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1、韦达定理及其综合应用,韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2),题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= _ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000 x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（
2、1+2005b+b2) = _,考考你！,解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a5b=30ab,解法二：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a5b=30ab,ab=1， a+b=-200 （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b
3、+b2) =a(b +2006+a) b( a +2005+b) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab,解法三：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a5b=30ab,题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。,考考你！,题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0,（1）请
4、为m选取一个你喜爱的数值，使方程 有两个不相等的实数根。,（2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程 求：（x1-2）（x2 2） （x1- x2) 2,（3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m,（4）若已知x12+ x22=10，求此时m的值。,（5）问：是否存在符合条件的m，使得x12+ x22=4？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。,考考你！,题4：已知是方程x2x70的两个实数根。求34的值。,解法1 、是方程x2x70的两实数根 270 270 且2 7272 34723（72）4282（）282（2）32,解法2 由求根公式得12 12 34 （12
5、 ）23(12 )4(12 ) 943(9448)32,解法3 由已知得：2 7 （）218 令34A 34B AB4（）4（）4184（2）64 AB2()4()2() ()4()0 得：2A64 A32,题5：已知x1、x2是方程x2x90的两个实数根，求代数式。x137x223x266的值。,解：x1、x2是方程x2x90的两根 x1x21 且x12x190 x22x290 即 x12x19 x22x29 x137x223x266 x1(x19)7(x29)3x266 x129x110 x23 x199x110 x23 10(x1x2)616,题6：已知aa210，bb210，ab，求a
6、bab的值,分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解,解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b 由韦达定理，得ab1，ab1 故abab2,题7：若实数x、y、z满足x6y，z2xy9 求证xy,证明：将已知二式变形为xy6，xyz29 由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数，364z2360 则z20，又z为实数， z20，即0 于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy,由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理 可得。,题9：已知方程x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程,解：设x2pxq0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a2aP， a2aq， P24q1 把、代入，得(3a)242a21，即9a28a21，于是a=1, 方程为x23x20或x23x20 解得x11，x22，或x11，x22,