《2022年线性代数知识点总结 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年线性代数知识点总结 2.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_线性代数学问点总结第一章行列式二三阶行列式N阶 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的 n个 元 素 的 乘 积 的 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aijnj1 j2 j n j1 j2 . jn a11 j1a2 j.anj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质： 行列式行列互换,其值不变. （转置行列式 DDT ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 行列式中某两行（列）互换,行列式变号.推论：如行列式中某两行（
2、列）对应元素相等,就行列式等于零. 常数 k 乘以行列式的某一行（列） ,等于 k 乘以此行列式.推论：如行列式中两行（列）成比例,就行列式值为零.推论：行列式中某一行（列）元素全为零,行列式为零. 行列式具有分行（列）可加性j 将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上,值不变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行列式依行（列）绽开：余子式M ij 、代数余子式Aij 1iM ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理： 行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非齐次线性方程组：当系数行
3、列式 D0 时,有唯独解： x jD j j1、2nD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_齐次线性方程组：当系数行列式 D10 时,就只有零解逆否：如方程组存在非零解,就D 等于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特别行列式：转置行列式：a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称行列式 : aija ji可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反对称行列式 : aija ji奇数阶的反对称行列式值为零可编辑资料 - -
4、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三线性行列式 :a11 a21 a31a12 a22 0a13 0a33方法：用k1a22 把 a 21 化为零,.化为三角形行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上（下）三角形行列式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、其次章矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵的概念：Am* n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵可编辑资料 - -
5、- 欢迎下载精品_精品资料_矩阵的运算：加法（同型矩阵）交换、结合律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘 kAkaijm*n安排、结合律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A* B乘法 aik m*l* bkj l * nlaik bkj m* n 1留意什么时候有意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般 AB=BA ,不满意消去律.由AB=0 ,不能得 A=0 或 B=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转置 AT TA ABTATBT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kATkAT ABTBT AT反序定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方幂：Ak 1 Ak2Ak1 k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Ak 1 k2Ak1 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几种特别的矩阵：对角矩阵 ：如 AB都是 N阶对角阵,k是数,就kA 、 A+B 、AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵： 相当于一个数（如）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（如） 对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵 ：每一非
7、零行左数第一个非零元素所在列的下方都是 0分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注： 把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A是 N 阶方阵,如存在N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I就称 A是可逆的,A 1B 非奇特矩阵、奇特矩阵|A|=0、相伴矩阵 初等变换1、交换两行（列）2. 、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列） 初等变换不转变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵 倍加阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价标准形矩阵 DrI rOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
8、精品资料_矩阵的秩 rA ：满秩矩阵 降秩矩阵如 A 可逆,就满秩如 A 是非奇特矩阵,就r（ AB ） =r（ B） 初等变换不转变矩阵的秩求法： 1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区分：都是数表 .行列式行数列数一样, 矩阵不一样 .行列式最终是一个数,只要值相等,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 相 等 , 矩 阵 是 一 个 数 表 , 对 应 元 素 相 等 才 相 等 . 矩 阵 kaij nkaij n, 行 列 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnkaijkaij逆矩阵注 ： AB=BA=I就 A 与 B 肯定是方阵 B
9、A=AB=I就 A 与 B 肯定互逆.不是全部的方阵都存在逆矩阵.如A 可逆,就其逆矩阵是唯独的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵的逆矩阵满意的 运算律 ：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的,且 A 1 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的,且kA11 A 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、可逆矩阵 A 的转置AT 也是可逆的,且 AT 1 A 1 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
10、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的,且 AB 1B 1 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11但是两个可逆矩阵A 与 B 的和 A+B 不肯定可逆, 即使可逆, 但 ABAB1A 为 N 阶方阵,如 |A|=0,就称 A 为奇特矩阵 ,否就为 非奇特矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、如 A 可逆,就A 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*A11A12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相伴矩阵： A 为 N 阶方阵,相伴矩阵：A（代数余子式）可编辑
