公布时间大约在五月底至六月。第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6 题、填空题 4 题，共 70 分。第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题
8、、几何题、几何代数综合题或杂题，共 70 分，两试合计共 140 分。教学大纲中所列出的内容， 是教学的要求， 也是竞赛的要求。 除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义3第一讲实数的概念及性质一. 知识链接 : 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数( , 这里
9、、 是互质的整数， 且 ) 实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：（ 1）开方开不尽的数，如32,7等；（ 2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如3+8 等；（ 3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（ 4）某些三角函数，如sin60o等3有理数和无理数对加、减、乘、除的封闭的特性： 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； 无理数对加、减、乘、除不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数二经典例题【例 1】解答以下各选择题: (1).
10、 (99年武汉市选拔赛试题)设是一个无理数，且a、b 满足 abab+1=0，则 b 是一个 ( ) A 小于 0 的 有理数 B大于 0 的有理数 C 小于 0 的无理数 D大于 0 的无理数（2） . （93 年河北初中数学联赛）若aab，,b,都是有理数，则,ab的值是（）. A.二者均为有理数B.二者均为无理数C. 一个为有理数，另一个为无理数D.以上三种情况均有可能（3） .(95年湖北初中数学竞赛) 今有四个命题：若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数；若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数；若两实数的和与积都是有理数，这两数都是有理数；若两实数的和与积都是无理数，这两数都
11、是无理数. 其中正确命题的个数为（）. A. 0 B. 1 C. 2 D.3 .( 9 9年全国初中数学联赛) 有下列三个命题：若是不相等的无理数，则是无理数；pqpq0pa,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义4若是不相等的无理数，则是无理数；若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是( ). （ A）0；（B）1；（C） 2；（D） 3。【例 2】( 全国初中数学联赛试题)若 a、b 满足=7，则 S的取值范围是【例 3】已知 a 、b 是有理数，且，求 a、b
12、 的值【例 4】 解答以下两题：(1)( 南昌市竞赛题 ) 已知 a、b 为有理数， x，y 分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by21，求 a+b 的值(2) (江苏省竞赛题 ) 设 x 为一实数， x 表示不大于x 的最大整数，求满足 77.66x=77.66x+1的整数x 的值,3ba53ba32032091412)121341()2331(ba75精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义5注：设 x 为一实数，则x 表示不大于x 的最大整数， x 又叫做实数x
13、的整数部分，有以下基本性质：(1)x 1x x ；(2) 若 y x ，则 y x ；(3) 若 x 为实数， a 为整数，则 x+a= x+ a【例 5】( 第十三届 “希望杯”试题 ) 已知在等式中， a、b、c、d 都是有理数， x 是无理数， 解答：(1) 当 a、b、 c、d 满足什么条件时，s 是有理数；(2) 当 a、b、c、d 满足什么条件时，s 是无理数三经典练习1已知 x、y 是实数，若，则 a= 2. (2002年全国初中联赛题) 一个数的平方根是和，那么这个数是3方程的解是4( 济南市中考题) 请你观察思考下列计算过程： 112121，；同样 1112=12321，；由
14、此猜想5( 江西省中考题) 如图，数轴上表示1、的对应点分别为A 、 B，点 B关于点 A 的对称点为C，则点 C所表示的数是 ( ) A B C D6( “希望杯”邀请赛试题)已知 x 是实数，则的值是 ( ) A B C D无法确定的7( “希望杯”邀请赛试题)代数式的最小值是 ( ) A 0 B C1 D不存在的8( 山西省中考题)若实数 a、b 满足，求 2b+a1 的值sdcxbax096432yyxyxaxy322ba1364ba0185yyx1112111112321765432112345678982122122221xxx11111121xxx21032)2(2abba精选学
15、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义69( 烟台市中考题)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题，；，；，； (1)请用含有 n(n 是正整数 ) 的等式表示上述变化规律； (2)推算出 A10的长； (3)求出 Sl2+S22+S32+S210的值10已知实数 a 、b、c 满足，则 a(b+c)= 11( “希望杯邀请赛试题) 设 x、y 都是有理数，且满足方程，那么 , xy 的值是12( 黄 冈市竞赛题 ) 已知正数a、 b 有下列命题：若 a=1，b1，则；若，则；若
