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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题一、学问预备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是,以抛物线为载体,探讨是否存在一些点,使其 能构成某些特别三角形,有以下常见的基本形式；（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相像三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在,数形结合,分类归纳,逐一考察；二、例题精析【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一 （2022.铜仁地区）如图,已知直线 y=3x 3分别交 x轴、y 轴于 A 、B 两点,抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B
2、 两点,点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求 ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上,是否存在点 由；如存在,求出点 M 的坐标考点 ：二次函数综合题专题 ：综合题M ,使 ABM 为等腰三角形？如不存在,请说明理分析： （1）依据直线解析式求出点 A 及点 B 的坐标,然后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式,可得出 b、c 的值,求出抛物线解析式；（2）由（ 1）求得的抛物线解析式,可求出点 C 的坐标,继而求出 AC 的长度,代入三角形的面积公式即可运算；（3）依据点 M 在抛物线对称轴上,可设点M 的坐标为（1,m）,分三种
3、情形争论, MA=BA , MB=BA , MB=MA ,求出 m 的值后即可得出答案解答： 解：（1）直线 y=3x 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点,可得 A（1,0）,B（0, 3）,_精品资料_ 把 A、B 两点的坐标分别代入y=x2+bx+c 得：,第 1 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解得：学习必备欢迎下载抛物线解析式为：y=x2+2x 32（2）令 y=0 得： 0=x +2x 3,解得： x1=1,x2= 3,就 C 点坐标为：（ 3,0）, AC=4 ,故可得 S ABC=ACOB=43=6M （1
4、,m）满意题意：（3）抛物线的对称轴为：x= 1,假设存在争论： 当 MA=AB时,解得：,）；M 1（ 1,）,M 2（ 1, 当 MB=BA时,解得： M 3=0,M 4= 6,M 3（ 1, 0）,M 4（1, 6） , 当 MB=MA时,解得： m= 1,M 5（ 1,1）,答：共存在五个点 M 1（ 1,）,M 2（1,）,M 3（ 1,0）,M 4（ 1, 6）,M 5（ 1,1）使 ABM 为等腰三角形点评： 此题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积,难点在第三问,留意分类争论,不要漏解【抛物线上的点能否构成直角三角形】2例二
5、（2022 鞍山）如图,已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A,与二次函数 y=ax +bx+c的图象交于 y 轴上的一点 B,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯独的交点 C,且 OC=22（1）求二次函数 y=ax +bx+c 的解析式；2（2）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax +bx+c 的图象的另一交点为 D,已知 P 为x 轴上的一个动点,且 PBD 为直角三角形,求点 P 的坐标考点：二次函数综合题_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必
6、备 欢迎下载分析：（1）依据 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A ,与 y 轴交于点 B,即可得出 A,B 两点坐标,二次 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯独的交点 C,且 OC=2 得出可设二次函数 y=ax 2+bx+c=a（x 2）2,进而求出即可；（2）依据当 B 为直角顶点,当D 为直角顶点,以及当P 为直角顶点时, 分别利用三角形相像对应边成比例求出即可解答：解：（1） y=0.5x+2 交 x 轴于点 A,0=0.5x+2 ,x= 4,与 y 轴交于点 B,x=0 ,y=2 B 点坐标为：（0,2）,A（ 4,0）,B（0,2）,C,且 OC=2 二次函数y=
7、ax2 +bx+c 的图象与 x 轴只有唯独的交点y=a（x 2）2,可设二次函数把 B（0,2）代入得： a=0.5 二次函数的解析式：y=0.5x2 2x+2；（2）（）当 B 为直角顶点时,过B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1 点由Rt AOB Rt BOP1=,=,得： OP1=1,P1（1,0）,（）作 P2DBD,连接 BP2,将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2 2x+2 联立求出两函数交点坐标：就 AD=,当 D 为直角顶点时 DAP 2= BAO , BOA= ADP 2, ABO AP 2D,=,解得： AP 2=11.25,就 OP2=11.25 4=7.25,故
