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1、精品名师归纳总结函数一、函数的定义：1. 函数的概念： 设 A 、B 是非空的数集, 假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=fx , x A （ 1）其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域。（ 2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域 函数的三要素：定义域、值域、对应法就函数的表示方法：（ 1）解析法：明确函数的定义域（ 2）图想像：确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连
2、续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（ 3）列表法：选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特点。4、函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x, y,均在 C 上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 画法A 、描点法：【例题】作出函数x 26 x7, x3,6y的图象。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
3、总结B、图象变换法：平移变换。伸缩变换。对称变换,即平移。（ 3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对x2） 上减下加只对y3） 函数 y=fx关于 X 轴对称得函数y=-fx4） 函数 y=fx关于 Y 轴对称得函数y=f-x5） 函数 y=fx关于原点对称得函数y=-f-x6） 函数 y=fx将 x 轴下面图像翻到x 轴上面去, x 轴上面图像不动得函数 y=| fx|7） 函数 y=fx先作 x 0 的图像,然后作关于y 轴对称的图像得函数f|x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（ 1）、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求
4、两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.（ 2）、求函数的解析式的主要方法有：1） 方程组法（求抽象函数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知函数f x 满意f x2 f 1 x3x ,求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知：2 f x3 f x x 1 ,求 fx 表达式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 待定系数法：例 1.已知函数fx 是一次函数 ,且f fx9 x4 ,求 fx
5、 表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.二次函数 fx 满意 fx 1 fx 2x,且 f0 1.(1) 求 fx 的解析式。(2) 解不等式 f x 2x 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） 换元法：例 3.已知 fx1x1,就fx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4拼凑法：例 4已知二次函数f x 满意f 2x14x 26 x5 ,求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主
6、要依据是：(1) 分式的分母不等于零。(2) 偶次方根的被开方数不小于零。(3) 对数式的真数必需大于零。(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）定义域一样两点必需同时备 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）f xx 2 ,gx3 x3 。可编辑资料 -
7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）f xx, gxx1x0,1x0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）f xxx1 ,gxx2x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（4）f xx 22 x1 , g t t 22t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）f x2n 1 x 2n, gx2 n1 x 2n1 （n N *）。可编辑资料 - - - 欢
8、迎下载精品名师归纳总结4、区间的概念：（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示5、值域（先考虑其定义域）（ 1）观看法：直接观看函数的图像或函数的解析式来求函数的值域。（ 2）反表示法：针对分式的类型,把Y 关于 X 的函数关系式化成X 关于 Y 的函数关系式,由X 的范畴类似求Y 的范畴。(3) 配方法：针对二次函数的类型,依据二次函数图像的性质来确定函数的值域,留意定义域的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例题】5y 2 x24 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 代换法（换元法）：作变量代换,针对
9、根式的题型,转化成二次函数的类型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例题】y12 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）分别常数法【例题】y3x4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 分段函数（ 1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（ 2）各部分的自变量的取值情形（ 3）分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集（ 4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含肯定值的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、求 yx3x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
10、 - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、求函数f x2xx20x3的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x26 x 2x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 复合函数（抽象函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知 yf x2 的定义域是 a, b ,求函数 yf x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知yf 2 x1 的定义域是（ -2, 0）,求yf 2 x1) 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
11、纳总结例 3、已知函数yf x1) 的定义域为 -2 , 3 ,就yf2 x1 的定义域是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 映射一般的,设 A、 B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应, 那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“ f（对应关系）： A （原象）B（象）”对于映射 f：A B 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的。 2集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个。 3不要求集合
12、B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不肯定的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、函数的单调性 局部性质 及最值（ 1）、增减函数（ 1）设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x 1, x 2,当 x 1x 2时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 .（ 2）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说
13、fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质。函数的单调性仍有单调不增,和单调不减两种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如偶函数 f x 在3, 1 上是增函数,就以下关系式中成立的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. f 2B. f 1f 1f 3 2f 2f 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. f 2f 13f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D. f 2f 2f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 以下函数中 ,在区间 0,1
14、 上是增函数的是（）A. yxB y3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C y1D y xx 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】已知函数f xx22ax2, x5,5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1时,求函数的最大值和最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求实数 a 的取值范畴,使yf x 在区间5,5上是单调函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象
15、从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x 1, x 2 D,且 x11,且 n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数。 此时, a 的 n 次方根用符号表示。当 n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a 的正的 n 次方根用符号表示, 负的 n 的次方根用符号表示。正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（ a0）。留意：负数没有偶次方根。0 的
16、任何次方根都是0,记作 n 00 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式子 n a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ma nn a m a0,m, nN * ,n1 , an1a n1an am0, m, nN * , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质可编辑
17、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） a r a ra r sa0, r , sR 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a rs（2）a rsa0, r, sR 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ab rar a sa0, r , sR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、无理数指数幂一般的,无理数指数幂aa（ a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念： 一般的, 函数 ya x a0,
18、且a1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1为什么？ 2、指数函数的图象和性质a10a1 时,如 X 1X 2 ,就有 fX 110a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32.5322.51.521 11.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 123456781 10.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域 x0
19、定义域 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域为 R值域为 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1, 0）函数图象都过定点（ 1, 0）幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、幂函数定义：一般的,形如yxaR) 的函数称为幂函数,其中为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、幂函数性质归纳（1） 全部的幂函数在（ 0, +）都有定义并且图象都过点（1, 1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 0 时,幂函数的图
20、象通过原点,并且在区间 0 , 上是增函数特殊的,当1时,幂函数的图象下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结凸。当 01时,幂函数的图象上凸。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）0时,幂函数的图象在区间 0, 上是减函数在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右方无限的靠近y 轴正半轴,当 x趋于时,图象在 x轴上方无限的靠近 x轴正半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档四、函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点3、函数零点的求法：（ 1）（代数法）求方程的实数根。（ 2）（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：（ 1） 0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点（ 2） 0,方程 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（ 3） 0,方程 无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载