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1、3.4 基本不等式：,第1课时 基本不等式,国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民 热情好客,1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点） 2.基本不等式的简单应用.,1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,探究点1 探究基本不等式,则正方形ABCD
2、的面积 是_， 这4个直角三角形的面积之和是_，,设AE=a,BE=b,a2+b2,2ab,提示:,当且仅当a=b时，等号成立，,提示:,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立.,3.你能给出它的证明吗？,【提升总结】,4.你能用不等式的性质直接推导吗？,通常我们把上式写作,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,基本不等式：,注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.,【提升总结】,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则
3、CD=, 半径为.,CD小于或等于圆的半径.,用不等式表示为,上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.,几何意义：半径不小于半弦.,可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.,叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.,基本不等式,和定积最大,【即时练习】,例 已知 a0,b0,a+b=1, 求证：,分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？,探究点2 利用基本不等式证明简单的不等式,当且仅当 时取等号.,【变式练习】,由公式 可以引申出的
4、常用结论：,【提升总结】,和定积最大,等号取不到,B,3.若ab0,则下列不等式中总成立的是( ),C,C,证明：因为a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2， 所以2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即a4b4c4a2b2b2c2c2a2， 又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2， c2a2a2b22a2bc， 所以2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)， 即a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc) 所以a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc),5.求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc),1.两个不等式,不等式,内容,等号成立条件,重要不等式,基本不等式,“a=b”时取“=”,“a=b”时取“=”,