概率论与数理统计浙大四版习题答案第2-8章(42页).doc

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1、-概率论与数理统计浙大四版习题答案第2-8章-第 56 页第二章 随机变量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为也可列为下表X： 3， 4，5P：3.三 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。Px12O再列为下表X： 0， 1， 2P： 4.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1p

2、(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)9.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成

3、功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P (一次成功)=（2）P (连续试验10次，成功3次)= 。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。九 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概

4、率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0X2，Y=0(0X2与 Y=2独立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343（5）P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于3的概率。十六 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）P至多3分钟；（2

5、）P 至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟解：（1）P至多3分钟= P X3 = （2）P 至少4分钟 P (X 4) = （3）P3分钟至4分钟之间= P 3X4= （4）P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 （5）P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=018.十七 设随机变量X的分布函数为，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）20.十八（2）设随机变量的概率密度为（

6、1）（2）求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。解：当1x1时：当1x时：故分布函数为：解：（2）故分布函数为（2）中的f (x)与F (x)的图形如下f (x)x0F (x)21x01222.二十 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，23.二十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在

7、窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此 24.二十二 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。25.二十三 设XN（3.22）（1）求P (2X5)，P (4)2，P (X3)若XN（，2），则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=

8、1P (X3)=1=10.5=0.5（2）决定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =326.二十四 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P

9、(10.050.12X10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？ P (120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表，得30.二十七 设随机变量X的分布律为： X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： Y： 0 1

10、4 9 P： 31.二十八 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度为：Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为：32.二十九 设XN（0，1）（1）求Y=eX的概

11、率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY（y），则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y)当y1时，( y)= FY ( y) =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y0时：( y)= FY ( y

12、) =33.三十 （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X单调增函数，又X=h (Y ) =，反函数存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为： ( y)= f h ( h )| h ( y)| = （2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一： X的分布密度为： Y=x2是非单调函数当 x0时 y=x2 反函数是当 x0时 y=x2 & Y fY (y) = 法二： Y fY (y) =34.三

13、十一 设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)当y0时：FY ( y)=0当0y1时：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX)当1y时：FY ( y)=1 Y的概率密度( y )为：y0时，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1时，( y )= FY ( y) =1y时，( y )= FY ( y) = = 036.三十三 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有TN（98.6，2），试求()的概率密度。已知法一： T的概率密度为 又 是单调增函数。 反函数存

14、在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()为法二：根据定理：若XN（1， 1），则Y=aX+bN (a1+b, a2 2 )由于TN（98.6, 2）故 故的概率密度为：第三章 多维随机变量及其分布1.一 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X

15、=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成XY0101（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或写成XY01013.二 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P

16、 X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化为累次积分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。2解：（1） 放回抽样（第1题）XY0x+y=4110xo1边缘分布律为X01Y01PiPj 不放回抽样（第1题）XY

17、0101边缘分布为X01Y01PiPj（2）（X，Y ）的联合分布律如下XY0123000300解： X的边缘分布律 Y的边缘分布律X0123 Y13Pi Pj7.五 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为解：8.六 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为x=yy求边缘概率密度。xo解:9.七 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况P X=0, Y=0 = P X=0P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P

18、Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不独立16.十四 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为y=x2Y的概率密度为1xDyo且知X, Y相互独立，于是（X，Y）的联合密度为（2）由于a有实跟根，从而

19、判别式 即： 记19.十八 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：z0 当z0时，由和的概率公式知（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为 设表示第三周需要量，其概率密度为：z与相互独立= z +表示前三周需要量则：0，当u0时所以的概率密度为22.二十二 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命

20、小于180小时的概率。解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：设N=minX1，X2，X3，X 4 P N180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 设随机变量（X，Y）的分布律为XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求V=

21、max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y=2=同理P Y=3|X=0=（2）变量V=maxX, Y 显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0+ P

22、 X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然U的取值为0，1，2，3 P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ + P Y=0，

23、X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或缩写成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U显然W的取值为0，1，8 PW=0=PV=0 U=0=0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0又U=minX，Y=1不可能上式中的PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，

24、U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1 + PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3 + PX=2，Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX

25、=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=PV=5, U=1+ PV=4，U=2+PV=3，U=3 =PX=5，Y=1+ PX=4，Y=2+PX=3，Y=3 =0.19 PW=7= PV+U=7=PV=5, U=2+ PV=4，U=3 =PV=5，U=2 +PX=4，Y=3=0.6+0.6=0.12 PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5，Y=3=0.05或列表为W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二十一 设随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY

26、 (y)（3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。解：（1） （2）（3）Fu ()=P U u=P )=P X u, Y u =F (u, u)= u1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天调整设备的次数时XB(4, 0.2639). P (X=0)=0.263900.73614 =0.2936.P (X=1)=0.263910.73613=0.4210, P (X=2)= 0.263920.73612=0.2264.P (X=3)=0.263930.7361=0.0541, P (X=4)= 0.26390.73610=0.00

27、49.从而E (X)=np=40.2639=1.05563.三 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。 事件 X=1=一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒+两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒+三只球均装入一号盒（右边三个事件两两互斥）事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”同理：故5.五 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时

28、间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为求E (X)解：6.六 设随机变量X的分布为X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2)0.4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.47.七 设随机变量X的概率密度为求（1）Y=2X（2）Y=e2x的数学期望。解：（1） （2）8.八 设（X，Y）的分布律为XY1231010.20.10.10.100.100.30.1(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 设Z=Y/X，求E

29、 (Z )。(3) 设Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=10.4+20.2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)0.3+00.4 +10.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2） E (Z )= (1)0.2+(0.5)0.1+(1/3)0+00.4+1/30.1+0.50.1+10.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.

30、Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3） E (Z )=00.1+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=510.十 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：一台设备在一年内损坏的概率为故设Y表示出售一台设备的净赢利则故 11.十一 某车间生产

31、的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为用Y表示圆盘的面积，则12.十三 设随机变量X1，X2的概率密度分别为求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)解：（1） （2） （3）13.十四 将n只球（1n号）随机地放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )解：引进随机变量 i=1, 2, n 则球盒对号的总配对数为Xi的分布列为Xi:10P:i=1, 2 n i=1, 2 n14.十五 共有n把看上去样子

32、相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。解：（1）X123nP（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。设 i=1, 2 n则试开到能开门所须试开次数为Xii0PE (Xi)=i=1, 2n15. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：验证E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知随机变量X的概率密度。求X*的概率密度。解：（1） D (X* )= E X*E (X )* 2= E (X*2 )= （2）16.十六 设X为随机变量，C是常数，证明D (X )E (XC )2 ，对于CE (X )，（由于D (X ) = E XE (X )2 ，上式表明E (XC )2 当C=E (X )时取到