《线性代数知识点全归纳2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数知识点全归纳2.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线性代数学问点1 、 行 列 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. n 行列式共有n2 个元素，绽开后有n. 项，可分解为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 行列式。2. 代数余子式的性质：、 Aij 和 aij 的大小无关。、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0。、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A 。代数余子式和余子式的关系：M 1i j AA 1i j M3. ijijijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设
2、 n 行列式 D ：将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1 ，就D11n n 12D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为D2 ，就D2 1n n 12D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3 ，就 D3D 。将 D 主副角线翻转后，所得行列式为D4 ，就 D4D 。5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、副对角行列式：副对角元素的乘积1n n 12。
3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 和 ：副对角元素的乘积AOAC 1n n 12。CAOAm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、拉普拉斯绽开式：CBOBA B 、BOBC 1A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积。、特点值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 对于 n 阶行列式A ，恒有：EAnkn 1k Sk 1n k ，其中Sk 为 k 阶主子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
4、7. 证明 A0 的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 AA 。、反证法。、构造齐次方程组、利用秩，证明Axr A0 ，证明其有非零解。n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、证明0 是其特点值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：可编辑资料 - - - 欢迎下载
5、精品名师归纳总结Ar A0 （是非奇特矩阵）。n （是满秩矩阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行（列）向量组线性无关。齐次方程组Ax0 有非零解。bR n ， Axb总有唯独解。A 与 E 等价。A 可表示成如干个初等矩阵的乘积。A 的特点值全不为0。AT A 是正定矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行（列）向量组是R n 的一组基。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA 是 R中某两组基的过渡矩阵。*2. 对于 n 阶矩阵 A ： AAA AA E无条件恒 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. A1 * A
6、* 1 A 1T AT 1 A* T AT *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB TBT AT AB *B * A* AB 1B 1 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头。行列式是数值，可求代数和。5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、 B 可逆： A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AA2，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 AA1A21A1As 。可编辑资料 - - -
7、欢迎下载精品名师归纳总结、 A 1A2。11As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、AO1AO。（主对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、OA1OB。（副对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOA 1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111、ACAACB。（拉普拉斯）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、AO1AO。（拉普拉斯）可编辑资
8、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CBB1CA 1B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 一个 mn 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯独确定的：FE rO。可
9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OOm n等价类：全部与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类。标准形为其外形最简洁的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于同型矩阵A 、 B ，如r Ar BAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得。、每行首个非0 元素必需为1。、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0。13. 初等行变换的应用： （初等列变换类似，或转置后采纳初等行变换）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A ,rE E, X ，就 A 可逆，且XA。可编辑资料 - -
10、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对矩阵 A, B 做初等行变化，当A 变为 E 时， B 就变成A 1 B ，即：c A, BE , A1B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程 Axb ，假如 A,b E , x ，就 A 可逆，且xA 1b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换，由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
11、名师归纳总结1、2，左乘矩阵A ，i 乘 A 的各行元素。右乘，i 乘 A 的各列元素。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对调两行或两列，符号E i , j ，且E i, j 1E i,j ，例如：11。1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍乘某行或某列，符号E i k ，且1111。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E i kE i ，例如：kkk0k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍加某行或某列，符号E
12、ij k ,且1E ij k E ij k ，如：11k110 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 矩阵秩的基本性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 0r Am n min m ,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r AT r A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 AB ，就r Ar B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 P 、 Q 可逆，就r
13、Ar PAr AQ r PAQ 。 （可逆矩阵不影响矩阵的秩）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 max r A, r Br A, Br Ar B 。（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABr Ar B 。（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABmin r A, r B 。（ ）、假如A 是 mn 矩阵， B 是 ns 矩阵，且AB0 ，就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）。可编辑资料 - - -
14、 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -、 r Ar B n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 均为 n 阶方阵，就r AB r Ar B n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 三种特别矩阵的方幂：、秩为1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采纳结合律。1ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精
15、品名师归纳总结、型如01b的矩阵：利用二项绽开式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二项绽开式：nab0n1nb1 1C aC amn mmna bnnCC b1 1 n 1nmm n mnnnnnnCa b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：、 ab n 绽开后有 nm 0Cab1 项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 Cmnn1nm1n.C 0Cn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn1 2 3mm. nm.可编辑资料 -
16、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结mCmmCnnn1m 1、组合的性质：Cn mCCnrnrnnnnnC2rCnC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r11r 0、利用特点值和相像对角化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、相伴矩阵的特点值：17.相伴矩阵：、相伴矩阵的秩：r A* n1r Ar Ann1 。0r An1AAXX , A*A A 1A* XAX 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A*A A、 A*A n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 关于 A 矩阵秩的描述：