16、a2，b=3，则；若 a=1，b=5，则根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则13. (重庆市竞赛题 )已知：，那么代数式的值为 ( ) A B C D14( “五羊杯”邀请赛试题) 设x 表示最接近x 的整数 (x n+0.5 ，n 为整数 ) ， 则+ + 的值为 ( ) A5151 B 5150 C 5050 D 5049 15. (全国初中数学竞赛题)设 ab0 ，a 1，N0)，则 b 叫做以 a 为底的 N的对数，记作b=logaN例如：因为23=8，所以 log28=3；因为 2-3=，所以 log2= 3 (1)根据定义计算 : log3 81= ； log
17、33= ； log3l= ；如果 logx 16=4 ，那么 x= (2)设 ax=M ，ayN，则 logaM=x ；logaN y(a0 ， a1，N0，M ， N均为正数 ) 用 logAM ，logAN的代数式分别表示logaMN 及 loga，并说明理由8181NM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义8第二讲二次根式的运算一. 知识链接1. 二次根式的定义和运算法则式子 (0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0)； (2) () ； (3
18、) () ； (4)22()aaa（,(0) 2. 二次根式有如下重要性质： (1)， (2) (0) ， (3) 2|aa，(4)(),(0a mb mabmm）(5)2,(0)abxyxya xyb xy，则同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式( 整式、分式 )运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等二. 经典例题【例 1】( 重庆竞赛题 )已知，则= 【例 2】( 武汉选拔赛试题)化简，所得的结果
19、为（） A B C Daacbacbca)(cabba0,0 bababa0,0 baa0aaa2)(a254245222xxxxy22yx22)1(111nn1111nn1111nn1111nn1111nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义9【例 3】计算：（1）；（2）1014152110141521；（3）； (4) 【例 4】解答以下各题: (1) (北京竞赛题 ) 化简；(2) (“希望杯”试题) 计算(3) (湖北“英才杯”竞赛题)计算【例 5】( 山东竞赛题
20、) 已知，求的值)23)(36(23346494747491755715335133113251823362101533243242238101212aaaa521332412ccbabacba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义10三. 经典练习1( 四川竞赛题 ) 如果，那么= 2( 成都中考题 )已知，那么的值为3( 天津选拔赛试题) 计算= 4( 淄博中考题 )若 ab 0，则等式成立的条件是5 ( 徐州中考题 )如果式子化简的结果为，则 x 的取值范围是( ) Ax
21、1 Bx2 C1x2 Dx 0 6如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（） A B C D7已知，则的值为 ( ) A B C D8已知，那么的值等于（）A B C D3 9计算以下各题： (1)；（2）( 北京数学竞赛题)；22332xxyyx23xyyxyxyx2001) 13(2)13(2)13(199920002001abbba3512) 1(2xx32xaa11)1(a11a1aa1)0,0(02yxyxyxyxyxyxyx435331213243321aaaaaaa2221211)321(1321200220012000199972217562154221330211202
22、91227625223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义11（3）；（4） ( “希望杯”试题) 10(1) 已知与的小数部分分别是a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值；(2) 设，n 为自然数，如果成立，求n11(T1 杯全国 初中联赛题 ) 已知，那么= 12. (北京竞赛题 ) 若有理数x、y、z 满足，则= 4266777647511)19992001( )19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(1999
23、1997(1997139139nnnnx11nnnny1119932197222yxyx2323x2323y22yxxy)(2121zyxzyx2)(yzx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义1213. 设，其中 a 为正整数， b 在 0，1 之间，则= 14. (北京竞赛题 )正数 m 、n 满足，则= 15. (全国初中联赛题)化简等于 ( ) A54 B4一 1 C 5 D1 16( 武汉市选拔赛试题) 若，则等于 ( ) A B C1 D 1 17计算以下各题：（
24、1） （ “希望杯”竞赛题）；（2） （山东竞赛题）；（3） （四川 赛题）； (4)；ba21027baba34424nnmmnm2002282nmnm21217223222xx112) 1(x1xx134263023522356101528100999910013223121121)1552326(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义13(5) (新加坡中学生数学竞赛题)18 （ “祖冲之杯”邀请赛试题）(1) 求证；(2) 计算2221120001999199920
25、0019( 上海竞赛题 )(1) 定义，求的值；(2) 设 x、y 都是正整数，且使，求 y 的最大值22315252511)1(12222ababaababa323232121121)(xxxxxxf)999() 12()3() 1(fkfffyxx100116精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义14第三讲勾股定理及其应用一.知识链接1、勾股定理 : 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222abc2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c
