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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结.8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：函数 yx 4x2的定义域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg x3（答： 0, 22, 33, 4 ）函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零. 指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正切函数ytan
2、xxR,且xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余切函数ycot xxR, 且xk,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1,值域是 0, 函数 y arctgx 的定义域是R ,值域是.,函数 yarcctgx 的定义域是 R ,值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
3、品_精品资料_10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f x的定义域是a,b, ba0,就函数Fxf xf x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域是.（答： a, a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数定义域的求法：已知yf x 的定义域为m,n ,求 yf g x的定义域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可由 mg xn 解出 x 的范畴,即为 yf g x的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、函数值域的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
4、1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.例 求函数 y= 1 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例、求函数 y= x2 -2x+5 , x-1 , 2 的值域.3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. yk+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下
5、载精品_精品资料_例： yx11x+1+x212x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. yx2mxnx2mxnx2mxn型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d. y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x16、函数单调性法7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例 求函数 y=x+x1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
6、资料_8 数形结合法例求函数 y=x22 +x28 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化简得： y= x-2 + x+8上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A（ 2）, B（ -8 ）间的距离之和.由上图可知：当点P 在线段 AB上时,y=x-2 +x+8 =AB =10当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时, y= x-2 +x+8 AB =10故所求函数的值域为：10 , +）多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特
7、殊方法.12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： fx1exx,求f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令tx1,就 t02xt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f t t 2 12et1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xex 2 1x21 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、
8、判正负）判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求(2) 参照图象：f x1 x1f x2 x2的正负号或者f x1 f x2 与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 fx的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间具有相同的单调性.（特例：奇函数）如函数 fx的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性. （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：可编辑资
9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的.当c 0 时,它们是反向变化的.假如函数 f1x,f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化. （函数相加）函数 fx与1f x在 fx的同号区间里反向变化. 如 函 数 u x, x , 与 函 数 y Fu , u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的. 如函数 u x,x , 与函数 y Fu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 y F x是递减的.（同增异减）如函数 y fx们的增减性
10、相同.fg 增增减减是严格单调的, 就其反函数x fy 也是严格单调的, 而且, 它1gx增减增减fgx增减减增fx+gx增/减fx*gx都是正数增/减如：求ylog 12x22x 的单调区间（设u2x2 x,由 u0就0x2且log 1 u2,u2x11,如图：uO12x假如正值函数 f1x,f2x同向变化,就函数f1xf2x和它们同向变化.假如负值函数 f12 与 f2x同向变化, 就函数 f1xf2x和它们反向变化. （函数相乘）当x 0, 1 时, u,又 log 1u,y2当x1, 2 时, u,又 log 12u,y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16. 如何利用
11、导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间a, b内,如总有f x 0就f x 为增函数.（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0 了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（令f x3xa3 xaxa0233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa就x或x33可编
12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知f x在1,上为增函数,就a1,即 a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的最大值为 3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx 定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函
13、数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）如 fx是奇函数且定义域中有原点,就f00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数, 其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件 .如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x ,然后依据函数的奇偶性的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定其
14、奇偶性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x三、复合函数奇偶性fggxfgxfx+gxfx*gx奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（如存在实数T（ T0）,在定义域内总有f xTfx,就 f x为周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数, T 是一个周期.）如：如 f xaf x,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答：f x是周期函数, T2a为f
15、 x 的一个周期）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们在做题的时候, 常常会遇到这样的情形： 告知你 fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,f x f xt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时说这个函数周期2t. 推导：f xt f x2 t 0f x f x2 t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思：函数 fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到.比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示
