2022年与二次函数有关的综合问题 .pdf

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1、一、选择题1. (2013 湖北省宜昌市) 地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050 年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝2012 年底，长江江豚数量仅剩约1 000头，其数量年平均下降的百分率在13%15%范围内，由此预测，2013 年底剩下江豚的数量可能为（）头（A）970 （B）860 （C）750 （D）720 二、计算题2. (2013 四川省眉山市) 如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B在 x 轴上，点 C、 D在 y 轴上，且 OB=OC=3 ， OA=OD=1 ，抛物线yax2bxc(a0) 经过 A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M。求这条抛

2、物线的解析式；P 为抛物线上一动点，E 为直线 AD上一动点，是否存在点P，使以点A、 P、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移2个单位后得到的抛物线的解析式。B C M x y A O D 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 三、应用题3. (2013 山东省泰安市) 如图，抛物线cbxxy221与y轴交

3、于点C（0，-4 ） ，与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2,0 ）. （1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一动点， 过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值；（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 4. (2013 山东省威海市 ) 如图，已知抛物y=x2+bx+c与 x 轴交于

4、点A 、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2. （1）求抛物线的函数表述式；（2）设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B 、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 5. (2013 山东省威海市 ) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y=x交于点A，点B在直线y=

5、12x+32上，BOA=90,. 抛物线y=ax2+bx+c过点A,O ,B, 顶点为E. 求点A，B的坐标求抛物线的函数表达式及定点E 的坐标；设直线 y=x 与抛物线的对称轴交与点C, 直线BC交抛物线于点D，过点E作FEx轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - (3) 试判断OD与CF是否平行，并说明理由6. (2013 广西南宁市 )

6、如图，抛物线2(0)yaxc a经过(2 0)C，(01)D，两点，并与直线ykx交于A、B两点直线l过点(02)E，且平行于x轴，过A、B两点分别 作 直 线l的垂线，垂足分别为点M、N（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AOAM；（3）探究：当0k时，直线ykx与x轴重合，求出此时11AMBN的值；试说明无论k取何值，11AMBN的值都等于同一个常数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 7.

7、(2013 广西钦州市 ) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y2122xx与x轴相交于O、B两点，顶点为A，连结OA（1）顶点A的坐标为 _，AOB的度数为 _；（2）若将抛物线y2122xx向右平移4 个单位，再向下平移2 个单位，得到抛物线m，顶点为点C，连结OC和AC，把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC，试判断其形状，并说明理由；（3）在（ 2）的情况下，判断点C是否在抛物线y2122xx上，请说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存

8、在，请说明理由（参考公式： 二次函数yax2bxc（a0） 图象的顶点坐标为 （2ba，244acba） ， 对称轴是直线x2ba ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 8. (2013 山东省烟台市 ) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2 的正方形，二次函数2yaxbxc的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标2(0)3，以OC为直径作半圆，圆心为D. （1）求二

9、次函数的解析式；（2）求证：直线BE是O的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴于点N，连结PM，PN，设CM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函A C O B x y 2122yxxm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 数关系式，并写出自变量t的取值范围 .S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明

10、理由. 9. (2013 山东省枣庄市 ) （本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=+y xbx c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为 (3,0)，与y轴交于C(0 ， 3) ，点P是直线BC下方抛物线上的动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）连接PO 、PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使得四边形POP C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

11、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 10. (2013 贵州省六盘水市) 已知在Rt OAB中， OAB=90 ， BOA=30 ， OA=，若以 O为坐标原点，OA所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将RtOAB沿 OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处（1）求经过点O ，C，A三点的抛物线的解析式（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点 D 的坐标（3）线段 OB与抛物线交与点E，点 P为线段 OE上一动点 （点 P不与点 O ，点 E

12、重合），过 P点作 y 轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得 PD=CM ？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 11. (2013 山东省德州市 ) 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点， OA=1，tan BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC抛物线2yaxbxc经过点A、B、

13、C（1）求抛物线的解析式（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似时点P的坐标是否存在一点P，使PCD的面积最大？若存在，求出PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - 12. (2013 陕西省 ) 在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过(10)A ，、(3 0)B，两

14、点 . （1）写出这个二次函数图象的对称轴；（2） 设这个二次函数图象的顶点为D， 与y轴交于点C， 它的对称轴与x轴交于点E， 连接AC、DE和DB.当AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式. 提 示 ： 如 果 一 个 二 次 函 数 的 图 象 与x轴 的 交 点 为1(0)A x，、2(0)B x ， 那 么 它 的 表 达 式 可 表 示 为12()()ya xxxx 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - -

15、 - - - - - - 13. (2013 上海市 ) 如图，在平面直角坐标系xOy中， 顶点为M的抛物线2(0yaxbx a）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOOB= 2 ，120AOB（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标14. (2013 四川省泸州市 ) 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为2（，0），点B的坐标为13（，），已知抛物线2(0)yaxbxc a经过三点ABO、 、(O为原点 ). MABOxy第 24 题图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

16、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - （1）求抛物线的解析式；（ 2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使BOC的周长最小 . 若存在，求出点C的坐标 . 若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB是否有最大面积. 若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由. （注意：本题中的结果均保留根号）. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

