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1、11.10列一元二次方程解应用题,练5、不解方程，求一元二次方程 两个根的平方和；倒数和。,练6、已知方程的两个根的倒数和等于6，求m的值,（3）设 是方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值。,1. 会列一元二次方程解相关的应用题。 2. 经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值 。,学习目标,学习目标,知识回顾,知识回顾,1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：,（1）审,（2）设,（4）解,（5）验,（6）答,是指读懂题目，审清题意。,是指设未知数。,（3）列,是指列方程。,是指解方程，求出求出未知数的值。,是指写出应用题的答案。,是指检验解是否是方程的解，是否符合题意。,这
2、是最重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就能得到含有未知数的等式-方程.,知识回顾,3.一元二次方程应用题的主要类型：,（1）数字问题 （2）面积问题 （3）增长率问题 （4）商品营销问题 （5）其他问题,有关数字问题,解题秘籍,一、数字问题,典型例题,例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位数字与个位数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。,分析： 十位数字=个位数字-2 3(个位数字十位数字)=两位数,点评：应用问题中常常有两个等量关系，一个用来“设”，另一个则用来“列”.,及时反馈,一个三位数，十位数字比个位
3、数字大3，百位数字等于个位数字的平方。如果这个三位数比它的个位数字与十位数字的积的25倍大202，求这个三位数。,典型例题,例2.两个连续奇数的积是899，求这两个数,分析：本题考查用一元二次方程求解的数字问题，正确理解连续奇数的意义是解题关键,点评：因为在负数范围内也存在奇数，所以本题解出的值不能随意舍去,小明同学认为这里的-31不合题意，应舍去。你认为呢？,及时反馈,一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三条边长。,有关面积问题,解题秘籍,二、面积问题,典型例题,例3. 如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积
4、为864平方米，求小路的宽度？,变式1,变式2,点评：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便。,变式3,例4.一块长36m，宽24m的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形草地面积的 ，求周围走道的宽度。,典型例题,典型例题,点评：（1）对方程的根要认真检验是否符合实际意义，如有不符合的，要舍去。 (2)设未知数和答题时不能漏写单位。列方程中不要写单位，但等号两边量的单位要统一。,及时反馈,如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各
5、截去一个正方形，制成高是5厘米，容积是500立方厘米的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽。,提示：本题解决问题的关键是长方体容器的高就是正方形的边长。,典型例题,例5 如图，有一块面积是125平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长30米），另三边用长为35米的竹篱笆围成，求鸡场的长与宽。（开一圈门？）,典型例题,比比看，哪种解法更简洁呢？,点评: 本例未写出检验的结果，并不是没有检验，而是因为这两个结果都符合题意，如果把墙长改为20米，结果又会怎样呢？,变式1,（不合题意，舍去）,20,30,例5 如图，有一块面积是125平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），另三边用长为35米的竹篱笆围
6、成，求鸡场的长与宽。,列一元二次方程解应题,补充练习：,1、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场， 鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米 宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆 总长33米求鸡场的长和宽各多少米？,变式2,例5 如图，有长为35米的竹篱笆，一面利用墙（墙长30米），围成中间隔有一道篱笆的矩形鸡场，鸡场的面积是125平方米，鸡场的一边靠墙另三边用，求鸡场的长与宽。,点评： 解面积问题的应用题时，要根据几何图形的性质以及它们之间的量的关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题。,把100厘米长的铅丝折成一个长方形模型. （1）要使这个长方形的面积是525平方
7、厘米，它的长和宽应该各是多少厘米？ （2）面积是625平方厘米呢？ （3）面积是700平方厘米呢？,及时反馈,提示：本题解决问题的关键铅丝的长就是长方形的周长。,有关增长率的问题,解题秘籍,三、增长率问题,典型例题,例6.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？,例2：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）,设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则,2001年 a,2002年 a（1+x),2003年 a(1+x)
8、2,a(1+x) 2 =a+21%a,分析：,a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1,解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则,a(1+x) 2 =a+21%a,答:平均每年增长的百分率为10% ,典型例题,例7.商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36%，问平均每月降价百分之几？,典型例题,点评： 解本题常会出现有些同学因为题中缺少商品的原来的价格而无从下手，伤透脑筋，认为只有一个等量关系，却出现两个未知数，其实原来的价格只是一个参数，在解方程时可以约去，不影响方程的解。,1.某农场粮食产量在两
9、年内由50万千克增加到60.5千克，那么平均每年的增长率是多少？,及时反馈,及时反馈,2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。,错解剖析：这里对一年到期后取出1000元，剩下的本金与利息之和不能正确地表示。,提示：本题的基本数量关系是利息=本金利率期数。此题首先要弄清第一次存的2000元到期后的本息和，从这个本息和中支取1000元后，剩下的又存入银行，一年到期后的本息和是1320，这样便弄清了等量关系。,及时反馈,点拨：本息和=本
10、金+利息 利息=本金利率期数 利息税=利息税率,商品营销问题,解题秘籍,四、商品营销问题,分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。,6000,（20+x）,（300-10 x）,(20+x)( 300-10 x),(20+x)( 300-10 x) =6090,自主探究,例5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4
11、件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？ 分析：等量关系：每件衬衫盈利每天的销售量=2100 解：设每件衬衫应降价元，可使商场每天盈利元 根据题意，得(45x)(20+4x)=2100 解得：x110，x230 因尽快减少库存，故x30 答：每件衬衫应降价30元,例8.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？,典型例题,你知道为什么吗？,如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多
12、售出2件.,如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.,如果每件衬衫每降价0.5元，商场平均每天可多售出1件.,变式,例8.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，,若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？,问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？,合作交流,问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在 的售价是每件60元，每星期可卖出
13、300件。 市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？,解:设每件降价x元时的总利润为y元.,y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0 x20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.,答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.,由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,怎样确定x的取值范围,问题4.已知某商品的进价为每件
14、40元。现在 的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？,解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.,y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250,当x=5时，y的最大值是6250.,定价:60+5=65（元）,(0 x30),怎样确定x的取值范围,某商店购进一批单价为20元的日用品,如
15、果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?,解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元,我来当老板,牛刀小试,1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查
16、表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元?,随堂练习,2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?,分析：,点评：实际问题的求解，转化成了一元二次方程的求解；一元二次方程的求解，其实是将“未知”转化成了“已知”，“转化”贯串了整个应用题的求解过程.,典型例题,例9.从盛满20升纯酒精的容器中倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液
17、后，这时，容器里剩下约纯酒精5升，问每次倒出升数是多少？,第二次再倒出混合液 升中所含的纯酒精,其他问题,五、其它问题,一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升? 解：设每次倒出的盐水是X升，得方程：,解之得：X=10,典型例题,当n=1,2,3,2003时,关于x的一元二次方程 的根为a,b,试求: (1） 的值; (2)a1-b1+a2-b2+a2003-b2003 的值. (1) (2),例4、（2007潜江）如图3，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把ABC沿着AD方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积是1cm，则它移动的距离 等于 cm.,A,D,C,B,A,C,B,D,A,E,F,C,C,设AB与AC的交点为E, AC与CD的交点为F,易知四边形AECF为平行四边形，AAE为等腰直角三角形，设AA=AE=x，则AD=2x,根据等量关系两个三角形重叠部分的面积是1cm 2，可列方程为x(2x)=1,解得x=1.故答案为1.,