26、有关系222abc ，那么这个三角形是直角三角形 。3、勾股数 ：满足不定方程222abc 的三个正整数a， b，c，称为 勾股数 。如果勾股数a、b、c 满足（ a, b, c）=1,则 a、b、c 叫做 基本勾股数组。性质 1.如果 a、b、c 是一组勾股数，则ka、kb、kc(k 是正整数 )也是一组勾股数。性质 2.若 a、 b、c 是一个基本勾股数组，则a、b、c 不能同是奇数，也不能同是偶数，c 不能为偶数。性质 3.不定方程222abc 的基本勾股数组解a、b、c 且 a是偶数的公式为22222,.amn bmncmn其中0,(, )1,mnm nm 和 n 中一奇一偶。 （罗士
27、琳法则 ）性质 4.如果 k 是大于 1的奇数，那么k，212k，212k是一组勾股数性质 5. 如果 k 是大于 2 的偶数，那么k，212k，212k是一组勾股数常见的勾股数有： （6,8,10） （3,4,5） （5, ，12，,13） （9,12,15） （7,24,25） （9,40,41）规律 ：（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且 ab 时，如果 b+c=a2那么 a,b,c就是一组勾股数. 如 （ 3, 4, 5） , （5,12， ,13）（ 7,24,25）（9,40,41） （2）大于 2 的任意偶数， 2
28、n(n 1) 都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 。如： （ 6,8,10 ） （8,15,17 ）等。4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线 /周长 /面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线 /周长 /面积（3）判定三角形形状： a2 +b2c2锐角 ，a2 +b2=c2直角 ，a2 +b2c2钝角 直角三角形判定方法：. 找最长边； . 比较长边的平方与另两条较短边的平方和之间的大小关系；. 确定形状（4）构建直角三角形解题二.经典例题【例 1】( 山东省中考题) 2002 年 8 月在北京召开的国际
29、数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形( 如图所示 ) 如果 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 (a+b)2的值为 ( ) A13 B 19 C25 D169 例 1 图例 2 图例 3 图ABCPACBDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义15【例 2】( 重庆市中考题) 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边 AB为边向内作等边ABD ，连
30、结 DC ，以 DC为边作等边 DCE ， B、E在 CD的同侧，若AB=，则 BE= 【例 3】( “祖冲之杯”邀请赛试题) 如图， P为 ABC边 BC上的一点，且PC 2PB ， 已知 ABC 45，APC 60，则 ACB的度数 = 【例 4】 如图，在RtABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，设 AC b，BC a，AB=c，CD=h 求证：（1）；（2）；（3） 以、为边的三角形，是直角三角形【例 5】.（1） （90 年全国初中联赛试题）中，边有 100 个不同的点，记 ( 1，2， 100) 则= 第(1)题图第(2)题图第(3)题图（2） （97年全国初中联赛试题）
31、如图： 已知 A=B，AA1，PP1，BB1均垂直于 A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则 AP PB 等于（）A12 B13 C14 D 15 （3）( 第七届希望杯初二试题) . 如图 ,P 是等边三角形ABC中的一个点 ,PA=2,PB=2 3,PC=4, 则三角形ABC的边长为2222111hbahcbabahhcACBDABC2ACABBC1P2P100PiiiBPAPm2CPii21mm100mABCPiA1B1BAPP1BCAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页成都
32、市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义16三.经典练习1( 山西省中考题). 如图， AD是 ABC的中线， ADC=45 ，把 ACD沿 AD对折，点C落在点 C的位置，则BC 与 BC之间的数量关系是第 1 题图第 2 题图第 3 题图2如上图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将 ABP绕点 A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP 3，则PP 的长等于3( 武 汉市选拔赛试题) 如上图，已知AB=13 ，BC=14 ，AC=15 ，AD BC于 D，则 AD= 4. 如下图在四边形ABCD 中， A=60， B= D90， BC=2 ，CD=3 ，则 AB=( ) A 4 B5 C2 D
33、第 4 题图第 5题图5( 北京市竞赛题如上图 )在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) A CD ，EF ， GH BAB ，CD ，EF CAB ，CD ，GH DAB ，EF，GH 6( 湖北省预赛试题) 如下图，在ABC中， AB=5 ， AC=13 ，边 BC上的中线 AD=6，则 BC的长为第 6 题图第 7 题图第 8 题图7( 天津市竞赛题) 如上图，用3 个边长为l 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A B C D8如上图， RtABC中， ACB 90， CD AB于