17、- - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - 15. (2013 四川省绵阳市 ) 如图， 二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为 （ 0，-2 ） ，交 x 轴于A、B两点，其中A（-1 ，0） ，直线l：x=m（m 1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限） ，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？

18、如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。A B C D O x y l 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - 16. (2013 浙江省绍兴市 ) 抛物线)1)(3(xxy与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点 . （1）求点B及点D的坐标；（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E. 若线段BD上一点P，使DCP=BDE，求点P的坐标；若抛物线上一

19、点M，作MNCD，交直线CD于点N，使CMN=BDE，求点M的坐标 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - 17. (2013 山东省潍坊市 ) 如图，抛物线cbxaxy2关于直线1x对称，与坐标轴交于CBA、三点，且4AB，点232，D在抛物线上，直线l是一次函数02 kkxy的图象，点O是坐标原点 . （1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向

20、左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线与直线l交于NM、两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 18. (2013 山东省东营市) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2， 0） ，与y轴的交点为B（0，-1 ） (1) 求抛物线的解析式；(2) 在对称轴右侧的抛物线上找出一点C， 使以BC为直径的圆经 过 抛 物 线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标(3) 在（ 2）的基础上，设直线x=t（ 0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值A

21、 O（第 24 题图）x y B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 19. (2013 山东省莱芜市 ) 如图，抛物线20yaxbxc a经过点3 010AB， 、， 、21C，交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（ 2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3） 抛物线上是否存在一点P， 作PN垂直x轴于点N，

22、 使得以PAN、 、为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由20. (2013 山东省聊城市 ) 已知在 ABC中，边 BC的长与 BC边上的高的和为20写出 ABC的面积 y 与 BC的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为48 时 BC的长；当 BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？当 ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

23、- - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 21. (2013 浙江省台州市) 如图1, 已知直线:2lyx与y轴交于点A，抛物线kxy2)1(经过点A，其顶点为B, 另一抛物线hhxy2)(2) 1(h的顶点为D, 两抛物线相交于点C. （1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m. 交点C的纵坐标可以表示为: 或 , 由此请进一步探究m关于h的函数关系式; 如图 2, 若90ACD, 求m的值 . 22. (2013 浙江省舟山市) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y14(xm)214m2m的顶点为A，与y轴的交点为B，连

24、结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使ADAC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m2 时，求点B的坐标；（2）求DE的长；（3）设点D的坐标为（x，y） ，求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？yxCABOD图 1 yCABOxD图 2 （第 23 题）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - -

25、- - - - - yxEDCABO四、复合题23. (2013 黑 龙 江 省 齐 齐 哈 尔 市 ) 如 图 ， 已 知 二 次 函 数2yaxbxc的 图 象 经 过 点( 4,0),( 1,3),( 3,3).ABC（1）求此二次函数的解析式. （2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点(, )P m n在第三象限， 其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求,m n的值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

26、 - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - 24. (2013 湖北省十堰市) 已知抛物线22yxxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为( 10)，（1）求D点的坐标；（2）如图 1，连结AC，BD，并延长交于点E，求E的度数；（3）如图 2，已知点P( 4 0)，点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当P MAE时，求点Q的坐标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，

27、共 27 页 - - - - - - - - - 25. (2013 重庆市綦江县 ) 如图， 对称轴为直线1x的抛物线2(0)yaxbxc a与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为( 3 0)，. （1）求点B的坐标；（2）已知1a，C为抛物线与y轴的交点 . 若点P在抛物线上，且4POCBOCSS，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页

28、- - - - - - - - - 五、开放题26. (2013 湖北省宜昌市) 如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角板的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为0t，直角边4AC，经过OC，两点作抛物线1yax xt（a为常数，0a） ，该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：2ykx（k为常数，0k） （1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A（_， _ ） ，k=_；（2）随着三角板的滑动，当14a时：请你验证：抛物线1yax xt的顶点在函数214yx的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（ 3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当4txt时，21yy的值随

29、x的增大而减小；当4xt时，21yy的值随x的增大而增大求a与t的关系式及t的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - 六、猜想、探究题27. (2013 湖北省黄石市) 如图 1 所示，已知直线ykxm与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线2yxbxc经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当12x时，y取最大值254. （1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且

30、SABP：SBPC1:3，求点P的坐标；（3）若直线12yxa与（ 1）中所求的抛物线交于M、N两点，问 : 是否存在a的值，使得090MON？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；猜想当090MON时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M xy，22(,)N xy，则M，N两点间的距离为222121()()MNxxyy）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - -

31、- - - - 七、说理题28. (2013 河南省 ) 如图，抛物线2yxbxc与直线122yx交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为732，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以OCPF、 、 、为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）若存在点P，使45PCF，请直接写出相应的点P的坐标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 27

32、页 - - - - - - - - - 29. (2013 湖北省咸宁市 ) 如图，已知直线113yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD. （1）点C的坐标是（ 0，3） ，线段AD的长等于 _；（2）点M在CD上，且CMOM，抛物线2yxbxc经过点C，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（ 2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精

33、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 27 页 - - - - - - - - - 30. (2013 湖南省常德市 ) 如图， 已知二次函数的图象过点A(0 ，3) ，B（3,3） ，对称轴为直线12x，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取1111,.3333PCMP MDOM OEON NFNP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - -