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1、一元二次方程根与系数的关系难题(精品) Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date韦达定理的应用：韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的
2、两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x x1 1，x x2 2 ，求作一个新的一元二次 方程x x2 2 (x(x1 1+x+x2 2) x+ x) x+ x1 1x x2 2 =0=06.利用求根公式在实数范围内分解因式axax2 2+bx+c+bx+c = = a(x- xa(x- x1 1)(x- x)(x- x2 2) ) 题题1 1：（1）若关于）若关于x的一元二次方程的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的的一根是另一根的4倍，则倍，则k= _（2 2）已知：）已知：a,ba,b是
3、一元二次方程是一元二次方程x x2 2+2000 x+1=0+2000 x+1=0的两个根，求：（的两个根，求：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) )= _ 解法一解法一：（：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = （1+2000a+a1+2000a+a2 2 +6a)+6a)（1+2000b+b1+2000b+b2 2 +5b)+5b) = 6a5b=30ab = 6a5b=30ab解法二解法二：由题意知：由题意知 a a2 2 +2000a+1=0+2000a+1
4、=0； b b2 2 +2000b+1=0+2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b+1=- 2000a; b2 2 +1=- 2000b+1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b - 2000b) = =6a5b=30ab6a5b=30ab ab=1ab=1， a+b=-200 a+b=-200 （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2
5、2) ) = = （ abab +2006a+a+2006a+a2 2) )（ abab +2005b+b+2005b+b2 2) ) =a(b =a(b +2006+a) b(+2006+a) b( a a +2005+b)+2005+b) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab解法三解法三：由题意知由题意知 a a2 2 +2000a+1=0+2000a+1=0； b b2 2 +2000b+1=0+2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b+1=- 2000a; b2 2 +1=
6、- 2000b+1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b - 2000b) = =6a5b=30ab6a5b=30ab题题2 2：已知已知:等腰三角形的两条边等腰三角形的两条边a,b是方程是方程x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根的两个实数根,另另一条边一条边c=1，求求:k的值。的值。题题3 3：已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+3x+1-m=0+3x+1-m=0（1
7、1）请为）请为m m选取一个你喜爱的数值，使方程选取一个你喜爱的数值，使方程 有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。（2）设）设x1 1,x2 2是（是（1）中方程的两个根，不解）中方程的两个根，不解方程方程 求：求：（x1 1-2）（）（x2 2 2） （x1 1- x2 2) 2 2（3）请用（）请用（1）中所）中所选取的选取的m m值，值，因式分解：因式分解：x2 2+3x+1-m（4）若已知）若已知x1 12 2+ x2 22 2=10，求此时，求此时m的值。的值。（5）问：是否存在符合条件的）问：是否存在符合条件的m，使得，使得x1 12 2+ x2 22 2=4？若存在，求出
8、若存在，求出m，若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。题题4 4：已知已知是方程是方程x2x70的两个实数根。求的两个实数根。求34的值。的值。 解法解法1 、是方程是方程x2x70的两实数根的两实数根270 270 且且2727234723（72）4282（）282（2）32解法2 由求根公式得12 1234 （12 ）23(12 )4(12 ) 943(9448)3222222解法3 由已知得：2 7（）218 令34A 34BAB4（）4（）4184（2）64 AB2()4()2() ()4()0 得：2A64 A32题题5 5：已知已知x1、x2是方程是方程x2x90的两个实数根
9、，求代数式。的两个实数根，求代数式。x137x223x266的值。的值。解：x1、x2是方程x2x90的两根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266x129x110 x23x199x110 x2310(x1x2)616题题6 6：已知已知aa210，bb210，ab，求，求abab的值的值 分析分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解解解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b由韦达定理，得ab
10、1，ab1故abab2题题7 7：若实数若实数x、y、z满足满足x6y，z2xy9 求证求证xy证明证明：将已知二式变形为xy6，xyz29由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数，364z2360则z20，又z为实数，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理 可得。题题9 9：已知方程已知方程x2pxq0的二根之比为的二根之比为1 2，方程，方程的判别式的值为的判别式的值为1求求p与与q之值，解此方程之值，解此方程 解解：设x2pxq0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a2aP， a2aq， P24q1 把、代入，得(3a)242a21，即9a28a21，于是a=1 方程为x23x20或x23x20解得x11，x22，或x11，x22