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1、精品_精品资料_集合与函数概念一、集合的基本概念与运算一元素与集合1.集合的定义一般的,我们把争论对象统称为元素.把一些元素组成的总体叫做集合简称为集.通常用大写字母 A ,B,C,D,表示集合, 用小写拉丁字母 a,b,c, 表示元素.2.集合中元素的特点(1) 确定性：给定的集合,它的元素必需是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如,“中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、广州不 在这个集合中.“身材较高的人” 不能构成集合. 由于组成它的元素是不确定的.(2) 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的 或说是互
2、异的 ,也就是说,集合中的元素是 不重复显现的.相同元素、重复元素,不论多少,只能算作该集合的一个元素.(3) 无序性：在一个集合中,不考虑元素之间的次序只要元素完全相同,就认为是同一个集合.3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.4、元素与集合的关系假如 a 是集合 A 的元素,就是说 a 属于集合 A,记作 aA .假如 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 aA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作 N.全部正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集
3、中排除0 的集合）,记作N* 或 N+.全体整数组成的集合称为整数集,记作Z.全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q. 全体实数组成的集合称为实数集,记作R.拓展与提示： （ 1）无序性常常作为运算时验证的重要依据.（ 2）留意 N 与 N *的区分. N*为正整数集,而 N 为非负整数集,即0 N 但 0N * .（ 3）集合的分类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按元素个数有限集：含有有限个元无限集：含有无限个元素的集合叫做有限集素的集合叫做无限集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按元素的特点可分为：数集,点集,形集等等.例 已特知别P的,至x,少y有,1一,
4、 Q个元素x的2 ,集xy合, x叫,做且非P空集Q合,.求x,只含有一个元素的集合叫做单元素集.不y的含值有任何元素的集合叫做空集（）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2 ,yxy,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由 或2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy1,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相冲突.解得 x= -1 或 1舍去这时 y=0x= -1, y=06、集合的表示方法(1) 列举法：把集合中的全部元素一一列举出来,并
5、用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用条件： 有限集或有规律的无限集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式：a1 , a 2 , a3 , an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 描述法：用集合所含元素的共同特点表示集合的方法称为描述法,详细方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化范畴. 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特点.适用 条件： 一般适合于无限集,有时也可以是有限集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式： xD px,其中 x 为元素, px表示特点.可编辑资料 - - - 欢迎下
6、载精品_精品资料_拓展与提示： 假如集合中的元素的范畴已经很明确,那么 x D 可以省略, 只写其元素x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 xR x10 可以表示为x x10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线圆、椭圆、矩形等 内.例 用适当的方法表示以下集合,并指出它是有限集仍是无限集：1由全部非负奇数组成的集合.2由全部小于 10 既是奇数又是质数的自然数组成的集合. 3平面直角坐标系内全部第三象限的点组成的集合.(4) 方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合.解析 1由全部非负奇数组成的集合可表示为：可
7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax x2n1, nN , A 是无限集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 满意条件的数有 3, 5, 7,所以所求集合为： B3,5,7,集合B 是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 所求集合可表示为： Cx, y x0且y0 ,集合 C 是无限集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 由于方程 x2+x+1=0 的判别式的0,故无实数, 所以方程 x2+x+1=0 的实根组成的集合是
8、空集.二集合的基本关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、子集：一般的,对于两个集合A、B,假如集合 A 中任意一个无素都是集合 B 中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作 AB 或BA) ,读作“ A 含于 B ”或“ B 包含 A”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数学表述法可简述为：如xAxB ,就集合 A 是集合 B 的子集. 如图2、集合相等：假如集合 A 是集合 B 的子集 AB ,且集合 B 是集合 A 的子集 BA ,此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一
9、样的,因此,集合 A 与集合B 相等,记作 A=B .数学表述法可描述为： 对于集合 A 、B,如 AB ,且 BA ,就集合 A、B 相等.3、真子集：如集合 AB ,且 AB,就集合 A 是集合 B 的真子集.4、空集：不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A, AA .2.B 其中 B为非空集合 .3 对于集合 A , B , C,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB, BC,就AC .4对于集合 A ,B,如 AB且BA,
10、 就AB .6 含 n 元素的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合的全部子集个数为2n 个,真子集有2n-1 个,非空子集有 2n-1 个,非空真子集有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n-2 个. 7aA与aA 是不同的,前者为包含关系,后者为属于关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）集合间的基本运算1、并集一般的,由所 有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合A 与 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的并集,记作 AB 读作“ A 并 B”,即 ABx xA,或xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
11、资料_可用 Venn图表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拓展与提示：对于任意集合A 、B ,有 1 AAA, AA; 2 ABBA;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 A AB, B AB) ;4 ABAAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、交集一般的,由属于集合 A 且属于集合 B 的全部 元素组成的集合,称为集合 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 B 的交集,记作 AB 读作“ A 交 B”,即 ABx xA, 且xB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
12、料_拓展与提示：对于任意集合A 、B ,有 1 AAA, A;2 ABBA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ABA, ABB . 4 ABAAB . 5 AB AB) .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可用 Venn图表示为3、全集与补集(1) 全集：一般的,假如一个集合含有我们所争论问题中所涉及的全部元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.(2) 补集：对于一个集合A,由全集 U 中不属于集合 A 的全部元素组成的集合称为 集合 A 相 对于 全集 U的 补集 , 简 称 为集 合 A的补 集, 记作euAx xU , 且xA .可编辑资料 - - -
13、 欢迎下载精品_精品资料_拓展与提示： 1A euA =,A euA ,=U .（2）痧u uA = A ,euU=,eu=U .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 3eu AB = 痧uAuB , eu AB = 痧uAuB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 下图中的 分别表示为 A euB , euA B, A B , 痧uA uB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 设集合 Ax 2 ,2x1, 4 , Bx5,1x,9,如 AB= 9
14、 ,求 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由 A B= 9 得, 9A.x2=9 或 2x-1=9由 x2=9 得, x=3.当 x=3 时, A9,5,4 , B2, 2,9,与元素的互异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=-3 时, A9, 7,4 , B8,4,9,此时, AB8, 7,4,4,9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2x-1=9 得 x=5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=5 时,
15、 A25,9,4 , B0, 4,9,此时, AB4,9,与题设冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述, AB8, 7,4,4,9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、集合中元素的个数： （不做要求）在争论集合时,常常遇到有关集合元素的个数问题,我们把含有限个元素的集合 A叫做有限集,用card 来表示有限集合A 中元素的个数.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Aa, b, c, 就card A3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,对任意两个有限集A, B,有
16、cardAB=cardA+cardB-cardAB.当时仅当 AB=时, cardAB=cardA+cardB.解与集合中元素个数有关的问题时,常用venn 图.例 学校先举办了一次田径运动会,某班有8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有 12 名同学参赛,两次运动会都参赛的有3 人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 设 A田径运动会参赛的同学, B球类运动会参赛的同学,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB两次运动会都参赛同学, AB全部参赛的同学,可编辑资
17、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CardA B=cardA+cardB-cardA B=8+12-3=17答：两次运动会中,这个班共有17 名同学参赛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数及其表示 一函数的概念1、定义一般的,我们说：设 A,B 是非空的数集,假如依据某种确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 yf x, xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中, x 叫做自变量,
18、 x 的取值范畴 A 叫函数的定义域.与 x 的值相对应的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 值叫做函数值,函数值的集合f x xA 叫做函数的值域,明显,值域是集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 的子集.2、函数的三要素(1) 函数的三要素是指定义域、对应关系和值域.(2) 由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一样,我们就称这两个函数相等.拓展与提示： 1函数符号 y=fx 是由德国数学家莱布尼兹在18 世纪引入的.(2) 留意区分 fa 和 fx , fx 是指函数解析式,fa 是指自变量为 a 时的函数
19、值.3、区间.设 a, b 是两个实数,而且 ab,我们规定：(1) 满意不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 a,b. 2满意不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为a,b.3满意不等式 axb 或 ax b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示为a, b ,a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义名称符号数轴表示x | axb闭区间 a, bx | axb开区间a, bx | axb半开半a,
20、b闭区间实数集常用区间表示为,“”读作“无穷大” . “”读作“负无穷大” ,“+”读作“正无穷大”集合x | xa符号数轴表示a,x | xaa,x | xb, bx | xb, b拓展与提示： 1在数轴上,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.2求函数定义域,主要通过以下途径实现.如 fx 是整式,就定义域为 R.如 fx 为分式,就定义域为使分母不为零的全体实数.如 fx 为偶次根式,就定义域为使被开方数为非负数的全体实数.如 fx 的定义域为 a,b,就 f gx的定义域是 agx b 的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f gx的定
21、义域为a,b,就 fx 的定义域是 gx在 xa, b下的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求以下函数的定义域yx112x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 要使 yx112有意义,就必需x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x102x0x1 ,即 x-1 且 x2,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函 数的定义域为x | x1且x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 21已知函数 fx的定义域是 -1,3,求 fx+1和 fx 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已 知函
22、数 f2x+3的定义域为1,2,求 fx-1的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1fx 的定义域为 -1,3,fx+1 的定义域由 -1 x+13 确定,即 -2 x 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx+1 的定义域为 -2,2.fx 2的定义域由 -1x2 3 确定,即3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 2的定义域为 3, 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 f2x+3 的定义域为2x+3 中的 x 满意-1x 2,12x+3 7.1,2,令 t=2
23、x+3,就 ft 的定义域为1, 7 .又 1x-17, 2x 8fx-1 的定义域为 2,84、反函数式子 y=fx 表示 y 是自变量 x 的函数,设它的定义域为A,值域为 C,我们从式子 y=fx 中解出 x 得到 x=gy,假如对于 y 在 C 中的任何一个值通过式子x=gy,x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子x=gy表示 y 是自变量 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数,这样的函数x=gy 叫做 y=fx 的反函数,记作 xf1 y ,一般写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf1 x .拓展与提示：1函数 y=fx 的定义域和值域
24、分别是它的反函数的值域和定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 函数 y=fx 的图象和它的反函数 yf1 x 的图象关于直线 y=x 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二函数的表示法1、函数的三种表示法解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系.列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.拓展与提示： 1函数用列表法表示时,其定义域是表中自变量所取值的全体, 其值域是表中对应函数值的全体.(2) 函数用图象法表示时,其定义域是图象投射到x 轴上的区域范畴,其值域是图象投射到 y 轴上的区域
25、范畴.2、分段函数如函数在定义域的不同子集上对应关系不同, 可用几个式子来表示函数, 这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种形式的函数叫分段函数,它是一类重要函数,形式是：f xf1 xxD1 f 2 xxD 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n xxD n分段函数是一个函 数,而不是几个函数,对于分段函数必需分段处理,其定义域为 D1D2 Dn.拓展与提示：分段函数中,分段函数的定义域的交集为空集.例 中国移动通信已于 2022 年 3 月 21 日开头在所属 18 个省、市移动公司间续推出“全球通”移动电话资费“套餐” ,这个套餐的最大特点是针对不同用户采
26、纳了不同的收费方法,详细方案如下：方案代免费时间 分超过免费时间话费 元/分号基本月租 元钟钟130480.602981700.60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31683300.5042686000.45538810000.40请问：“套餐”中第 3 种收费方式 的月话费 y 与月通话量 t月通话量是指一个月内每次通话用时之和 的函数关系式.解析 “套餐”中第 3 种收费函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y168,0t330,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11680.5t330,t330.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