11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A21A22特别矩阵的逆矩阵 ：（对 1 和 2,前提是每个矩阵都可逆）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1AB1AA 1BC 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、分块矩阵 D就 D OCA1A2OC 11A111A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、准对角矩阵A, 就 A1A3A311A4A4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 AA*A* AA I4、 A*A A（ A 可逆）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 A*A n 16、 A*A 11 A （A 可逆）1*
12、A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 A*TAT *8、 ABB* A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定矩阵是否可逆 ：充要条件是 A0 ,此时A 11 A* A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求逆矩阵的方法 ：定义法 AA 1IA*相伴矩阵法 A 11A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等变换法A | I nI n | A只能是行变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等矩阵与矩阵乘法的关系：设 Aa ijm* n
13、 是 m*n 阶矩阵,就对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以A ：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A（ 行变左乘,列变右乘 ）第三章 线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵 简化阶梯型矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rAB=rB=r当 r=n 时,有唯独解.当rrABrB ,无解n 时,有无穷多解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_齐次线性方程组 ：仅有零解充要 rA=n 有非零解充要 rAn当齐次线性方程组方程个数未知量个数,肯定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零
14、解充要|A|=0齐次线性方程组如有零解,肯定是无穷多个N 维向量：由 n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示（加法数乘）特别的向量：行（列）向量,零向量,负向量,相等向量,转置向量向量间的线性关系 : 线性组合或线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量组间的线性相关（无）：定义P179可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量组的秩： 极大无关组（定义P188）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 ：假如,.jj1212是向量组jr1,2,.s 的线性无关的部分组,就它是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
15、欢迎下载精品_精品资料_极大无关组的充要条件是：1,2 ,.s 中的每一个向量都可由j ,j,.线性表出.jr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_秩: 极大无关组中所含的向量个数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：设 A 为 m*n 矩阵,就r Ar 的充要条件是： A 的列（行）秩为 r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线 性 组 合 或 线 性 表 示 注 ： 两 个 向 量 , 如k就 是 线 性 组 合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身
16、的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n 个 n 维单位向量组 肯定是线性无关一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关含有零向量的向量组肯定是线性相关如两个向量成比例,就他们肯定线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 可由1 ,2,.n 线性表示的充要条件是r 1T .Tr 1T .TT 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2TnT2n判定是否为线性相关的方法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义法：设k1k2.kn ,求k1k2.kn （适合维数低的）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
17、_精品资料_TTT2、向量间关系法P183 ：部分相关就整体相关,整体无关就部分无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_TTT3、重量法（ n 个 m 维向量组）P180 ：线性相关（充要）r 12 . n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性无关（充要）r 12 . n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论当 m=n 时,相关,就TTT1230 .无关,就TTT1230可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品_精品资料_当 mn 时,线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广：如向量1 ,2,.s 组线性无关,就当 s 为奇数时,向量组12 ,23,.s1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也线性无关.当 s 为偶数时,向量组也线性相关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：假如向量组1 ,2 ,.s,线性相关,就向量可由向量组1,2,.s 线性表出,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示法唯独的充分必要条件是1,2 ,.s 线性无关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极大无关组 注：向量组的极大无关组不是唯独的,但他们
19、所含向量的个数是确定的. 不全为零的向量组的极大无关组肯定存在.无关的向量组的极大无关组是其本身.向量组与其极大无关组是等价的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_齐次线性方程组（ I）解的结构 ：解为1,2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）的两个解的和12 仍是它的解.（ I）解的任意倍数 k仍是它的解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）解的线性组合c11c22.css 也是它的解,c1,c2 ,.cs 是任意常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非齐次线性方程组（ I
