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1、22.2.4 一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式:,X=,(b2-4ac 0),1. 填表,观察、猜想,问题:你发现什么规律? 用语言叙述你发现的规律; x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,问题:上面发现的结论在这里成立吗?请完善规律; 用语言叙述发现的规律; ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规 律:,一元二次方程的根与系数的关系:,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2=
2、, X1x2=,-,(韦达定理),注:能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,韦达(15401603),韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,一元二
3、次方程根与系数关系的证明:,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,1、 x2 - 2x - 1=0,2、 2x2 - 3x + =0,3、 2x2 - 6x =0,4、 3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,示例,典型题讲解:,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求:,(1) (2) x12+x22,解:,由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3,(1),=,=,=,(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2,x12+x22 (x1x2)2 -
4、2x1x2,(- )2,-2(-3)6,变式 练习:设x1,x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值。,(2),(1),()(x1- x2)2,典型题讲解:,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解:,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程,得 k= - 2,由根与系数关系,得x123k,即 2 x1 6, x1 3,答:方程的另一个根是3 , k的值是2。,典型题讲解:,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解二:,
5、设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系,得,x1 2= k+1,x1 2= 3k,解这方程组,得,x1 =3,k =2,答:方程的另一个根是3 , k的值是2。,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值。,解:设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16,解:,由根与系数的关系,得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,拓广探索,1、当k
6、为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解:设方程两根分别为x1,x2(x1x2),则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时,由于0,k的值为9或-3。,2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4,求k的值。,拓广探索,解:由方程有两个实数根,得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4,得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验, k2=4不合题意,舍去。, k=0,归纳小结:,通过本节课的学习你学到了那些知识?,一元二次方程根与系数的关系(韦达定理):,两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项于二次项系数的比。,作业:,课本P43 习题22.2 第7题。,再见,