34、 D， AF平分 CAB交 CD于 E，交 CB于 F，且 EG AB交 CB于 G，则 CF与 GB的大小关系是 ( ) A CFGB B CFGB CGFGB D无法确定ABCCDPABCPABCD3338ABCDABCD2254516175精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义179( “祖冲之杯”邀请赛试题) 在锐角 ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( ) A2c4 B2 c 3 C 2 c D. c 10( 武汉市选拔赛试题) ABC三边
35、BC 、CA 、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为、，若aah，bbh，则这个三角形为( ) A等边三角形 B等腰非直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形11如图，在Rt ABC中， A=90， D为斜边 BC中点， DE DF，求证：12如图，已知 ABC是等腰直角三角形，AB AC ，D是斜边 BC的中点， E、F分别是 AB 、AC边上的点，且DEDF，若 BE=12 ，CF=5 ，求 DEF的面积13如图，在 ABC中， AB=AC ，(1) 若 P是 BC边上的中点，连结AP ，求证： BPCP=AB2一 AP2；(2) 若 P是 BC边上任意一点，上面的结论还成立
36、吗? 若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3) 若 P是 BC边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、 CP之间有什么样的关系?请证明 你的结论14( 河南省竞赛题) 如图， ACB=90 ， AD是 CAB的平分线， BC=4 ，CD=，求 AC的长10810ahbhch222CFBEEFABCEDFABCEDFABCP23ACBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义1815( 烟台市中考题) (1) 四年一度的国际数学家大会于2002 年 8 月 20 日在北京
37、召开大会会标如图甲它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积(2) 现有一张长为6.5cm宽为 2 的纸片，如图乙，请你将它分割成6 块，再拼合成一个正方形( 要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据) 16( 北京市竞赛题) 如图，在四边形ABCD 中， ABC=30 ， ADC=60 ， AD=CD ，求证： BD2=AB2+BC2ADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年
38、级数学竞赛辅导讲义19第四讲位置与坐标一.知识链接1. 平面直角坐标系及各象限内点的坐标符号: 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系2. 点( ,)P x y关于 x 轴、 y 轴或原点等对称点坐标的特征： .关于 x 轴的对称点为( ,)Pxy； .关于 y 轴的对称点为(,)Px y； .关于原点的对称点为(,)Pxy；关于yx的对称点为( , )Py x； .关于yx的对称点为(,)Pyx； .关于点( , )M a b的对称点为(2,2)Paxby。3.点00(,)P xy到坐标轴、原点和直线的距离：（ 1） 到 x 轴的距离等于0|y；（2）到 y 轴的距离等于
39、0|x；（ 3） 到原点的距离等于2200 xy；（ 4）到直线0AxByC的距离是0022|AxByCdAB. 4. 两点间的距离公式: 已知两点2211,yxByxA，则221221yyxxAB. 特别地， .若 AB X 轴,则|BAxxAB; .若 AB Y 轴,则|BAyyAB. 5. 分点坐标公式：已知2211,yxByxA，若点( , )P x y分线段AB为APPB, 则点( , )P x y的坐标为121211xxxyyy. （定比分点坐标公式）特别地，当点( ,)P x y为线段AB的中点时， P点坐标为2,22121yyxx（中点坐标公式）. 6.三角形重心坐标公式: A
40、BC 三顶点坐标为112233(,),(,),(,)A xyB xyC xy,则 ABC 的重心坐标为 : 123123(,)33xxxyyyO. y轴（纵轴）x轴（横轴）原点O x y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3第一象限第二象限第三象限第四象限注意: 坐标轴上的点不属于任何象限。(,) ( ,) (,) (,) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义207.坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化图形
41、的变化xa或ya被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍xa，ya放大（缩小）为原来的 a 倍( 1)x或( 1)y关于 y 轴或 x 轴对称( 1)x，( 1)y关于原点成中心对称xa或ya沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位xa，ya沿 x 轴平移 a 个单位，再沿 y 轴平移 a 个单位二. 经典例题例 1. 解答以下各题： （2013 年绵阳市中考）如图，把“ QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A 的坐标是（ -2，3） ，嘴唇C 点的坐标为（ -1 ，1） ，则将此“ QQ”笑脸向右平移3 个单位后，右眼B 的坐标是。第 2 题图第 2 题图 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点
42、O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1） ，A2（1，1） ，A3（1，0） ，A4（2，0） ， 那么点 A4n+1（n 为自然数）的坐标为（用 n 表示） . 如图，动点P从（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A （1，4）B （5，0）C（6，4）D（ 8，3）第（ 3）题图第（ 4）题图. 在直角坐标系中， 我们把横、 纵坐标都是整数的点叫做整点且规定， 正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边
