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1、关于函数的单调性与凹凸性现在学习的是第1页，共55页特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式现在学习的是第2页，共55页1.1.求求 n 次多项式次多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(
2、xxxf !21令)(xpn则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201近似等于近似等于)(xf现在学习的是第3页，共55页)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项) ,)(0 xRn)(0
3、 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x现在学习的是第4页，共55页)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()() 1() 1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(n
4、nxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn现在学习的是第5页，共55页公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx现在学习的是第6页，共55页公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达
5、式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立现在学习的是第7页，共55页特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! )
6、1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx现在学习的是第8页，共55页称为麦克劳林麦克劳林（ Maclaurin ）公式公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)(
7、)1(Mxfn则有误差估计式则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式现在学习的是第9页，共55页二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe现在学习的是第10页，共55页)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)
8、sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm现在学习的是第11页，共55页4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近33!xyx现在学习的是第12页，共55页12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!
9、7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近现在学习的是第13页，共55页! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx现在学习的是第14页，共55页) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(
10、n现在学习的是第15页，共55页) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k现在学习的是第16页，共55页三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3)
11、已知项数n和误差限 , 确定公式中x的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(现在学习的是第17页，共55页已知例1. 计算无理数e的近似值 , 使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为现在学习的是第18页，共55页说明说明: : 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数
12、点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105 . 076总误差为6105 . 076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!2111现在学习的是第19页，共55页2. 2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 )
13、1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 现在学习的是第20页，共55页11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.4. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx现在学习的是第21
14、页，共55页内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx现在学习的是第22页，共55页2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , xsin例如现在学习
15、的是第23页，共55页思考与练习思考与练习 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式现在学习的是第24页，共55页, 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一点)(xf)(21之间与在其中x由题设对证证: :例例 . .321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f 有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf且得分别令,
