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1、1.5.1 曲边梯形的面积,1.5.2 汽车行驶的路程,教学目标 理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近， 感受在其过程中渗透的思想方法。 教学重难点 重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取 极限）。 难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想 的理解 。,如何求下列图形面积？,直线,几条线段连成的折线,曲线？,由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.,曲 边 梯 形,曲边梯形的面积,特例分析,直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？,1,思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什
2、么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？,y=x2,因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内“以直代曲” ）,放大,再放大,“以直代曲,无限逼近 ”的数学思想,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无
3、限逼近,图中的图形可看成:x=0,x=1,y=0和y=x2所围成的曲边梯形,它的面积如何计算呢?,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,分割：,近似代替：,如图，当n很大时，即x很小时，在区间 上可以认为函数 的值变化很小.,把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做 .用小矩形的面积 近似地替代 即局部小范围内“以直代曲”.,则阴影部分面积,求和：,得到S（曲边梯形面积）的近似值：,取极限：,当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于S.从而有,在“近似代替”中，如果认为函数 在区间 上的值近似地等于右端点 处的函数值 ，用这种方法能
4、求出S的值吗？若能求出，这个值也是 吗？取任意 处的函数值 作为近似值，情况又怎样？,探究！,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时
5、， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,小结 求由连续曲线y=f(x)围成的曲边梯形面积的方法,（1）分割,（2）近似代替,（4）取极限,（3）求和,1. 当n很大时，函数 在区间 上的值，可以用( )近似代替 A. B. C. D.,C,练 习,2、在“近似代
6、替”中，函数f(x)在区间 上的近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确,C,练 习,巩固提高,解:(1)分割:将区间1,2n等分,则,求直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积,(2)近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形,当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S;,(3)求和,(4)取极限,即直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为,一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限
7、的方法，求出它在atb内所走的位移s. 事实上，类似于求曲边梯形面积的过程，汽车行驶的路程s就是由直线ta，tb，v0和曲线vv(t)所围成的曲边梯形的面积,二.求变速直线运动的路程,例题,如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 (t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？,分割：,在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间：,记第i个区间为 ，其长度为：,. . .,把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：,显然有,近似代替：,当n很大，即 很小时，在区间 上，函数 的变化值很小，近似地等于一个常数.,从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作匀速行驶.,在区间 上，近似地认为速度为 即在局部小范围内 “以匀速代变速”.,由近似代替求得：,求和：,取极限：,当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于s，从而有,结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？,探 究,