17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r A、 r A、 r An ， A 中有 n 阶子式不为 0， n n ， A 中有 n 阶子式全部为 0。 n ， A 中有 n 阶子式不为 0。1 阶子式全部为0。（两句话）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 线性方程组：Axb ，其中 A 为 mn 矩阵，就：、 m 与方程的个数相同，即方程组Axb 有 m 个方程。、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb 为 n 元方程。10. 线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）。、齐次解为对应齐次方程组的解。、特解：自由变量赋初值后
18、求得。11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n元线性方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1、a21 x1a12 x2a22 x 2a1 n x nb1a2 n xnb2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1 x1am 2 x2anm xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
19、师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a1 n、a21a 22a 2nam 1am 2amnx1x1b1x2b2Axb （向量方程，A 为 mn 矩阵， m 个方程， n 个未知数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、a1a2xmbmax2（全部按列分块，其中nxnb1b2）。bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 a1x1a 2 x 2an xn（线性表出）可编辑
20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、有解的充要条件：r Ar A,n （ n 为未知数的个数或维数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1 ,2 ,m 构成 nm 矩阵A1,2 ,m 。T1T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T ,T ,构成 mn 矩阵 B2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T12mTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。2. 、向量组的线性相关、无
21、关Ax0 有、无非零解。 （齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb 是否有解。（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解。（矩阵方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 矩阵Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和 Bx0 同解。 P101 例 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. r AT Ar A。 P101 例 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 。、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）。、,线
22、性相关,共面。6. 线性相关与无关的两套定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1,2 ,s 线性相关，就1,2 ,s ,s 1 必线性相关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1,2 ,s 线性无关，就1,2 ,s1 必线性无关。（向量的个数加加减减，二者为对偶）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个重量，构成n 维向量组 B ：如 A线性无关，就B 也线性无关。反之如B 线性相关，就A 也线性相关。（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确
23、定。7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为 s ）线性表示，且A 线性无关，就rs。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组B 线性表示，就向量组 A 能由向量组B 线性表示r Ar B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -
24、欢迎下载精品名师归纳总结AXB 有解。r Ar A, B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组B 等价r Ar Br A, B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8.方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵P1, P2 , Pl ，使 ArP1 P2Pl 。、矩阵行等价：A BPAB （左乘，P 可逆）Ax0 与 Bx0 同解c、矩阵列等价：A BAQB （右乘， Q 可逆）。、矩阵等价：A BPAQB （ P 、 Q 可逆）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 对于矩阵Am n 与 Bl n ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
25、归纳总结、如 A 与 B 行等价，就A 与 B 的行秩相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价，就Ax0 与 Bx0 同解， A 与 B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩。、矩阵A 的行秩等于列秩。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 如Am sBs nC m n，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的行向量组能由B 的
26、行向量组线性表示，A为系数矩阵。 （转置）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 齐次方程组Bx0 的解肯定是ABx0 的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 ABx0、 Bx0只有零解有非零解Bx ABx0 只有零解。0 肯定存在非零解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设向量组Bn r: b1 , b2 ,br可由向量组An s : a1 , a2 ,as 线性表示为：可编辑资料 - - - 欢迎下
27、载精品名师归纳总结b1, b2 , br a1, a2 , as K （ BAK ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 K 为 sr ，且 A 线性无关，就B 组线性无关r K r 。（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（必要性：rr Br AK r K , r K r ,r K r 。充分性：反证法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当 rs 时， K 为方阵，可当作定理使用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 、对矩阵、对矩阵Am n ，存在Am n ，存在Qn m ， AQE
28、 mPn m ， PAE nr Ar Am 、 Q 的列向量线性无关。n 、 P 的行向量线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.1,2 ,s 线性相关存在一组不全为0 的数x1k1 , k2 ,ks ，使得k1 1k22kss0 成立。（定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 ,x22 ,s 0有非零解，即Ax0 有非零解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1 ,xs2 ,s s，系数矩阵的秩小于未知数的个数。可编辑资料 - - - 欢
29、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结115. 设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ，就 n 元齐次线性方程组Ax0 的解集 S 的秩为：r Snr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*16. 如为 Axb 的一个解，1,2 ,n r 为 Ax0 的一个基础解系，就* ,2 ,n r 线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - -
30、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5 、 相 似 矩 阵 和 二 次 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 正交矩阵AT AE 或 A 1AT （定义），性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a aij、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即T10ij i, jij1,2,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 为正交矩阵，就1TA1AA 也为正交阵，且。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
31、师归纳总结、如 A 、 B 正交阵，就AB 也是正交阵。留意：求解正交阵，千万不要遗忘施密特正交化和单位化 。2. 施密特正交化： a1 ,a2 , ar rrb12b1a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221ba b1 ,a2 bbab1,arb 2 ar, b br a1r ,br1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b1 , b1 b1,b 1 b 2b , 2brbr 1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 对于一般方阵，不同特点值对应的特点向量线性无关。对于 实对称阵 ，不同特点值对应的特点向量正交。4. 、 A 与 B 等
32、价A 经过初等变换得到B 。PAQB ， P 、 Q 可逆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar B， A 、 B 同型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 合同C T ACB ，其中可逆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 相像P 1 APB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 相像肯定合同、合同未必相像。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 C 为正交矩阵，就CT ACBAB ，（合同、相像的约束条件不同，相像的更严格）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. A 为对