16、1,0 x1122( )()fx0,1,x(0,1)证明内至少存在现在学习的是第25页，共55页), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式减上式 , 得)()(48112ff )()(48112ff 令)(,)(max)(12fff 24)( f1( )24f现在学习的是第26页，共55页e) 10(! ) 1(!1!2111nen两边同乘 n !en!= 整数 +) 10(1ne假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当 时,qn
17、等式左边为整数;矛盾 !2. 2. 证明证明e e为无理数为无理数 . . 证证:2n 时,当故故e为无理数为无理数 . .等式右边不可能为整数.现在学习的是第27页，共55页泰勒泰勒 (1685 1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .现在学习的是第28页，共55页麦克劳林麦克劳林 (1698 1746)英国数学家,著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳
18、林级数麦克劳林级数 .现在学习的是第29页，共55页一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点第四节第四节 函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性现在学习的是第30页，共55页一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA现在学习的是第31页，共55页那么函数那么函数在在a,ba,b上单调增加上单调增加；(2)(2)如果在如果在(a,b)(a,b)内内那么函数那么函数在在a,ba,b上单调减少上单调减少.1. 1. 判定定理：判定定理：( )yf x 0( )
19、fx ，12,x x定理定理 1.1.设函数设函数在在a,b上连续上连续, 在在(a,b) 内可导内可导.( )yf x ( )yf x 0( )fx ，(1)(1)如果在如果在(a,b)(a,b)内内(1)(1)证明证明：设设：则由中值定理则由中值定理：( , )a b12xx12( )()f xf x( )f012( )()f xf x12()xx现在学习的是第32页，共55页yxo),(,32xxy332xy 0 xy32xy 1) 若函数在驻点两边导数同号若函数在驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 说明说明:2
20、) 函数单调区间的分界点也可能是函数单调区间的分界点也可能是不可导点不可导点. 一般地一般地,如果如果在某区间内的在某区间内的有限个有限个点处为零，点处为零，( )fx( )f x在其余各点处均为正在其余各点处均为正(或负或负)时时,在该区间上在该区间上仍旧是单调增加仍旧是单调增加(或单调减少或单调减少)的的.那么那么现在学习的是第33页，共55页求函数导数求函数导数求函数的求函数的驻点驻点以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别导数的符号在各子区间内分别判别导数的符号, ,写出各单调区间写出各单调区间.2.函数单调区间的求解步骤函数
21、单调区间的求解步骤:( )fx(1)(2)(3)(4)导数为导数为0 0或导数不存在的点称为或导数不存在的点称为驻点驻点从而确定其单调性；从而确定其单调性；(5)12,nx xx现在学习的是第34页，共55页例例2.2. 讨论函数讨论函数xyex 的单调性的单调性.sinyxx 在区间在区间0 2 , 上的单调性上的单调性.例例1. 1. 判断函数判断函数(sin )yxx1 cosx 0,y x 0,2(0,2 )x 0y ()xyex1xe0,y 0 x 0 x 0y0 x 0y 解：解：令：令：单调增单调增在在得：得：解：解：sinyxx 0 2 , 令：令：得：得：函数为单调减函数为单
22、调减函数为单调增函数为单调增当当当当时时时时(,)在区间呢？ 现在学习的是第35页，共55页例例3.3.确定函数确定函数的单调区间的单调区间. .3229123yxxx解：解：令：令：得：得：所以函数为单调减区间为所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为函数为单调增区间为y 3229123xxx 261812xx26(32)xx(1)(2)xx11,x 1,x时0y 0y 12,x时0y2,x 时0y 1,2(,12,)22x 现在学习的是第36页，共55页例例4.4.确定函数确定函数的单调区间的单调区间. .3210496yxxx 解：解：令：令：得：得：所以函数为单调减区间为所以函数为单调
23、减区间为函数为单调增区间为函数为单调增区间为y 32110(496 )xxx( 1) 32210(496 )xxx 32(496 )xxx 32210(496 )xxx2(12186)xx32260(496 )xxx 2(231)xx22 (496)xxx60(21)(1)xx0,x 1,210,x0y 0y 0y 10,2x112x ，0y1,x 0y 1 ,12(,0)1(0, 21,)现在学习的是第37页，共55页例例5.5. 当当1x 123xx 时时成立成立. .3. 3. 应用应用: :利用函数的单调性可以证明不等式利用函数的单调性可以证明不等式证明证明：( )f x2 x1(3)
24、x( )fx211xx21x(1)x x ( )0fx( )(1)f xf012(3)xx0当当时时, ,试证：试证：1x 时有时有1x即：即：函数为单调增函数函数为单调增函数123xx 现在学习的是第38页，共55页例例6.6.当当0 x 2112xexx 时时证明证明：( )f xxe21(1)2xx( )fx1xex ( )0fx( )(0)fxf00当当时时, ,试证：试证：0 x 时有时有0 x 即：即：为单调增函数为单调增函数无法判断正负号无法判断正负号( )fx1xe( )fx为单调增函数为单调增函数0 x 时时( )f x( )(0)f xf0 xe21(1)2xx2112xe
25、xx 所以有：所以有：现在学习的是第39页，共55页例例7.7. 证明方程证明方程只有一个实根只有一个实根.sin0 xx ( )sinf xxx,2 2 证明方程根的唯一性证明方程根的唯一性: :()()022ff ( )0f ( )1fxcosx 0 (,) (,)2 2 证明证明:在在连续连续至少存在一点至少存在一点使得使得为原方程的根为原方程的根又又所以函数所以函数在在 ( )sinf xxx为单调增函数为单调增函数( )f x与与x轴最多有一个交点轴最多有一个交点证毕证毕现在学习的是第40页，共55页 1 ,0上上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或)
