2022年线性代数知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线性代数学问点总结1. n 阶行列式Da 11a 121t第一章2行列式p na 1p1a 2p 2na np n2.特殊行列式a 1na 21a 22a 2n1tp p 1 2a 11a 12na n1a n2p p 1p nn na nn2a nna 1na nna a 11 2212na a 11 22D0a 22a 2n1a nn00112n,112212n3.行列式的性质定义记Da11a12a1n,DTa11a21an1,行列式DT称为行列式a21a22a2naaa1222n2an1an2annaaa1n2nnnD

2、的转置行列式；名师归纳总结 性质 1行列式与它的转置行列式相等；第 1 页,共 12 页性质 2 互换行列式的两行r irj或列c icj,行列式变号 ；推论假如行列式有两行（列）完全相同（成比例）,就此行列式为零；性质 3 行列式某一行（列）中全部的元素都乘以同一数k rjk ,等于用数 k 乘此行列式；推论 1 D 的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到D 的外面 ; 推论 2 D中某一行（列）全部元素为零,就D=0；性质 4 a 11a 12 a 1 ia 1ia 1n如行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,就Da 21a 22 a 2 ia 2 ia 2na n 1a n 2 a

3、nia nia nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 12a 1ia 1na 11a 12学习必备欢迎下载a 1ia 1na21a 22a2 ia 2na21a 22a 2ia 2n行对应的元素上去,an 1a n2ania nna n1an2a niann性质 6 把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列行列式的值不变；运算行列式常用方法：利用定义；利用运算r ikr 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值；4. 行列式按行（列）绽开余子式 在 n 阶行列式中,把元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留

4、下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a 的余子式,记作 M ij；i j代数余子式 记 A ij 1 M ij,叫做元素 a 的代数余子式；引理 一个 n 阶行列式,假如其中第 i 行全部元素除（ i,j） , i j 元外 a 都为零,那么这行列式等于 a 与它的代数余子式的乘积,即 D a A ；（高阶行列式运算第一把行列上的元素尽可能多的化成a 11a 12a 1n0,保留一个非零元素,降阶）定理 n 阶行列式 D a 21 a 22 a 2 n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应a n 1 a n 2 a nn的代数余子式的乘积之和,即 D a A i 1 a A i 2 a A ,

5、i 1,2, , 或 D a A 1 j a 2 j A 2 j a A nj, j 1,2, , n ；其次章 矩阵1.矩阵Aa 11a 12a 1 n各个元素组成a 21a 22a 2na m1a m 1a mn行列式是数值,矩阵是数表,方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A； 记作： An；行列 矩阵： 只有一行 列 的矩阵；也称行列向量；同型矩阵： 两矩阵的行数相等,列数也相等；相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等；记作：AB零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - -

6、 学习必备 欢迎下载对角阵： 不在主对角线上的元素都是零；留意单位阵： 主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作： E矩阵与行列式有本质的区分,行列式是一个算式,一个数字行列式经过运算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同；2. 矩阵的运算a 11b 11a 12b 12a 1 nb 1n矩阵的加法ABa 21b 21a 22b 22a 2nb 2na m 1b m 1a m 2b m2a mnb mn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算；矩阵加法的运算规律1 ABBA ； 2,ABCa ijABCa 12a 1n, A 称为矩阵 Aa 113设矩阵Aa ijm

7、 n记Am na 21a 22a 2na m 1a m 1a mn的 负矩阵4AA0,ABAB ；数与矩阵相乘数 与矩阵 的乘积记作A 或A,规定为AAAa 11a 12B ；a 1na 21a 22a 2n数乘矩阵的运算规律（设A、Ba m 1a m 1a mn为 mn 矩阵,为数）1AA ； 2AAA ； 3BA矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算；矩阵与矩阵相乘设Bb ij是一个 ms 矩阵,Bb 是一个 sn 矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的是一个s乘积mn矩阵C c,其中b 1ja a i2a isb 2ja b 1 1ja b 2ja b sja b kj,i1,2,m j1,2,

8、n ,k1b sj名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 并把此乘积记作CAB学习必备欢迎下载留意1；A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B 的行数；ABBA ,而且两个非零矩阵的2；矩阵的乘法不满意交换律,即在一般情形下,乘积可能是零矩阵；3；对于 n 阶方阵 A 和 B,如 AB=BA,就称 A 与 B 是可交换的；矩阵乘法的运算规律1AB CA BC ；2ABA BABEnnEmm AmnAmn3 A BCABAC , BC ABACA4A mn5 如 A 是 n 阶方阵,就称Ak 为 A 的 k 次幂,即k

