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1、-1、2、3、4、 概率论与数理统计答案 第四版 第2章(浙大)-第 19 页5、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中装有5只球，编号为1
2、,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有 =10种取法，数量不多可以枚举来解此题。设样本空间为S S=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3=；PX=4=；PX=5=；X3451/103/106/10方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在 ，PX=3= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个， PX=4= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个， PX=5= =；X3451/103/106/10 (2)将一颗骰子抛掷两
3、次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律.解：PX=1= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点）= =；PX=2= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点）= =；PX=3= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点）= =； PX=4= P (第一次为4点，第二次大于3点)+P（第二次为4点，第一次大于3点）- P（两次都为4点）= =； PX=5= P (第一次为5点，第二次大于4点)+P（第二次为5点，第一次大于4点）- P（两次都为5点）= =；PX
4、=6= P (第一次为6点，第二次大于5点)+P（第二次为6点，第一次大于5点）- P（两次都为6点）= =；X12345611/369/367/365/363/361/363.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数. (1)求X的分布律.解：PX=0= =;PX=1= =;PX=2= =;X01222/3512/351/35 (2)画出分布律的图形.4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p，失败概率为q=1-p（0p3,即13.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间
5、隔的起点无关（时间以小时计）。（1） 求某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率；（2） 求某一天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼叫的概率。解：(1)设某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率为P，时间间隔长度t=3，依题意有(2)依题意，即X1，时间间隔长度t=5，则14.某人家中在时间间隔t（小时）内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布。（1）若他在外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？解：(1) 设其间有电话铃响一次的概率为P，t=1/6，依题意有(2) 外出时没有电话的
6、概率至少为0.5,即为 （小时） 即外出时间不得超出20.79分钟.15.保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利用泊松定理计算）。解：设投保人在一年内死亡人数为X,则Xb（5000,0.0015），若公司赔付不超过30万元，则死亡人数不该超过=10个人，PX10=根据泊松定理，=np=50000.0015=7.5PX10.16.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段
7、时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该时间段内有1000辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X，则Xb（1000,0.0001），所求为PX2=1-PX=0-PX=1.其中，根据泊松定理，=np=1000PX=k=.所以，PX2=1-PX=0-PX=11-17.（1）设X服从（0-1）分布，其分布律为PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求X的分布函数，并作出其图形。（2）求第2题（1）中的随机变量的分布函数。解：（1） X服从（0-1）分布，即，当X=0，；当X=1，当x0,F(x)= 0;当0x1,F(x
8、)=1-p;当x1,F(x)=(1-p)+p=1.X的分布函数为，（2）第2题(1)中，X的分布律为 所以，当X X 4 5所以，X的分布函数为F(x)=18.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在0，a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。解：当x0,P(x)=0;当0xa,P(x)=kx,（其中k表示概率与区间长度的比例关系）由于题中说明，在区间0,1上任意投掷质点，所以，质点落在区间内是必然事件，所以P(0xa)=ka=1,所以k=所以X的分布函数为F(x)=19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分
9、计），X的分布函数是（x）=求下列概率：（1）P至多3分钟.（2）P至少4分钟.（3）P3分钟至4分钟之间.（4）P至多3分钟或至少4分钟.（5）P恰好2.5分钟.解：（1）P至多3分钟=PX3=（3）=1- =1- （2）P至少4分钟=PX4=1-PX4=1-（4）= （3）P3分钟至4分钟之间=P3X4=（4）-（3）=（1-）-（1-）=- （4）P至多3分钟或至少4分钟=PX3UX4=PX3+PX4=（1-）+=1+- （5）P恰好2.5分钟=PX=2.5=020.设随机变量X的分布函数为（x）=（1）求PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度（x）.解：（1）根据连续型随机变
10、量的分布函数的定义和性质可得PX2=（2）=ln2P0X3=（3）-（0）=1-0=1P2X2.5=（2.5）-（2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根据概率密度的定义可得 （x）=21.设随机变量X的概率密度为（1）f（x）=（2）f（x）=求X的分布函数F（x），并画出（2）中f（x）及F（x）的图形.解：（1）F（x）=P（Xx）= 当x1时，F（x）=0 当1x2时，F（x）=+ =2（x+ -2） 当2x时，F（x）=+ =1 故分布函数为F（x）=（2）F（x）=P（Xx）= 当x0时，F（x）=0当0x1时，F（x）=+ =当1x2时，F（x）=+=2x- -1当2x时
