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1、精品_精品资料_第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性.2. 元素的互异性.3. 元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样.(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.3
2、、集合的表示： 如我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法.留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R关于 “属于 ”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 aA,相反, a 不属于集合 A记作 a.A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件
3、表示某些对象是否属于这个集合的方法.语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x.R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：1. 有限集含有有限个元素的集合2. 无限集含有无限个元素的集合3. 空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5 二、集合间的基本关系1. “包含 ”关系 子集留意： 有两种可能（ 1 ） A 是 B 的一部分,.（2） A 与 B 是同一集合.反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A2 “相等 ”关系 5 5,且 55,就 5=5实例：设A=x|x2-1=0B=-
4、1,1“元素相同 ”结论：对于两个集合A 与 B ,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 ,集合 B的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B ,即： A=B 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集 :假如 AB, 且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B 或 B A假如 AB, B C , 那么 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.三、集合的运算1交集的定义：一般的,由全部属于A 且属
5、于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作 AB 读作”A交 B”,即 AB=x|x A ,且 x B 2、并集的定义：一般的,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作： A B 读作 ”A并 B”,即 A B=x|x A ,或 x B 3、交集与并集的性质： A A = A, A = , A B = B,AA A = A, A = A ,A B = B A4、全集与补集（1） ）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA即 CSA =
6、x | x. S 且 x.A SCsAA（2） ）全集：假如集合 S 含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用 U 来表示.（3） ）性质： CUC UA=A C UA A= CUA A=U二、函数的有关概念1函数的概念：设A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx , xA 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.与x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A
7、叫做函数的值域留意： 2 假如只给出解析式y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合.3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是： 1 分式的分母不等于零.2 偶次方根的被开方数不小于零.3 对数式的真数必需大于零. 4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（6 ） 指数为零底不行以等于零6 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.又
8、留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（ 1 ）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以, 假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（ 2 ）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2. 应熟识把握一次函数、二次函数、指数
9、、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.3. 函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px , y 的集合 C,叫做函数y=fx,x A 的图象C 上每一点的坐标 x , y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y,均在 C 上 .即记为 C= Px,y | y= fx , x A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 ,也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：依据函数
10、解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质.2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.发觉解题中的错误.4. 快去明白区间的概念（1） ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.（2）无穷区间.（ 3 ）区间的数轴表示5. 什么叫做映射一般的,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯
11、独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作 “：fA B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 a A,b B. 且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、 B 及对应法就 f 是确定的.对应法就有 “方向性 ”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的.对于映射f： AB 来说,就应满意：（）集合A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的.（）集合A 中不同的元素,在
12、集合B 中对应的象可以是同一个.（）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据.2 解析法：必需注明函数的定义域.3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域.化简函数的解析式.观看函数的特点.4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本 P24-25 ）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入
13、相应的表达式. 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（1 ）分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数.（ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx, x A称为 f、g 的复合函数.例如 :y=2sinXy=2cosX2+17函数单调性（1 ）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2 ,
14、当 x1x2 时,都有 fx1fx2 ,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数. 区间 D 称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间D 上的任意两个自变量的值x1, x2 ,当 x1x2时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.2 必需是对于区间 D 内的任意两个自变量x1, x2 .当 x1x2 时,总有 fx1fx2.（2） ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=fx 在这一区间上
15、具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1,x2 D ,且 x11 ,且 * 当 是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数此时,的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（ radical ）,这里叫做根指数（ radical exponent）, 叫做被开方数（ radicand ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的次方根用符号表示正的 次方根与负的次方
16、根可以合并成（ 0 ）由此可得：负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是0 ,记作 .留意：当是奇数时,当 是偶数时,2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3. 实数指数幂的运算性质（1 ） .（2 ）.（3 ）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般的,函数叫做指数函数（ exponential）,其中 x 是自变量,函数的定义域为R 留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1 2、指数函
17、数的图象和性质a10a10a1图象特点函数性质函数图象都在y 轴右侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的定义域为（0 , ） 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延长函数的值域为 R函数图象都过定点（ 1, 0 ） 自左向右看,图象逐步上升自左向右看, 图象逐步下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0其次象限的图象纵坐标都小于0其次象限的图象纵坐标都小于0（三）幂函数1、幂函数定义：一般的,形如的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1） ）全部的幂函数在（ 0 ,+）都有定义,并且图象都过点（1, 1）.（2
18、） ） 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数特殊的,当时,幂函数的图象下凸.当时,幂函数的图象上凸.（3） ） 时,幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限的靠近轴正半轴,当趋于 时,图象在轴上方无限的靠近轴正半轴 第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使 成立的实数叫做函数 的零点.2、函数零点的意义： 函数 的零点就是方程实数根, 亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标.即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点3、函数零点的求法： 求函数 的零点：1 （代数法）求方程的实数根.2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数1） 0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0,方程 无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载