8、 P2 点坐标为（ 7.25,0）；D 点坐标为：（5,4.5）,（）当 P 为直角顶点时,过点 D 作 DEx 轴于点 E,设 P3（a,0）就由 Rt OBP3Rt EP3D _精品资料_ 得：,第 3 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ,学习必备欢迎下载方程无解,点 P3 不存在,点 P 的坐标为： P1（1,0）和 P2（7.25, 0）点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相像三角形的与性质等学问,依据已知进行分类争论得出全部结果,留意不要漏解【抛物线上的点能否构成相像三角形】例三 （ 2022.恩施
9、州） 如下列图, 直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B把 AOB沿 y 轴翻折,点A 落到点 C,抛物线过点B、C 和 D（3,0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）如 BD 与抛物线的对称轴交于点 M ,点 N 在坐标轴上,以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相像,求全部满意条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P,使 S PBD=6？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 考二次函数综合题学习必备欢迎下载点：分
10、（1）由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式；析：（2）第一确定 MCD 为等腰直角三角形,由于 BND 与 MCD 相像,所以 BND 也是等腰直角三角形如答图 1 所示,符合条件的点 N 有 3 个；（3）如答图 2、答图 3 所示,解题关键是求出 PBD 面积的表达式,然后依据 S PBD=6的已知条件,列出一元二次方程求解解 解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B,答：A （ 1,0）,B（0,3）；把 AOB 沿 y 轴翻折,点A 落到点 C, C（1,0）设直线 BD 的解析式为： y=kx+b ,点 B（0,3）,D（3,0）在直线
11、BD 上,解得 k= 1, b=3,直线 BD 的解析式为： y= x+3设抛物线的解析式为：y=a（x 1）（x 3）,点 B（0,3）在抛物线上,3=a（ 1）（ 3）,解得： a=1,抛物线的解析式为：y= （x 1）（x 3）=x2 4x+3（2）抛物线的解析式为：y=x 2 4x+3= （x 2）2 1,抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为（2, 1）直线 BD：y= x+3 与抛物线的对称轴交于点M （2,1）M ,令 x=2 ,得 y=1,设对称轴与x 轴交点为点F,就 CF=FD=MN=1 , MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、 D 为顶点的三角形与 MCD 相像, B
12、ND 为等腰直角三角形如答图 1 所示：_精品资料_ （I）如 BD 为斜边,就易知此时直角顶点为原点O,第 5 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载N 1（0,0）；（II ）如 BD 为直角边, B 为直角顶点,就点 N 在 x 轴负半轴上,OB=OD=ON 2=3,N 2（ 3,0）；（III ）如 BD 为直角边, D 为直角顶点,就点 N 在 y 轴负半轴上,OB=OD=ON 3=3,N 3（0, 3）满意条件的点 N 坐标为：（ 0,0）,（ 3,0）或（ 0, 3）（3）假设存在点 P,使 S PBD=
13、6,设点 P 坐标为（ m,n）（I）当点 P 位于直线 BD 上方时,如答图 2 所示：过点 P 作 PEx 轴于点 E,就 PE=n,DE=m 3S PBD=S梯形 PEOB S BOD S PDE=（3+n）.m33（m 3）.n=6,化简得： m+n=7 ,P（m,n）在抛物线上,n=m2 4m+3,代入 式整理得： m 2 3m 4=0,解得： m1=4,m2= 1,n1=3, n2=8,P1（4,3）,P2（ 1,8）；（II ）当点 P 位于直线 BD 下方时,如答图 3 所示：过点 P 作 PEy 轴于点 E,就 PE=m,OE= n,BE=3 nS PBD=S梯形 PEOD+
14、S BOD S PBE=（3+m） .（ n）+33（3 n） .m=6,化简得： m+n= 1 ,P（m,n）在抛物线上,n=m 2 4m+3,代入 式整理得： m2 3m+4=0, = 70,此方程无解故此时点 P 不存在_精品资料_ 综上所述,在抛物线上存在点P,使 S PBD=6,点 P 的坐标为（ 4,3）或（1,8）第 6 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 点此题是中考压轴题,学习必备欢迎下载待定系数法、 相像三角形的判定综合考查了二次函数的图象与性质、评：与性质、图形面积运算、解一元二次方程等学问点,考查了数形结合、分
15、类争论的数学思想第（ 2）（3）问均需进行分类争论,防止漏解三、形成训练1（2022.湘西州）如图,已知抛物线y=x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、 B 两点,与 y 轴相交于点 C,如已知 A 点的坐标为A （ 2,0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标,连接AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判定 AOC 与 COB 是否相像？并说明理由；_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ACQ 为等腰三角形？如