16、函数关于直线x=a 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：如f x图象有两条对称轴xa,xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f axf xf ax, f bx f 2axf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 2bxf 2 axf 2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t2ax,就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,函数f x以2 | ba
17、 | 为周期 因不知道 a,b的大小关系 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为保守起见如：,我加了一个肯定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精品文档19. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x 的图象关于y轴 对称联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x的图象关于x轴 对称联想点（ x,y） ,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x
18、的图象关于 原点 对称联想点（ x,y）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f1 x 的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y） ,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2ax 的图象关于 直线 xa 对称联想点（ x,y） ,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2 ax 的图象关于 点 a, 0 对称联想点（ x,y） ,2a-x,0可编辑资料 - -
19、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将yf x 图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上移b b下移b b0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧.对于 这种题目,其实根本不用这么麻烦.你要判定函数y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标.看点和原点的关系,就可以很直
20、观的看出函数平移的轨迹了.）留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x| fx把 |轴下x方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf | x把| 轴右y方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作出ylog 2 x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy=log 2xO1x19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0可编辑资料 - - -
21、欢迎下载精品_精品资料_y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 一次函数：ykxbk0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 反比例函数： ykkx0 推广为ybkkxa0 是中心O a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的双曲线.（3） 二次函数yax2bxc a02a xb 2a4acb24a图象为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品_精品资料_b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开口方向： a0,向上,函数y min4acb2 4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0,向下,ymax4acb2 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根的关系： xb2 ax1x2b , xa1x2ac ,| x1x |2| a |二次函数的几种表达形式：f xf xf xf xax2a xa xa xbxm2c一般式 n顶点式,（ m, n）为顶点x1 xx1 xx2 x1 , x2是方程的
23、2个根）x2 h函数经过点（x1, h x2, h应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程2axbxc0 ,0时,两根 x 1、x 2为二次函数 y2axbxc的图象与 x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc0 0 解集的端点值.求闭区间 m, n上的最值.区间在对称轴左边（n区间在对称轴右边（mb ）2ab ）2 af m a xf m ,fm i n fnf m a xf n , fm i n fm区间在对称轴 2边 （ nb2am）f m i n4ac4ab2f,m a xmfa mx f n , 也可以比较 m , n和对称轴的关系, 距离越远,值越大
24、只争论 a0的情形）求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题.一元二次方程根的分布问题.0如：二次方程ax2bxc0 的两根都大于 kb 2 af kk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya0Okx 1x 2x一根大于 k,一根小于 kf k 00在区间（ m, n）内有 2根mbn2a00f mf n在区间（ m, n）内有 1根f m f n0（ 4 ）指数函数： yaxa0, a1（ 5）对数函数 ylog a x a0, a1由图象记性质；（留意底数的限定； ）yy=a a1x0a11O1x0a0 时,fx0 ,f 1 2 求 fx在区间 2,1 上的值域 .分析：先
25、证明函数f（ x）在 R 上是增函数（留意到f（ x2） f（ x2 x1） x1 f（ x2 x1） f（ x1） .再依据区间求其值域.例 2 已知函数 f（ x）对任意实数x、y 均有 f（x y） 2 f（ x） f（ y）,且当 x0 时,f x2 , f3 5,求不等式f（ a2 2a 2） 3 的解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数（仿例 1）.再求出 f（ 1） 3.最终脱去函数符号 .例 3 已知函数 f（ x）对任意实数 x、y 都有 f（ xy） f（ x）f（y）,且 f（ 1）1,f（27） 9,当 0
26、x 1 时, f（x） 0 , 1.（ 1） 判定 f（ x）的奇偶性.（ 2）（ 3） 判定 f（ x）在 0 , 上的单调性,并给出证明.（ 4） 如 a 0 且 f（ a1） 3 9 ,求 a 的取值范畴 .分析：（ 1）令 y 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）利用 f（xx11） f（x2x1 x2） f（x2） f（ x2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 0 a 2.例 4 设函数 f（ x）的定义域是（,） ,满意条件：存在x1 x2,使得 f（x1 ） f（x2 ）.对任何 x 和 y, f（ x y） f（ x） f（y）
27、成立 .求：（ 1）（2）f（ 0）.（ 3） 对任意值 x,判定 f（ x）值的符号 .分析：（ 1）令 x= y 0.（2）令 yx 0例 6 设 f（ x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意f（ xy） f（ x） f（ y）, f（ 3） 1,求：（ 1） f（ 1）.（ 2） 如 f（ x） f（ x 8） 2,求 x 的取值范畴 .分析：（ 1）利用 3 1 3.（ 2）利用函数的单调性和已知关系式.对于抽象函数的解答题,虽然不行用特殊模型代替求解,但可用特殊模型懂得题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟识的基本初等函数.因此,针对不同的函数要 进行适当变通,去寻求特
28、殊模型,从而更好的解决抽象函数问题.例 9 已知函数 f（ x）（ x 0）满意 f（ xy） f（ x） f（ y）,（ 1） 求证： f（ 1） f（ 1） 0.（ 2） 求证： f（ x）为偶函数.（ 3） 如 f（ x）在（ 0,）上是增函数,解不等式f（ x） f（ x 1 ） 0.2分析：函数模型为： f（x） loga|x|（ a 0）（ 1） 先令 x y1,再令 x y 1.（ 2） 令 y 1.（ 3） 由 f（ x）为偶函数,就 f（x） f（|x|） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 已知函数 f（ x）对一切实数x、y 满意 f（ 0） 0,
29、f（ xy） f（ x）f（ y）,且当 x 0 时, f（ x） 1,求证：（1）当 x 0 时, 0 f（ x） 1.（2） f（ x）在 x R 上是减函数 .分析：（ 1）先令 x y0 得 f（ 0） 1,再令 y x.（3） 受指数函数单调性的启示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f（ x y） f（ x） f（ y）可得 f（ x y）f x ,f y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进而由 x x ,有f x1 f（ x x ） 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212f x2 练习题：1. 已知： f（ x y） f（ x） f（ y）对任意实数 x、y 都成立,就（）（ A） f（ 0） 0（ B） f（ 0） 1