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1、3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 第1课时二元一次不等式表示的平面区域,【知识提炼】 1.二元一次不等式 (1)定义：含有_个未知数，且未知数的次数是_的不等式.,两,1,(2)解集：满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序 数对(x，y)，所有这样的有序数对_构成的集合 称为二元一次不等式的解集.它的几何意义是：可以看 成直角坐标系内的点构成的集合.,(x，y),2.二元一次不等式表示的平面区域,Ax+By+C=0,虚线,不包括,Ax+By+C=0,实线,包括,Ax0+By0+C,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)不等式2x-3y0
2、是二元一次不等式吗？ 提示：是，符合二元一次不等式的两个特征.,(2)平面区域的边界实线与虚线有何区别？ 提示：边界为实线时表示包括边界，对应的不等式含有等号；边界为虚线时表示不包括边界，对应的不等式不含等号.,2.下列给出的各式中，是二元一次不等式的是() (1)2xy.(2)2x3.(3)2x2-yx2. A.(1) B.(3)(4) C.(1)(5) D.(2)(6) 【解析】选C.(1)(5)符合二元一次不等式的两个特征，(2)中只含有一个未知数，(3)(6)中的最高次数为二次，(4)是一个等式.,3.原点与点(-1，10)在直线x+y-1=0的_(填“同侧”或“两侧”). 【解析】由
3、0+0-10知原点与点(-1，10)在直线x+y-1=0的两侧. 答案：两侧,4.已知点A(2，1)，B(1，0)，C(-1，0)，则在不等式x-2y0表示的平面区域内的点是_. 【解析】分别将点A(2，1)，B(1，0)，C(-1，0)，代入x-2y0中，只有点C(-1，0)的坐标适合，故点C在x-2y0所表示的平面区域内. 答案：C,5.若点M(1，m)在不等式x-3y- . 答案：m-,【知识探究】 知识点1 二元一次不等式 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：二元一次不等式概念中包含几个限制条件？ 问题2：二元一次不等式的解集与平面内的点有关系吗？,【总结提升】 1.对二元一次不
4、等式概念的说明 把握二元一次不等式的概念应从两个方面：一方面是“元”，即有两个未知数；另一方面是次数，即未知数的次数是一次.,2.对二元一次不等式解集的说明 二元一次不等式的解集是指满足此二元一次不等式的变量x和y的取值所构成的有序数对(x，y)的集合.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合.,知识点2 二元一次不等式表示的平面区域 观察图形，回答下列问题：,问题1：平面内所有的点与已知直线有何关系？ 问题2：Ax+By+C0表示的平面区域与A，B有何关系？,【总结提升】 1.平面内直线对平面区域的划分 在平面直角坐标系中，平面内所有
5、点被直线Ax+By+C=0分为三类： (1)在直线Ax+By+C=0上. (2)在直线Ax+By+C=0的上方的区域内. (3)在直线Ax+By+C=0的下方的区域内.,2.Ax+By+C0(A0)表示的平面区域，此处不妨设C0,【题型探究】 类型一 二元一次不等式表示平面区域 【典例】1.(2015武汉高二检测)已知点P1(0，1)，P2(-1，0)，P3(2，3)，则在x-2y+30表示的平面区域内的点是_.,2.由不等式3x+2y+60表示的平面区域(阴影部分)是_.,3.画出不等式2x+y-40表示的平面区域.,【解题探究】1.典例1中怎样检验点在给出的平面区域内？ 提示：可将点的坐标
6、代入不等式中，验证是否成立即可.,2.典例2中常用哪些点来判断不等式表示的平面区域？ 提示：常利用原点. 3.典例3中一般分哪几步作出不等式所表示的平面区域？ 提示：(1)作边界.(2)用特殊点定区域.(3)用阴影表示，注意边界实虚.,【解析】1.分别将点P1(0，1)，P2(-1，0)，P3(2，3) 的坐标代入不等式x-2y+30中，点P1(0，1)，P2(-1，0) 的坐标使不等式成立，故点P3不在此平面区域内，点P1， P2在此平面区域内. 答案：P1与P2,2.取原点O(0，0)，因为原点坐标满足3x+2y+60，所以不等式对应的区域应该是直线3x+2y+6=0位于包含原点一侧的部分
7、(含边界)，故正确. 答案：,3.先画直线2x+y-4=0(画成虚线).取原点(0，0)代入2x+y-4得20+0-4=-40表示的平面区域内，不等式2x+y-40表示的区域如图中的阴影部分.,【延伸探究】将典例3中的不等式中的“”改为“”，又怎样画平面区域呢？ 【解析】不等式2x+y-40表示的平面区域如图中的阴影部分：,【方法技巧】确定二元一次不等式表示平面区域的方法 (1)直线定界.即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线.,(2)特殊点定域.即在直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包
8、括该点的这一侧区域，否则就表示直线的另一侧区域.特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C=0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点.,【变式训练】画出2x+5y10表示的平面区域. 【解析】先作出边界2x+5y=10(画成实线)，取原点(0，0)，代入2x+5y-10.因为20+50-100，所以原点(0，0)不在2x+5y-100表示的平面区域内，不等式2x+5y10表示的平面区域如图中的阴影部分.,类型二 已知平面区域写出二元一次不等式 【典例】1.(2015昆明高二检测)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_.,2.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.,【解