26、 1 ()0(ff的大小顺序是的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffDB1. 设在设在思考与练习思考与练习02xsintan2 .xxx2. 证明：当证明：当时，时，现在学习的是第41页，共55页yxoC二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点DBA对于单调增函数对于单调增函数图形可以形如图形可以形如ACB也可以形如也可以形如ADB现在学习的是第42页，共55页定义定义 . .设函数设函数)(xf在区间在区间I上连续上连续 ,21
27、Ixx(1)(1)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称( )f x的图形是凹的的图形是凹的; ;(2)(2)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称( )f x的图形是凸的图形是凸的的 . .yox2x1x221xx yox1x221xx 2x1. 1. 曲线凹凸性的定义：曲线凹凸性的定义：122()x xf 122( )( )f xf x122()x xf 122( )( )f xf x现在学习的是第43页，共55页xye ( )xyf xe 12,x x 例例. . 利用定义判断曲线利用定义判断曲线的凹凸性的凹凸性. .I 122()xxf 12
28、2()()f xf x 122xxe 1212()xxee1222()xxe 12214()xxee12xxe 112222124()xxxxee ee112222124()xxxxee ee 12214()xxee 0 解：解：所以所以凹的凹的. .122()xxf 122()()f xf x 现在学习的是第44页，共55页( )0fx ( )0fx yxoBA( )yf x yxoBA( )yf x 现在学习的是第45页，共55页)(xf(1) 在在I内内,0)( xf则则 在在I I内图形是凹的内图形是凹的 ; ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凸的内
29、图形是凸的 . .)(xf设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数2. 2. 曲线凹凸性的判定：曲线凹凸性的判定：定理定理2.(2.(凹凸判定法凹凸判定法) )现在学习的是第46页，共55页证明证明:设设:则则所以：所以：其中其中凹的凹的12, , x xa b12xx 1202,xxx 212xxh 20 xxh 10 xxh1202()()()f xf xf x 20()()f xf x01 ()()f xf x 00()()f xhf x 00()()f xf xh 01()fxh h 02()fxh h 1201, 0102()()fxhfxh h( )f 12()hh h
30、212( )()fh 0 122()()f xf x 122()xxf 0 ( )0fx现在学习的是第47页，共55页曲线的凹凸区间的求解步骤曲线的凹凸区间的求解步骤: :从而判断曲线弧的凹凸性从而判断曲线弧的凹凸性；( )fx(1)求函数一阶二阶导数求函数一阶二阶导数(2)( )0fx及二阶导数不存在的点及二阶导数不存在的点； 令令：以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；(3)(4)在各子区间内分别判别二阶导数的符号在各子区间内分别判别二阶导数的符号, ,( )fx12,nx xx现在学习的是第48页，共55页例例. . 判断曲线判断曲线3yx 的凹
31、凸性的凹凸性. .yox3xy 3()yx 23x 6yx 0y 0 x 0 x 0y 0 x 0y 解：解：令：令：得：得：时时当当当当时时函数图形为凸函数图形为凸. .函数图形为凹函数图形为凹. .现在学习的是第49页，共55页1)1)定义定义: : 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点拐点 . .3. 3. 曲线的拐点及其判定：曲线的拐点及其判定：2) 2) 拐点的必要条件拐点的必要条件: : 定理定理3.3.如果如果)(xf内具有二阶连续导数内具有二阶连续导数, ,00,()xf x0()0.fx在在0U(, )x是是拐点拐点, ,则则注注: : 拐点处
32、的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. . 且点且点现在学习的是第50页，共55页说明说明: :1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0 0 ,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyooxy3xy 4yx2) 函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点. .现在学习的是第51页，共55页例例. . 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点. .32) 1 , 0(),(27113243341()yxx 321212xx y 23624xx 36x 23()x 0y
33、10,x 223x 0 x 0y 203x0y 23x 0y 解：解：令：令：得：得：当当时时当当时时当当时时凹凹凸凸凹凹为拐点为拐点. .所以所以0,x 23x 现在学习的是第52页，共55页4. 4. 利用曲线凹凸性证明不等式：利用曲线凹凸性证明不等式：例例. .证明证明： lnlnln2xyxxyyxy 0,0,.xyxy 其中其中( )lnf xxx 1( )lnfxx 1( )fxx 0 ( )( )f xf y 22()xyf lnlnxxyy 222lnxyxy2()lnxyxy 222()lnxyxyxyf ( )lnf xyy 证明证明：设设：函数为凹的函数为凹的所以所以则则：即：即：现在学习的是第53页，共55页练习：练习：求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点. .21xeyyox)1,(2121e)1,(2121e现在学习的是第54页，共55页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第55页，共55页