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1、-利用角平分线构造全等三角形-第 4 页善于构造 活用性质安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点 已知：如图，ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在ACB的平分线上 证明：
2、过点I作IHAB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G、F 点I在BAC的角平分线AD上，且IHAB、IGAC IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代换） 又IGAC、IFBC 点I在ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点【例2】已知：如图，PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P，PDBM于D，PFBN于F求证：BP为MBN的平分线 【分析】要证BP为MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，故可过P作PEAC于E根据角平分线性质定理有PD=
3、PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证 【证明】过P作PEAC于E PA、PC分别为MAC与NCA的平分线且PDBM，PFBN PD=PE，PF=PE,PD=PF 又PDBM，PFBN,点P在MBN的平分线上， 即BP是MBN的平分线2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题例3ABC中，C=90，AC=BC，DA平分CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E使BDE的周长等于AB的长请说明理由 解：过D作DEAB，交AB于E点，则E点即可满足要求 因为C=90，AC=BC， 又DEAB，D
4、E=EB AD平分CAB且CDAC、EDAB， CD=DE 由“HL”可证RtACDRtAED AC=AE LBDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB例4如图，B=C=90，M是BC上一点，且DM平分ADC，AM平分DAB求证：AD=CD+AB 证明：过M作MEAD，交AD于E DM平分ADC，C=90 MC=ME 根据“HL”可以证得RtMCDRtMED，CD=ED 同理可得AB=AECD+AB=ED+AE=AD 即AD=CD+AB3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例5.如图，已
5、知ABC中BAC=90，AB=AC，CD垂直于ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD 分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（BCDBFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 证明：延长BA、CD交于点F BDCF（已知） BDC=BDF=90 BD平分ABC（已知） 1=2 在BCD和BFD中 BCDBFD（ASA） CD=FD， 即CF=2CD 5=4=90，BDF=90 3+F=90，1+F=90。1=3。 在ABE和ACF中 ABEACF（ASA）
6、BE=CF， BE=2CD。例6.如图，已知ACBD、EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等（割） 2把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等（补） 证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF在ACE和AFE中 ACEAFE（SAS）,又,6=D在EFB和BDE中 EFBEDB（AAS） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F F=3 在AEF和AEB中 AEFAEB（AAS）, AB=AF，BE=FE 在BED和FEC中 BEDFEC（ASA） BD=FC, AB=AF=AC+CF=AC+BD