20、I ）解的结构 ：解为1 ,2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）的两个解的差12 仍是它的解.如是非齐次线性方程组AX=B 的一个解, v 是其导出组 AX=O的一个解,就 u+v 是（II ） 的一个解.定理 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩r Arn ,就该方程组的基础解系存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.如是非齐次线性方程组AX=B的一个解, v 是其导出组 AX=O的全部解,就u+v是（ II）的全部解.第四章 向量空间可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品_精品资料_向量的内积实向量定义：（ , ） =Ta ba b.a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 12 2n n性质：非负性、对称性、线性性,k=k ,;2k ,k= k ,;+,= ,+ ,+ ,+ ,;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rkii 1si ,l jj 1rj kii 1sl j i ,j j 1,Rn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的长度,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的充要条件是 =0 . 是单位向量的充要条件是（, ） =1单位化向
22、量的夹角正交向量： 是正交向量的充要条件是（, ） =0正交的向量组必定线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1正交矩阵：阶矩阵AATAT AI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质： 1、如 A 为正交矩阵,就可逆,且A 1AT ,且A也是正交矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、如 A 为正交矩阵,就A1.、如 A 、为同阶正交矩阵,就也是正交矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、阶矩阵（aij ）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
23、精品资料_标准正交向量.第五章矩阵的特点值和特点向量特点值、特点向量A 是 N 阶方阵,如数使 AX=X ,即（I-A ） =0 有非零解,就称为 A 的一个特点值,此时,非零解称为A 的属于特点值的特点向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|A|=1 *2 * . n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 1、 AX=X2、求特点值、特点向量的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IA0求i将 i 代入（I-A ） X=0 求出全部非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根（主要学习的）c1可
24、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特别： I n 的特点向量为任意N 阶非零向量或c2ci 不全为零 cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、特点值：如 0 是 A 的特点值11就 A-就 Amm就 kAk如 A2 =A 就 -=0 或 1如 A2 =I 就-=-1 或 1如 Ak =O 就 -=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_迹 trA ：迹（ A ）= a11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特点值全是非零的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、A 与 A1有相同
25、的特点值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、N 阶方阵 A 的不同特点值所对应的特点向量线性无关4、5、 P281可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相像矩阵定义 P283： A 、B 是 N 阶矩阵,如存在可逆矩阵P,满意P 1APB ,就矩阵 A 与 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相像,记作 AB性质 1、自身性： AA,P=I2、对称性：如 AB 就 BAP 1APBAPBP 1 P 11 BP 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
26、_3 、 传 递 性 ： 如 AB 、 BC就ACP 1 APBP 1 BPC -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- P1P2 12121A P1P2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、如 AB ,就 A 与 B 同（不）可逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 如 AB ,就A 1 B 1P 1 APB 两边同取逆,P 1 A 1PB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如 AB ,就它们有相同的特点值.（特点值相同的矩阵不肯定相像）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
27、资料_7、 如 AB ,就r Ar B初等变换不转变矩阵的秩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例子：P 1APB 就 A100PB100 P 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵对角化P 1APOP 1APIP 1APIA=O A=I A=I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：N 阶矩阵 A 与 N 阶对角形矩阵相像的充要条件是A 有 N 个线性无关的特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 1、 P 与中的xi 与i 次序一样可
28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 A, 就 与 P 不是唯独的推论：如 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特点值,就A （ P281）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定 理 ： n阶 方 阵A 的 充 要 条 件 是 对 于 每 一 个K i 重 特 征 根i , 都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r i IAnK i注：三角形矩阵、数量矩阵I 的特点值为主对角线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_约当形矩阵11可编辑资料 - - -
29、 欢迎下载精品_精品资料_约当块：形如J的 n 阶矩阵称为 n 阶约当块.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_约当形矩阵： 由如干个约当块组成的对角分块矩阵称为约当形矩阵.J1JJ2（ JiJ n是约当块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：任何矩阵 A 都相像于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵P 1 APJ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第六章二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的 n 元多项式 f 称为一个 n 元二次型,简称二次型.标准型：形如的二次型,称为标准型.规范型：形如的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设 AB 是 n 阶方阵,如存在一个n 阶可逆矩阵 C,使得就称 A 与 B 是合同的,记作 AB.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型 ：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）可编辑资料 - - - 欢迎下载