9、AA AA,并且A A m kA m k,k 个A m kA mkm k为正整数；规定： A 0E （只有方阵才有幂运算）留意 矩阵不满意交换律,即 AB BA ,AB kA B （但也有例外）k k转置矩阵 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 A ,T T T T T T T T T T1 A A ； 2 A B A B ； 3 A A ； 4 AB B A ；方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式,记作 A留意 矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n 2 个数按肯定方式排成的数表,而 n阶行列式就是这些数按

10、肯定的运算法就所确定的一个数；1T AA ； 2AnA ； 3 ABA BB ABA所 构 成 的 如 下 矩 阵对称阵设 A 为 n 阶方阵,假如满意A=A T ,那么 A 称为对称阵；相伴矩阵行 列 式A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式ijAA 11A 21A n 1AA 12A 22A n2称为矩阵 A 的相伴矩阵；A 1 nA 2nA nn性质AAA AA E （易忘学问点 ）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算；（2）只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘 ,且矩阵相乘不满意交换律；（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同；名师归

11、纳总结 逆矩阵：AB BAE,就说矩阵 A 是可逆的, 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵；即 A1B；第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说明1 A ,B 互为逆阵,-1 A = BA11A*（重要 ）2只对方阵定义逆阵； （只有方阵才有逆矩阵）3.如 A 是可逆矩阵,就A 的逆矩阵是唯独的；定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0,并且当A 可逆时,有A奇特矩阵与非奇特矩阵当A0时, A 称为奇特矩阵,当A0时, A 称为非奇特矩阵；即A 可逆A 为非奇特矩阵A0；1 先求|A|并判定当|A| 0时逆阵存在

12、；求逆矩阵方法（ ）求 2A*；3求|1|A*A1；A初等变换的应用：求逆矩阵：A|E初等行变换E|1 A；逆矩阵的运算性质1如 可逆 就A1 亦可逆 且A11A；11 B A1；2如 可逆 数0,就A 可逆 且A11A13如A B 为同阶方阵且均可逆,就AB 亦可逆 且AB4如 可逆 就AT亦可逆,且AT1A1T；5如 可逆 就有A1A1；3.矩阵的初等变换初等行（列）变换名师归纳总结 1对调两行,记作r irj；r ik；第 5 页,共 12 页2以数k0乘以某一行的全部元素,记作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3把某一行全部元素的k学习必备欢迎

13、下载r ikrj；倍加到另一行对应的元素上去,记作初等列变换： 把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把 “ r” 换成“ c” ；矩阵等价 假如矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价；行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元； （非零行数及矩阵的秩）求矩阵 B21032的秩.RB=3 031250004300000行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 素都为 0. 1,且这些非零元所在的列的其他元标准型

14、 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如FErOm n的矩阵,称OO为标准型；标准形矩阵是全部与矩阵 初等变换的应用A 等价的矩阵中外形最简洁的矩阵；求逆矩阵：A E初等行变换E|A1或A初等列变换E；EA14. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵A m n,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯独确定的；说明（非零行的行数即为矩阵的秩）1. 矩阵 Amn,就 RA min m,n; 2. RA = RA T; 3. RA r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零 ; 4. RA r 的充分必要条件是全部r + 1 阶子式都为零 . R A n ,满秩和

15、满秩矩阵矩阵Aa ijm n,如R Am ,称 A 为行满秩矩阵； 如称 A 为列满秩矩阵；如 为 阶方阵 且R A n ,就称 为满秩矩阵 ；如n阶方阵A满秩,即R AnA0；1A 必存在；A为非奇特阵；名师归纳总结 A 必能化为单位阵En,即AEn.第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载矩阵秩的求法定理 1 矩阵 A 经过有限次行 列初等变换后其秩不变；即如AB,就 RA=RB；推论如 、Q 可逆,就R PAQR A 矩阵秩的性质总结10R A m nminm n , 2 T R ARA R A3 如AB,就R

16、 AR B4 如 、Q 可逆,就R P A Q5 maxR A ,R B R A BR A R B特殊当Bb为非零列向量时,有R AR A , R A1.6R ABR AR B7R ABminR A ,R B .8如A m nB n lO,就R A R Bn.9设AB=O,如A为列满秩矩阵,就B=O（矩阵乘法的消去率） ；第三章1. n 维向量 a 1n 个数a1,a2, ,an组成的一个有序数组a1,a2, ,an 称为一个n 维向量 ,记为a 2.列向量形式 或T a a 1 2,a n（行向量形式）,其中第i 个数 ai 称为向量a n的第 i 个重量；向量组设矩阵向量组如干个同维数的列

17、向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组；a 11a 12a1ja 1 nA=aijm n 有 n 个m 维列向量,即Aa21a22a2ja2n,am 1am2amjamna ,a ,an称为矩阵A 的列向量组；同理,也可说矩阵A 有 m 个行向量组组成；向量,向量组,矩阵与方程组的关系名师归纳总结 向量组矩阵：A1,2,m第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 11学习必备欢迎下载b 1a 12a 1 m向量方程1方程组：a 21x 1a 22x 2.a 2mx mb 2,使可简写作a n1a n2a n mb nx 12