16、不存在,求出符合条件的 Q 点坐标；如不存在,请说明理由考点 ：二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中,令 x=0,可求出点 C 坐标；令 y=0,可求出点 B 坐标再利用待定系数法求出直线 BD 的解析式；（3）依据, AOC= BOC=90 ,可以判定 AOC COB；（4）本问为存在型问题如 论,逐一运算,防止漏解 ACQ 为等腰三角形,就有三种可能的情形,需要分类讨解答： 解：（1）抛物线 y= x2+bx+4 的图象经过点 A （ 2,0）,2（ 2）+b（ 2）+4=0,解得： b=,抛物线解析式为
17、 y=x2+ x+4 ,2 2又 y= x + x+4= （ x 3）+,对称轴方程为：x=32（2）在 y= x + x+4 中,令 x=0,得 y=4, C（0,4）；令 y=0,即x2+ x+4=0 ,整理得 x 2 6x 16=0,解得： x=8 或 x= 2,A（ 2,0）,B（8,0）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ,把 B（8,0）,C（0,4）的坐标分别代入解析式,得：_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载,解得 k=,b=4,直线 BC 的解析式为： y= x+4 （3）
18、可判定 AOC COB 成立理由如下：在 AOC 与 COB 中,OA=2 ,OC=4 ,OB=8 ,又 AOC= BOC=90 , AOC COB （4）抛物线的对称轴方程为：x=3,可设点 Q（3,t）,就可求得：AC=,AQ=,CQ=i）当 AQ=CQ 时,有2=t=,25+t2 8t+16+9 ,解得 t=0,Q1（ 3,0）；ii ）当 AC=AQ 时,有=,t 2= 5,此方程无实数根,此时 ACQ 不能构成等腰三角形；iii ）当 AC=CQ 时,_精品资料_ 有=,）第 9 页,共 12 页整理得： t 2 8t+5=0 ,解得： t=4,点 Q 坐标为： Q2（3,4+）,
19、Q3（3,4综上所述,存在点Q,使 ACQ 为等腰三角形,点Q 的坐标为： Q1（3,0）,Q2（ 3,4+）,Q3（3,4）- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载相像三角形的判定、勾股点评： 此题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、定理、等腰三角形的判定等学问点难点在于第 （ 4）问,符合条件的等腰三角形 ACQ可能有多种情形,需要分类争论1 1 22 ：已知：直线 y x 1 与 y 轴交于 A,与 x 轴交于 D,抛物线 y x bx c 与直线交2 2于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为
20、（1,0）（ 1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 在 x 轴上移动,当PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标3、如图,抛物线 y 1x 2 2x 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点（ 1）求2 2A、 、C三点的坐标；（2）证明ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外,是否仍存在另外一个点P ,使ABP是直角三角形,如存在,恳求出点P 的坐标,如不存在,请说明理由_精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、如图,已知抛物线 y 2 x 2 4 x 2 的图象与 x
21、 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛3 3物线的对称轴与 x 轴交于点 D 点 M从 O点动身,以每秒 1 个单位长度的速度向 B运动,过M作 x 轴的垂线,交抛物线于点 P,交 BC于 Q（1）求点 B 和点 C的坐标；（2）设当点 M运动了 x（秒）时,四边形 自变量 x 的取值范畴OBPC的面积为 S,求 S与 x 的函数关系式,并指出（3）在线段 BC上是否存在点 Q,使得DBQ 成为以BQ为一腰的等腰三角形？如存在,求出点 Q的坐标,如不存在,说明理由5、（09 年成都） 在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y=a x2 1c a0与 x 轴交于 A、B两点 点 A在点
22、 B的左侧 ,与 y 轴交于点 C,其顶点为 M,如直线 MC的函数表达式为ykx3,与 x 轴的交点为N,且 COSBCO3 10 10；1 求此抛物线的函数表达式；_精品资料_ 2 在此抛物线上是否存在异于点C的点 P,使以 N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角第 11 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载边的直角三角形？如存在,求出点P的坐标：如不存在,请说明理由； 3 过点 A作 x 轴的垂线, 交直线 MC于点 Q.如将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段 NQ 总有公共点,就抛物线向上最多可平移多少个单位长度 度. .向下最多可平移多少个单位长_精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 12 页