11、，F（x）=+ =1故分布函数为F（x）=F（x）和F（x）的图形如下22.（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为：f（x）=其中b=m/(2kT)，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。 （2）研究了英格兰在1875年1951年期间，在矿山发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故之间的时间T（日）服从指数分布，其概率密度为 （t）=求分布函数F(t)，并且求概率P（50T100）.（1） 解：由题意可知,可得 =-A不妨令则原式可写为由此可得A=（2） 解：当t0时，故所求的分布函数为 （t）= 而P50T100
12、= （100）- （50）=23.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度f(x)=现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为 P=任取5只这种器件，其中寿命大于1500小时的只数记为X，则Xb(5，).故所求概率为PX2=1-PX=0-PX=1 =24.设顾客在某银行的窗口等待服务时间X(min)服从指数分布，其概率密度为(x)=某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P(Y
13、1).解：顾客在窗口等待服务超过10min的概率为 P=故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为，从而Yb(5,)那么，Y的分布律为PY=k=， k=0,1,2,3,4,5. PY1=1-PY=0=1-=0.516725、设K在（0,5）服从均匀分布，求x的方程4+4Kx+K+2=0有实根的概率。解：4+4Kx+K+2=0有实根即 4解得 K 或 K由题知K在（0,5）服从均匀分布即 设 方程4+4Kx+K+2=0有实根为事件AP(A)=26、设X(1)求，(2)确定c使得(3)设d满足解：(1) = (2)即即(3)即即即则d至多为0.4227、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mmH
14、g计）服从N(110，)分布，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，求(1)(2)确定最小的，使解：(1) (2)即即即则x最小为129.8，使得28.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05,=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。解：设螺栓的长度为X。29.一工厂生产的某种元件的寿命（h）X服从参数为的正态分布，若要求P，允许最大为多少？解：由正态分布图形得，当根据标准正态分布表查得，30.设在一电路中，电阻两段的电压（V）服从今独立测量了5次，试确定2次测定值落在区间118,122之外的概率。解：设第i次测定值为Xi， i=
15、1,2,3,4,5，则Xi-N（120,22）P118Xi122=（）-（） =（1）-（-1） =2（1）-1 =0.6826PXi【118,122】=1-P118X122 =0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi之间相互独立若以Y表示5次测量其测定值Xi落在【118,122】之外的个数 Yb（5,0.3174）所求概率 PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3 =0.320431某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。等待时间在区间0，30（以秒计）服从均匀分布。以X表示他的等待时间，求X的分布函数F（x
16、）。画出F（x）的图形，并问X是否为连续性随机变量，是否为离散型的？（要说明理由）解 当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为0，若是亮红灯则等待时间X服从均匀分布。记“指示灯亮绿灯”为事件A。则对于固定的x0，全概率公式有当0x30时，当x30时，于是得到X的分布函数为F（x）的图像如图所示因F(x)在x=0处有不连续点，故随机变量X不是连续型，又因不存在一个可列的点集，使得在这个点集上X取值的概率为1，所以随机变量也不是离散型的，X是混合型随机变量。32 设f（x），g(x)都是概率密度函数，求证h（x）=f（x）（1）g（x），01也是一个概率函数。解 因为f（x），g(x)都是概
17、率密度函数，故有f（x）0，g(x)0 且因01，故10，所以有f（x）0 ， （1）g（x）0，于是h（x）0.又所以h（x）是一个概率分布函数。33.设随机变量X的分布律为X-2-1013求Y=X的分布律。解 Y=X的所有取值为0，1, 4, 9.所以Y的分配率为Y014934. 设随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布。（1） 求的概率密度。（2） 求的概率密度。解：（1）由X服从均匀分布可知 由可得 故 （2） 由X服从均匀分布可知 由可得故35. 设XN(0，1)。 （1）求的概率密度。 （2）求的概率密度. （3）求的概率密度. 解：由XN(0，1)可知 （1） 由可得 （2） 当
18、时，=0，=0 当时， 综上 （3） 综上36、 （1）设随机变量X的概率密度为。（2）设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。解：（1）（2） 综上37、设随机变量X的概率密度为f(x)= ， 0x 0， 其他 求Y=sinX 的概率密度解：X在（0，）取值 Y=sinX在（0,1）取值 当y0或y1时，f（y）=0 当0y1时，Y的分布函数为 F(y)=PYy=P0Yy=P0sinXy =P（0Xarcsiny）（-arcsinyX） =P0Xarcsiny+P-arcsinyX = dx+dx = （arcsiny）+1-（-arcsiny） = arcsiny 当0y1时，f（y）=F
19、（y）= 所求概率密度为： ， 0y1 f（y）= 0 ， 其他38、设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A11A之间。若此电流通过2的电阻，在其上消耗的功率W=2I。求W的概率密度。解：电流I的概率密度为f（i）= ，9i11， 0 ，其他 W=2I 即w=g（i）=2i 在i0时，g（i）严格单调增加 且反函数h(w)=- g(9)=162 g(11)=242 由书中定理（5.2），可知W=2I的概率密度为 f（w）= （-） ， 162w242 0 ， 其他 即 f（w）= 162w242 0 ， 其他39、设物体的温度T（F）是随机变量，且有TN（98.6,2），已知Y=（T-32），试求Y（C）的概率密度。解：T的概率密度为f（t）=e- ，-t 将Y的分布函数记为F（y），则 F（y）=PYy=P（T-32）y PT = 关于y求导得关于Y的概率密度 f（Y）=f（） =e-（ f（Y）=e-