18、x 2nx n向量方程x 1b 1方程组矩阵形式Axb1,2,mx 2b 2线性组合x nb n给定向量组A:1,2,m和向量b,假如存在一组数1,2,mb11A22mm,就向量 b 是向量组 A 的线性组合 ,这时称 b 向量能由向量组线性表示 ；定理 1 向量 b 能由向量组A:1,2,m线性表示的充分必要条件是矩阵Aa a 2,am的秩等于矩阵Ba a2,a m,b的秩；即 RA=RA,b；向量组的线性表示设有两个向量组A:1,2,m及B:1,2,s,如 B 组中每个向量都能由向量组A 线性表示,就称向量组B能由向量组A 线性表示,如向量组A 与向量组 B 能相互线性表示,就称这两个向量

19、组等价；向量组的线性相关k mk给定向量组A:1,2,m,假如存在不全为零的数k k2,k m使k 11k 22mm0,就称向量组是线性相关的,否就称它线性无关；如当且仅当k 1k20时上式成立,就称向量组A 线性无关；线性相关：可线性组合表示的,线性无关：相互独立,互不代表 留意名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.对于向量组来说,不是线性无关,就是线性相关；2.对于两个向量来说, 线性相关意味着两向量的重量对应成比例,几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面；3.向量组只有一个向量

20、时 如0就说线性相关,如0,就说线性无关；4.包含零向量的任何向量组是线性相关的,此时总存在不为零的k,使得0102k00n0线性相关性的判定定理 向量组 1 , 2 , , m（当 m 2 时）线性相关的充分必要条件是 1 , 2 , , m中至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示定理 4 向 量 组 A a a 2 , , a m 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 所 构 成 的 矩 阵A a a 2 , , a m 小于向量的个数 m,向量组线性无关的充分必要条件是 R（A） =m；最大线性无关向量组 设有向量组 A,假如在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2

21、 , , r,满意：（）向量组 A 0 : 1 , 2 , , r 线性无关；2 向量组 A 中任意 r +1 个向量 假如有的话 都线性相关；就称向量组 A 0 : 1 , 2 , , r 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组；2* 向量组 A 中任何一个 其它 向量可由 A 0 : 1 , 2 , , r 线性表示；第四章 线性方程组的解线性方程组a x 1a x 2a x nb 1假如有解,就称其为相容的,否就称为不相容a x 21 1a x 22 2a x 2 n nb 2a m 1 1 xa m2x 2a mnx nb m的；名师归纳总结 n 元齐次线性方程组Ax=0 nnc 22

22、c1, c2为任意常数 ,称第 9 页,共 12 页（1）RA = n Ax=0 有唯独解,零解（无非零解）（2）RA n Ax=0 有非零解 . n 元非齐次线性方程组Axb（1）无解的充分必要条件是R ARA, b（2）有唯独解的充分必要条件是R ARA,b（3）有无限多解的充分必要条件是RARA,b基础解系齐次线性方程组Ax0的通解具有形式xc 11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通解式xc 11c 22学习必备欢迎下载2构成该齐次线性方程组的基础解系；c c 为任意常数中向量1,非齐次线性方程组解的通解具有形式xc 11c 22c*2c1,

23、c2为任意常数 ,不带参数部12的两个向量构成对应齐次方程的分* 是非齐次方程组的一个特解；带参数部分c 1基础解系；齐次方程组解的性质、结构设1,2 是齐次方程Ax0 的解向量,就对任意实数k 1,k2,k11k 22仍是Ax0 的解向量非齐次方程组解的性质 1 设 x 1 及 x 2 都是 Ax b 的解 , 就当 k 1 k 2 0 时,x k 1 1 k 2 2 为对应的齐次方程 Ax 0 的解 . 2 设 x 1 及 x 2 都是 Ax b 的解 , 就当 k 1 k 2 1 时,x k 1 1 k 2 2 为对应的齐次方程 Ax b 的解 .（3）设 1 , 2 , , s 是非齐

24、次方程 Ax b 的解向量,就k 1 1 k 2 2 k s s仍是 Ax b 的解向量,k 1 , k 2 , , k s 为任意实数,且k 1 k 2 k s 1解的系数和为 1 是非齐次方程的解,为 0 是齐次方程的解；线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵,判定是否有非零解. 如有非零解,化成行最简形矩阵,写出其解；非齐次线性方程组：将增广矩阵B=A,b化成行阶梯形矩阵,判定其是否有解如有解,化成行最简形矩阵,写出其解；第五章矩阵的相像名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第六章 二次型名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 12 页,共 12 页- - - - - - -