函数的连续性和间断点.ppt

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1、关于函数的连续性和间断点现在学习的是第1页，共32页一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y 现在学习的是第2页，共32页2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零

2、, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是现在学习的是第3页，共32页定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点

3、在点0 x连续连续. .:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当现在学习的是第4页，共32页可见 , 函数)(xf在点0 x(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件:存在 ;有定义 ,存在 ;现在学习的是第5页，共32页例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 现在学习的是第6

4、页，共32页3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理00( )( ).f xxf xx函数在处连续函数在处既左连续又右连续.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 现在学习的是第7页，共32页例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f

5、 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf现在学习的是第8页，共32页对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:现在学习的是第9页，共32页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连

6、连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.现在学习的是第10页，共32页continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx. ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的

7、连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx现在学习的是第11页，共32页例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy现在学习的是第12页，共32页补充补充. 设设 0,sin0,)(2xxbxxbxaxfbxbxx sinlim0abxax )(lim20解

8、：解：. ba 在在x=0处连续，求常数处连续，求常数a与与b应满足的关系。应满足的关系。现在学习的是第13页，共32页二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf现在学习的是第14页，共32页1.跳跃

9、间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy现在学习的是第15页，共32页2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfx

10、xxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 现在学习的是第16页，共32页解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.现在学习的是第17页，共32页如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断

11、点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112现在学习的是第18页，共32页3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间现

12、在学习的是第19页，共32页例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.现在学习的是第20页，共32页思考思考：.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0

13、(af ),0()00()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a现在学习的是第21页，共32页 讨论讨论的的连连续续性性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形（若有间断点判别其类型，并作出图形（P65，EX4）解解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 则则若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1| x0)( xf现在学习的是第22页，共32页 1|1|01|)(xxxxxxf外外连

14、连续续除除去去1)( xxf时时当当1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x现在学习的是第23页，共32页三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)现在学习的是第24页，共32页第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二

15、类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x现在学习的是第25页，共32页思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？现在学习的是第26页，共32页思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0

16、x都都连连续续.现在学习的是第27页，共32页但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续现在学习的是第28页，共32页一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的

17、连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题现在学习的是第29页，共32页三三、 指指出出下下列列函函数数在在指指定定范范围围内内的的间间断断点点，并并说说明明这这些些间间断断点点的的类类型型，如如果果是是可可去去间间断断点点，则则补补充充或或改改变变函函数数的的定定义义使使它它连连续续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四四、 讨讨论论函函数数 nnnxxxf2211lim)( 的的连连续续性性，若若有有间间断断点点，判判断断其其类类型型 . .五五、试试确确定定ba,的的值值, ,使使)

18、1)()( xaxbexfx， （1 1）有有无无穷穷间间断断点点0 x； （2 2）有有可可去去间间断断点点1 x . .现在学习的是第30页，共32页一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题答案练习题答案现在学习的是第31页，共32页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第32页，共32页