9、题探究】1.典例1中区域边界的直线方程是什么？ 提示：由截距式可得直线方程为 即y=- x+1. 2.典例2(1)中阴影部分的两边界的直线方程应如何表示？ 提示：x=-2和x=2.,【解析】1.由截距式可得直线方程为 即y=- x+1.因为0- 0+1，且原点在阴影部分中，故阴影部分可 用不等式y- x+1，即x+2y-20表示. 答案：x+2y-20,2.(1)平面区域的边界线为虚线，方程为x=-2和x=2，所以平面区域满足的不等式是-20， 所以平面区域满足的不等式是2x+y0.,(3)平面区域的边界线为实线，方程为 即x-y-2=0. 因为原点(0，0)在平面区域中且满足不等式x-y-2
10、0， 所以平面区域满足的不等式是x-y-20.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例1中所示的平面区域(阴影部分)改为如图所示，试将所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示.,【解析】由截距式可得直线方程为 即y=- x+1. 因为0- 0+1，原点不在阴影部分中，且边界是实线， 故阴影部分可用不等式y- x+1，即x+2y-20表示.,2.(改变问法)若将典例1图中的阴影部分改为如图所示，则用不等式又如何表示呢？,【解析】由截距式可得直线方程为 =1，即2x+y-2 =0，因为20+0-20且原点在阴影部分中，由于边界 是虚线，故阴影部分可用不等式2x+y-20表示.,【方法技巧】用不等式表
11、示平面区域的步骤 (1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程. (2)将平面区域内的特殊点代入直线方程，判断不等号的方向. (3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.,【补偿训练】如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来为_.,【解析】将原点(0，0)代入得0+40-4=-40，平面区域(阴影部分)不包含边界，故用不等式表示为x+4y-40. 答案：x+4y-40,【延伸探究】 1.(改变问法)将本题中的阴影部分变为如图所示，则该阴影部分用不等式表示为_.,【解析】将原点(0，0)代入得0+40-4=-40，而原点不在阴影部分中，平面区域(阴影部分)包含边界，故用不等式表示为x
12、+4y-40. 答案：x+4y-40,2.(变换条件)若将本题中的平面区域(阴影部分)中的已知条件“x+4y-4=0”去掉，改为如图所示的阴影部分，则该阴影部分用不等式表示为_.,【解析】由截距式可得直线方程为 =1，即x+3y- 3=0，由于0+30-30，且原点在平面区域内，边界为 实线，故如题图所示的平面区域用不等式表示为x+3y- 30. 答案：x+3y-30,类型三 含参数的二元一次不等式问题 【典例】1.(2015株洲高二检测)若点(-1，-2)和(0，3) 在直线x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围为_. 2.(2015青岛高二检测)若点M(a2，a)不在不等式x+2y -30
13、所表示的平面区域内，则a的取值范围为_.,【解题探究】1.典例1中由两点在直线的两侧会得到怎样的不等关系？ 提示：将点(-1，-2)和(0，3)的坐标代入x-2y+a中，所得符号不同.,2.典例2中的点M(a2，a)不在不等式x+2y-30所表示的平面区域内的含义是什么？ 提示：将点M(a2，a)的坐标代入x+2y-3中，可得a2+2a-30.,【解析】1.由于点(-1，-2)和(0，3)在直线x-2y+a=0 的两侧，所以(-1+4+a)(0-23+a)0，即(a+3)(a-6) 0，解得-3a6. 答案：-3a6,2.由于点M(a2，a)不在不等式x+2y-30所表示的平面区域内，即将点M
14、(a2，a)的坐标代入x+2y-3中，可得a2+2a-30，解得-3a1. 答案：-3a1,【延伸探究】若将典例1中的“两侧”改为“同侧”， 又如何求解？ 【解析】由于点(-1，-2)和(0，3)在直线x-2y+a=0的 同侧，所以(-1+4+a)(0-23+a)0，即(a+3)(a-6)0， 解得a6. 答案：a6,【方法技巧】平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)与直线Ax+By+C=0位置关系(不在直线上)的判断方法 (1)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax+By+C=0同侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0. (2)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直
15、线Ax+By+C=0异侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,【变式训练】已知直线l：ax+by+c=0(a，b不同时为0， c0，因为c0，所以 ax0+by0+c0，故点P到直线l的距离,【补偿训练】若点M(a，a2-1)不在不等式2x-y+20表示的平面区域内，则a的取值范围是_. 【解析】由“点M(a，a2-1)不在不等式2x-y+20表示的平面区域内”，说明x=a，y=a2-1不是不等式2x-y+20的解，即2a-(a2-1)+20.解得-1a3. 答案：-1a3,易错案例 确定不等式表示的平面区域 【典例】(2015上饶高二检测)不等式x+3y12表示的平面区域是( )
16、,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视了特殊点定侧时，选项B，C都符合此要求，应进一步确定出具体的范围，由于直线上的点也符合，忽略了边界的实虚线的差别.,【自我矫正】选B.将点(0，0)代入，满足不等式，表明原点在不等式x+3y12表示的平面区域内，排除选项A和D.又直线x+3y-12=0上的点也符合条件，即边界为实线.,【防范措施】 1.重视边界直线的虚实 当不等号是“”或“”，则边界直线要画成实线；当不等号是“”或“”，则边界直线要画成虚线.如本例不等号为“”，边界直线应画成实线.,2.巧用特殊点定侧 判断不等式表示的平面区域在直线的哪一侧，通常将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定.例如本例中(0，0)代入不等式成立，说明原点所在的一侧为所求.,