43、长为1 的正方形内部有1 个整点，边长为2 的正方形内部有1个整点，边长为 3 的正方形内部有9 个整点，则边长为8 的正方形内部的整点的个数为（）A64 B49 C36D25第 1题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义21例 2. 解答下列竞赛试题： .(第二十三届“希望杯”) 如下图，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0， 0） ， （4，0） ，（3， -2 ） ，以 A、 B 、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）（A）第一象限（B）第
44、二象限（C）第三象限（D）第四象限第题图. （ 2013年全国初中数学联赛初二组) 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为 CD 边上的中点，若M 点是 A 点关于线段EF 的对称点，则EDAE等于（）A、35B、53C、2 D、21 ( 第二十四届“希望杯”) 点和点都在直线上，则和的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）不能确定的.( 四川省竞赛题) 若关于, x y的方程组32339mxyxmy的解为坐标的点, )x y（在第二象限， 则符合条件的实数 m 的范围是（）. A. 19mB. 2mC. 129MD. 192m( 澳洲数学竞赛题) 设平面直角坐标系的轴以1cm 作为长
45、度单位， PQR 的顶点坐标为P(0， 3),Q(4,0),R(k,5),其中 0k0b0) ；（2）沿 y 轴向上（下）平移h 个单位，则:lykxbh (h0). （3）关于 x 轴对称的函数是：ykxb；（4）关于 y 轴对称的函数是：()ykxb；（5）关于原点对称的函数是：()ykxb。6. 一次函数的保号性：由于一次函数y 随 x 增大而一直地增大（或减小），所以当mxn时：000kmbyknb，或000kmbyknb。二.经典例题例 1. （2006 年“信利杯”数学竞赛题）已知直线l经过 (2 ，0) 和(0 ，4) ，把直线l沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线l，则直线
46、l的解析式为 . 例 2. （2006 年全国初中联赛决赛试题）设 0k1，关于x的一次函数)1(1xkkxy，当 1x2 时的最大值是（）（ A）k（B ）kk12（ C ）k1（D）kk1例 3（ 2005 年辽宁省初中数学竞赛题）为鼓励用户节约用电，某市电力公司制定新的民用电收费标准，每月用电量x( 度) 与应付电费y( 元) 的关系如图所示(1) 根据图象，分别求出当0 x50 和 x50 时， y 与 x 的函数关系式；(2) 当每月用电量不超过50 度时，收费标准是怎样的?当每月用电量超过50 度时，收费标准是怎样的? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
47、 - - - - - - -第 27 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义28例 4 （2013 年四川省初中数学联赛试题）已知：, ,x y z为三个非负实数，且满足325231xyzxyz，设37sxyz，则s的最大值是（）（A）111（B）111（C）57（D）75例 5 （2013 年四川省初中数学联赛试题）已知一次函数(0)ykxb k的图像与x轴的正半轴交于E 点，与y轴的正半轴交于F 点，与一次函数21yx的图像相交于A (m,2) ，且 A 点为 EF 的中点 .（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若一次函数21yx的图像与x轴相交于P 点，求三角形A
48、PE 的面积。例 6（2013 河 北 省 中 考 题 ）如图 15，A（0，1） ，M（3，2） ，N（4，4）.动点 P 从点 A 出发，沿轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线 l：y x+b 也随之移动，设移动时间为t 秒. （ 1）当 t3时，求 l的解析式；（ 2）若点 M， N位于 l的异侧，确定t的取值范围；（ 3）直接写出t 为何值时，点M 关于 l 的对称点落在坐标轴上.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义29例 7.（2012 年全国初
49、中数学联赛试题）.如图， 一次函数28yx的图象与两坐标轴分别交于P、Q 两点，在线段 PQ 上有一点A,过点 A 分别作坐标轴的垂线，垂足分别为B、C. .若矩形 ABOC 的面积为4，求点 A 的坐标。.若点 A 在线段 PQ 上移动，求矩形ABOC 面积的最大值。例 8.（2006 年四川省数学联赛试题）已知一次函数1(11kyxkkk为正整数）的图象与x 轴、 y 轴的交点是,KKAO、B为坐标原点，设RtkkA B O的面积是Sk,求122006+.SSS的值。三.经典练习1 （1999 年全国初中数学联赛试题）设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列
50、4 个图中的一个为正确的是（） 。OyQxCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 41 页成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义302（ 2000 年全国初中数学联赛试题）某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间 t 的关系示意图是（）。3、 （2011 年四川省数学联赛试题）有一个最多能称10 千克的弹簧秤， 称重发现， 弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（） 。重量（千克）1 1.5 2 2.5 3