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1、一、 函数连续性的定义,函数的连续性,二、 函数的间断点,一、 函数在一点的连续性,2.函数 在 点连续的等价定义,（改变量）,3. 区间上的连续函数 .,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、 函数的间断点,1.可去间断点,注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义, 则可使其变为连续点.,解:,2.跳跃间断点,例4：,解,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点：,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点,第二类间断点,间断点,(见下图),可去间断点,跳跃间
2、断点,左右极限都存在,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有 一个不存在,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,四、连续函数的性质与运算性,性质3：（连续函数的四则运算法则）,例如：,例1：证明函数 在 内是连续的。,性质4：（复合函数的连续性）,例2：讨论函数 的连续性。,在 上连续，,在 上各自连续连续，,性质5：（反函数的连续性） 连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续 且严格单调递增（递减）的函数.,五、初等函数的连续性,定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,例如,定理1：基本初等函数在定义域内是连续的.,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无
3、穷间断点;,故,为跳跃间断点.,1、,解,右连续但不左连续 ,2、,解,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性.,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,练 习 题,练习题答案,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为跳跃间断点.,G,间
4、断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,间断的演示,：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,1当,时，,较,等价无穷小量 (B) 同阶无穷小量 (C) 低阶无穷小量 (D) 高阶无穷小量,是 （ ）,课堂测验,2下列各式中正确的是 （ ）,B,C,D,A,3无穷小量是（ ） A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零,4. 已知,，则a=_。,5. 计算,练 习 题,练习题答案,