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1、有理函数的定义：有理函数的定义：两个两个多项式的商多项式的商表示的函数称为表示的函数称为有理函数有理函数.一、有理函数的积分一、有理函数的积分第1页/共33页假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例要点要点 将有理函数化为将有理函数化为部分分式部分分式之和之和.第2页/共33页真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法例例1 1第3页/共33页代入特殊值来确定系数
2、代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第4页/共33页例例3 3整理得整理得第5页/共33页例例4 4 求积分求积分 解解第6页/共33页1、实、实系数多项式的分解问题系数多项式的分解问题(理论上理论上)（1）在复数范围内可分解为一次的乘积(代数基本定理代数基本定理:n 次代数方程在复数域内有次代数方程在复数域内有n个根个根)（2）在实数范围内可分解为一次和(或)二次的乘积第7页/共33页（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为2、有理函数、有理函数化为部分分式之和的一般规律化为部分分式之和的一般规律特殊地：特殊地：分解后为真分式的分子可以是常数到
3、比分母低一次的多项式真分式的分子可以是常数到比分母低一次的多项式第8页/共33页（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为特殊地：特殊地：分解后为第9页/共33页说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只有将有理函数化为部分分式之和后，只有三类情况出现：三类情况出现：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令3 3、利用、利用待定系数法将真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和第10页/共33页则则记记第11页/共33页这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且且原函数都是初等函数原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.第12页/共3
4、3页例例5 5 求积分求积分 解解第13页/共33页例例6 6 求积分求积分解解令令第14页/共33页第15页/共33页课堂练习：课堂练习：求积分求积分 第16页/共33页三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二二、可化为有理函数的、可化为有理函数的积分积分令令1 1、三角函数有理式、三角函数有理式第17页/共33页令令（万能代换公式）（万能代换公式）第18页/共33页例例7 7 求积分求积分解解由万能代换公式由万能代换公式第19页/共33页第20页/共33页例例8 8 求积分求积分解
5、（一）解（一）第21页/共33页解（二）解（二）修改万能代换公式修改万能代换公式,令令第22页/共33页解（三）解（三）可以不用可以不用万能公式万能公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.思考：能否用其他方法求例思考：能否用其他方法求例7？第23页/共33页讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例9 9 求积分求积分解解 令令2 2、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分第24页/共33页第25
6、页/共33页例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数最小公倍数.第26页/共33页u简单无理式的积分简单无理式的积分 (换元换元)u有理函数的有理函数的积分积分 (分解成部分分式之和分解成部分分式之和)（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）u三角有理式的积分（三角有理式的积分（万能置换公式万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）三、小结三、小结第27页/共33页补充补充1:1:有理函数的积分的实际问题有理函数的积分的实际问题障碍障碍:五次和五次以上的方程没有根式解五次和五次以上的方程没有根式解.Gauss,高斯,德
7、国,17771855;Cauchy,柯西,法国,17891857;Liouville,刘维尔,法国,18091882;Abel,阿贝尔,挪威,18021829;Galois,伽罗瓦,法国,18111832.第28页/共33页补充补充2:2:原函数不是初等函数的积分原函数不是初等函数的积分概率积分概率积分正弦积分正弦积分对数积分对数积分椭圆积分椭圆积分椭圆函数椭圆函数反函数反函数18341834年刘维尔年刘维尔第29页/共33页 作作 业业P269:1(1,5,9,10,12,14),2,4(1,4,6,9),6(2,6,7,10,11,12),7.第30页/共33页扩展扩展 求积分求积分解解第31页/共33页第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页