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1、八年级数学第 2 讲实数 (一) 知识点一：无理数1、无理数的概念无限不循环小数叫做无理数学习无理数应把握住无理数的三个特征：无理数是小数；无理数是无限小数；无理数是不循环小数判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少2、有理数与无理数的区别事实上， 有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来， 任何有限小数或无限循环小数也都是有理数如3 可看做 3.0 这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小 数都可以化为分数，如：3.14 可化为 3750. 例把下列小数化成分数：(1)0.6；(2)7.0；(3)43.0有理数与无理数的主要区别：无理数是无限不循环小数，有理
2、数是有限小数或无限循环小数；任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能【例 1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3141 592 6，43，2.58，6.751 755 175 551 7,(相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加1),0，227，5.23，2. 3、无理数近似值的估算方法无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征.要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减 0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；, ；如此继续下去，可以求出无理数的近似值【例 2】 面积为 7 的正方形的边长
3、为x，请你回答下列问题(1)x 的整数部分是多少？(2)把 x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？(3)x 是有理数吗？请简要说明理由4、无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如 1.414 213 56, 是无理数看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001,(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次增加 1)是无理数(2)圆周率 以及含 的数，如 ，2，5，都是无理数(3)开方开不尽的数，如2、3, 是无理数【例 3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？名师资料总结 - -
4、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 0，2， 4,0.12， 117， 1.112 111 211,( 相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加1)，3.141 592 ，7，5，85、无理数的应用【例 4】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面 C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到 A 处的距离为3 m，求钢丝绳BC 的长度 (精确到十分位 )知识点二： 平方根1、平方根的概念：如果一个数x 的 平方等于a，即 x
5、2a，那么这个数x 就叫做 a 的平方根 (也叫做二次方根).329，所以 3 是 9 的平方根 ( 3)29，所以 3 也是 9 的平方根，所以 9 的平方根是3 和 3. 2、平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“a” ，读作“正、负根号a” “”读作“根号” ， “a”是被开方数例如：2 的平方根可表示为2. 3、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根【例 5】 求下列各数的平方根：(1)81；(2)(7)2； (3)11549. 【例 6】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由(1)94；(2
6、)0；(3)9；(4)| 0.81|；(5) 22. 知识点三： 算术平方根1、算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a，即 x2a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根2、算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a” ，读作“根号a” 3、算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0 的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根【例 7】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 知识点四： 开平方求一个数a(a0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数开平方运算是已知指数和幂求底数(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个
7、数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - (2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0 可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0 才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决【例 8】 小明家计划用80 块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多
8、少的地板砖？知识点五：a2与( a)2的关系a表示 a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a)2a(a0).a2表示 a2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a0，则 a2的算术平方根为a；若 a0，则 a2的算术平方根为 a，即a2|a|a，a0， a，a0.(1)区别：意义不同：(a)2表示非负数a 的算术平方根的平方；a2表示实数a 的平方的算术平方根 取值范围不同： ( a)2中的 a 为非负数， 即 a0； a2中的 a 为任意数 运算顺序不同：(a)2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求a的平方，再求平方后的算术平方根写法不同在(a)2中，幂指数2 在
9、根号的外面；而在a2中，幂指数2 在根号的里面运算结果不同：(a)2a；a2|a|a，a0，a，a0.(2 )联系：在运算时，都有平方和开平方的运算两式运算的结果都是非负数，即( a)20，a2 0.仅当 a0 时，有 (a)2a2. 【例 9】 化简： (6)2 _；(7)2_. 【例 10】 (1)求 (3)2的平方根； (2)计算144；(3)求(3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根【例 11】 求下列各式的值：(1)81；(2)16；(3)925；(4)(4)2. 知识点六：非负数的性质1、非负数： |a| 、a、a2；2、若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 3、几
10、个非负数的和为非负数【例 12】 若x2y6，则 x_，y_. 【例 13】 若|m1|n5 0，则 m_，n_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 【例 14】 如果 yx244x2x2 2 013 成立，求 x2y3 的值课内练习：1、 填空 :0.351 ，4.9 6，32，3.14159 ，6， 5.2323332 , ，3，1234567891011 , ( 由相继的正整数组成 )，3141 592 6，4
11、3，2.58，6.751 755 175 551 7,(相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加1),0，227， 5.23，2. 2、 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数 ; （）(2)无限小数都是无理数 ; （）(3)无理数都是无限小数 ; （）(4)有理数是有限数 . （）3、以下各正方形的边长是无理数的是（）(A）面积为 25 的正方形；(B） 面积为254的正方形；(C） 面积为 8 的正方形；(D） 面积为 1.44 的正方形 . 4、一个直角三角形两条直角边的长分别是3 和 5，则斜边 a 是有理数吗? 5、解方程： 4(x+1)2=8 5、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）121；（2） （ 3）2；（3）3161；有理数集合无理数集合,3 5 a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -