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1、-等腰三角形、角平分线、中垂线-第 9 页等腰三角形、角平分线、中垂线一、角平分线、中垂线 例1 如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E若 的周长为28，BC=8，则的周长为 D ADEDFDBDDDC例2 如图，ABAC，的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，自D作于E，于F求证：BE=CF例3 如图，在中，AB=AC，求证：BC=AC+CD 例4 如图，AB=AC，的平分线AF交DE于F求证：AF为DE的垂直平分线例5 如图，在中，求证：AC=AB+2BD训练一下：1如图，在中，BE平分，交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1cm，则AC= cm.2如图，在
2、中，的平分线与的外角平分线相交于点D，过D作DEBC，分别交AB，AC于E，F求证：EF=BE-CF3如图，在中，AB=AC，E为AB中点，ED、BC延长线交于点F求证：AB=CF4如图，中，AB=2AC，DA=DB求证：ACCDABFEGCDH5如图，在中，和的平分线AD，BE相交于点F求证：EF=DF二、等腰三角形、等边三角形（1）求角的度数例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E分别在AC和AB上,且BD=BC,AD=DE=BE,求A的度数.ABCDE（2）证明角相等例、已知：如图，AB=AD，B=D。求证：AC平分BCD。ABCD（3）证明线段相等例、如图所示,已知ABC和CDE是等
3、边三角形 求证:BD=AEABCDE（4）证明问题例、如图，在RtABC中，已知ACB=90，AC=BC，D为DC的中点，CEAD于E，BFAC交CE的延长线于点F求证：AB垂直平分DF训练一下：1、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边ABD和等边BCE。连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN得BMN，试判断BMN的形状？为什么？2、如图，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试判断B与CAF的大小关系，并说明理由.3、如图，在ABC中，ABAC，点E在AB上，点D在AC的延长线上，且CDEB，ED交BC于M.求证：E
4、MDM.4、 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AFEF5、如图，已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：在图（2）-（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、ABC内、ABC外（1）请探究：图（2）-（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，B=C=60o， RS=n，BC
5、=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？FABCDEPM(4)ABCDEPM(3)ABCDEPM(2)ABCDEM(P)(1)ABCDEPM(5)FABCDEPM(6)RS作业：1如图，已知平分，点B，B分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件可以是 （1）B B （2）BC= BC （3）= B （4）=A BC2在中，E为BC中点，交AB于点D，若，AD=CD，则，AD=CD，则 ，= 3在中，AB=AC，DE是AB
6、边的中垂线，垂足为E，交AC于D若的周长为24，AB=14，则BC= ；若，则= 4在中，PM为AB边的中垂线，垂足为M，交BC于P；QN为AC边的中垂线，垂足为N，交BC于Q，则= ，若BC=9cm，则的周长为 cm. 5在中，的平分线交于D点，已知则的度数为 6在中，的平分线交于D点，过D作EFBC，分别交AB，AC于E，F两点，若AB=6，AC=5，则的周长为 7.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，ABBE，垂足为B，DEBE，垂足为E，且ACDF，BFCE。求证：GFGC。培优一下：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特
7、殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径 1如图，已知ABC中，ABAC，ADAE，BAE30，则DEC等于（ ）A75 B10 C12.5 D182如图，AA、BB分别是ABC的外角EAB和CBD的平分线，且AAABBB，A、B、C在一直线上，则ACB的度数是多少？3如图，等腰三角形ABC中，ABAC，A20D是AB边上的点，且ADBC，连结CD，则BDC_
8、ABCDE4. 如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E是等边三角形ABC的AC边延长线上一点，且EBED那么CE与AD相等吗？试说明理由练习1已知如图，在ABC中，ABCD，D是AB上一点，DEBC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 2如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是ABC内一点，且DACDCA15，则BD与BA的大小关系是（ ） ABDBA BBDBA CBDBA D无法确定3已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？4已知：如图，ABC是等边三角形，E
9、是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么CMN是等边三角形吗？为什么？5已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使ADAE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由6如图，在ABC中，ABAC，P为底边BC上的一点，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 7已知：如图，ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_AE+AB 8已知：如图，ABC和ADE都是等边三角形B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由