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1、3.4基本不等式： 第1课时基本不等式,【知识提炼】 重要不等式与基本不等式,a=b,几何平均数,算术平均数,2ab,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？ 提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立. (2) 与 是等价的吗？ 提示：不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR.,2.下列不等式正确的是(),【解析】选C.因为a2+ 中a20， 所以 即 所以a2+ 2，故选C.,3.下列不等式中，对任意实数x都成立的是() A.lg(x2+1)lgxB.x2+12x C. 1D.logax+logxa2 【解析】选C.A中，x0时不成立；在B中，x=
2、1时不成立；对于D，当logax0时，logax+logxa无最小值，不正确；故选C.,4.若不等式 2恒成立，则当且仅当x=_时取“=”号. 【解析】 当且仅当 即x2+1=1，x=0时取“=”. 答案：0,5.有下列不等式(a0，b0)：a2+12a； 2； ab ； 其中正确的有_. 【解析】a2+1=a2+122a，故错；由 2，可得 a+b2 ，显然错误；ab 2aba2+b2， 正确； 2aba2+b2，正确. 答案：,【知识探究】 知识点 基本不等式 观察如图所示的内容，回答下列问题：,问题1：基本不等式中对于a，b有何限定条件？ 问题2：如何用几何法推导出基本不等式？,【总结提
3、升】对基本不等式的理解 (1)对于条件的理解 a，b必须为正数. 当a=b且只有在这唯一的条件下等号才成立.,(2)几何解释 以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a， CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD，则CD= . 如图所示：,因为圆的半径为 ，所以 ，其中当且仅当 点C与圆心重合，即a=b时，等号成立，则该定理又可 以叙述为：半径不小于半弦.,【题型探究】 类型一 对基本不等式的理解及其简单应用 【典例】1.下列不等式a2+12a；a2+44a； 2； ab.其中恒成立的是() A.B.C.D.,2.(2015营口高二检测)已知a0，b0，则下列不等式不一定成立的
4、是(),【解题探究】1.典例1中如何判断是否成立？ 提示：当a，b异号时，式子 恒大于零，而ab0， 故 ab错误. 2.典例2中解决此类问题可以采取何种方法？ 提示：除了利用基本不等式外，还可以利用特值法验 证处理.,【解析】1.选C.因为a2+1-2a=(a-1)20，故a2+12a错 误.由于a2-4a+4=(a-2)20，所以a2+44a恒成立； 同号，所以 2恒成立.当a，b异号时， 式子 恒大于零，而ab0，故 ab错误.,2.选D.对于A， 当且仅当 即a=b= 时取等号， 因此A成立；对于B，(a+b) 当且仅当a=b时取等号，因此B成立；对于C， 当且仅当a=b时取等号， 因
5、此C成立；对于D，取a= ，b=1，验证知D不成立,【方法技巧】应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.,【变式训练】(2015鞍山高二检测)下列各结论中正确的是() A.当a，bR时， B.当a1，b1时，lga+lgb C.当a4时， D.当ab0时，,【解析】选B.a1，b1时，lga，lgb均为正数，所以 lga+lgb 成立.,类型二 利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明 【典例】1.(2015四平高二检测)已知a0，
6、b0，则 中最小的是(),2.(2015徐州高二检测)设a，b，c都是正数，求证：,【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小？ 提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大小.,2.典例2中如何利用基本不等式将 变形？ 提示：因为a，b，c都是正数，所以 也都是正 数.所以,【解析】1.选D.方法一：特殊值法. 令a=4，b=2，则 所以 最小. 方法二： 由 可知 最小.,2.因为a，b，c都是正数，所以 也都是正数. 所以 三式相加得 即 ，当且仅当a=b=c时取等号.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2改为“a，b，c都是负数， 求证：,【证明】因为a，b，c都是负数，
7、所以 也都是负 数.所以 三式相加得2( )-2(a+b+c)， 即 ， 当且仅当a=b=c时取等号.,2.(改变问法)若典例2的条件不变，如何证明,【解析】因为a，b，c都是正数，所以 因此 即 当且仅当a=b=c时取等号.,【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.,(2)注意事项： 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； 对不能直接使用基本不等式的证明可
8、重新组合，形成基本不等式模型，再使用.,【补偿训练】已知正数0a1，0b1且ab，则a+b， ，2ab，a2+b2，其中最大的一个是() A.a2+b2B. C.2abD.a+b,【解析】选D.因为0 ，a2+b22ab， 所以，最大的只能是a2+b2与a+b之一. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)， 又0a1，0b1，所以a-10，b-10， 因此a2+b2a+b，所以a+b最大.,易错案例 利用基本不等式比较大小 【典例】(2015潍坊高二检测)给出下列结论： (1)若a0，则a2+1a. (2)若a0，b0，则 (3)若a0，b0，则(a+b) 4. (4)若aR且a
9、0，则 +a6. 其中恒成立的是_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是对基本不等式的适用条件没有理解透彻，在使用时前提是为正数.,【自我矫正】因为 所以a2+1a，故(1)恒成立. 因为a0，所以a+ 2，因为b0，所以b+ 2， 所以当a0，b0时， ，故(2)恒成立. 因为(a+b) =2+ ，又因为a，b(0，+)，,所以 2， 所以(a+b) 4，故(3)恒成立. 因为aR且a0，不符合基本不等式的条件， 故 +a6是错误的. 答案：(1)(2)(3),【防范措施】 1.把握基本不等式适用的条件 基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致错选.,2.对基本不等式的适用条件要理解透彻 有些不等式尽管表面上看不符合基本不等式的适用条件，但经过变形后可以使用基本不等式，如(4)可分为当a0和当a0两种情况.,