27、3、复合函数如 y 是 u 的函数, u 又是 x 的函数,即 y=fu,u=gx,x a, b,um,n,那么 y 关于 x 的函数 y=fgx,x a,b叫做 f 和 g 的复合函数, u 叫做中间变量, u 的取值范畴是 gx的值域.4、映射设 A,B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应关系 f,使对于集合A 中的任何一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.拓展与提示： 1映射包括集合 A 、B 以及从 A 到 B 的对应法就 f,三者缺一不行,且 A、B 必需非空.(2) A 中的元素在 B 中
28、都能找到唯独的元素和它对应,而B 中的元素却不肯定在 A 中找到对应元素,即使有,也不肯定只有一个.5、函数解析式的求法待定系数法. 如已知函数类型, 可设出所求函数的解析式, 然后利用已知条件列方程或方程组,再求系数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换元法.如已知函数 yf x的解析式,可令 t x ,并由此求出 x=gt,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后代入解析式求得 y=ft 的解析式, 要留意 t 的取值范畴为所求函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_赋值法：可令解析式中的自 变量等于某些特殊值求解.可编辑资料 - - - 欢
29、迎下载精品_精品资料_列方程 组法求解.如所给式子中含有 fx ,f1或 fx,f-x 等形式,可x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑构造另一个方程,通过解方程组获解.5配凑法例 解答以下各题：1已知 fx=x 2-4x+3,求 fx+1 . 2已知 fx+1=x 2-2x,求 fx .(3) 已知二次函数 gx满意 g1=1,g-1=5,图象过原点,求 gx .解析 1fx+1=x+1 2-4x+1+3=x 2-2x2方法一： 配凑法fx+1=x+1 2-2x-1-2x=x+1 2-4x-1=x+1 2-4x+1+3,fx=x 2-4x+3方法二： 换元法 令 x+1=t,
30、就 x=t-1, ft=t-1 2-2t-1=t 2-4t+3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx=x2-4x+3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由题意设 gx=ax2+bx+c,a0.g1=1,g-1=4,且图象过原点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab abc0.c1,c5,解得a 3,b 2,c 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx=3x2-2x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、函数的基本性质一函数的单调性 1、单调性一般的,设函数 fx 的定义域为 I：假如对于定义域 I 内某个区间 D 上
31、的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说函数 fx 在区间 D 上是增函数,如下图 1所示.假如对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1 fx 2,那么就说函数 fx 在区间 D 上是减函数.假如 函数 y=fx 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,区间D 叫做 y=fx的单调区间.拓展与提示： 1定义中的 x 1,x2 具有任意性,不能用特殊值代替.(2) 如 fx 在区间 D1 , D2 上都是增 减函数,但 fx 在 D1 D2 上不肯定是增 减函数.(3)
32、由 于 定 义 域 都 是 充 要 性 命 题 , 因 此 由 fx是 增 减 函 数 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 f x2 x1x 2 x1x2 ,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的不等关系可以“正逆互推” .2、函数单调性的判定方法(1) 定义法.用定义法判定函数单调性的步骤为第一步：取值.设 x1、x 2 是该区间内的任意两个值,且 x10,就 fx 在a,b上递增.如当 xa,b时,f x0,就 fx 在a,b上递减.拓展与提示：定义有如下等价形式设 x1,x2 a,b,那么可编辑资料 -
33、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1 x1f x2 0 x2f x在a, b上是增函数,f x1 x1f x2 0 x2f x在a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1x2 f x1 f x2 0f x在 a,b 上 是 增 函 数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1x 2 f x1 f x 2 0f x 上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 争论函数f xax1
34、 ax21 在-2,+ 上的单调性.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 设-2x1x2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axf x2a12ax212aa.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 2-fx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= a12a x22a1 x2a .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1= 12a1x22x12a1 .x12x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 22 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 -2x1x2,x1x20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2