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1、第2课时 基本不等式的应用,1.掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题.,1.基本不等式与最值 设x，y为正实数. (1)若x+y=s(定值)，则当_时，xy有最大值_. (2)若xy=p(定值)，则当_时，x+y有最小值_.,2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)x，y必须是_. (2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为_；求和x+y的最 小值时，应看积xy是否为_.,正数,定值,定值,1.已知x-2，则函数y= 的最大值为( ) 【解析】选C.因为x-2，所以x+20， 故选C.,2.若 是2a与2b的等比中项，则ab的最
2、大值为_. 【解析】由已知条件知2a2b=8得a+b=3，所以 当且仅当a=b= 时取等号. 答案：,3.把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大 面积是m2. 【解析】设一边长为xm，则另一边长可表示为(8-x)m，则面积 S=x(8-x) =16，当且仅当x=4时取等号，故当矩形 的长与宽相等，都为4m时面积取到最大值16m2. 答案：16,利用基本不等式求函数最值 探究1：根据基本不等式“ (x0，y0)，当且仅当x=y时，等号成立”，思考下列问题： (1)若x+y=xy，如何求x+y和xy的范围？,提示：因为 所以xy 又x+y=xy，所以 x+y 整理得 (x+y)2(
3、x+y)0，从而可求得x+y的 范围.因为xy x+y=xy，所以xy 整理得(xy)2 4xy0，可求得xy的范围.,(2)常用的构造定值条件的变换方法有哪些？ 提示：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式.,探究2：利用基本不等式解决实际问题中的最值，应注意哪些问题？ 提示：解实际问题要注意以下几点： 设变量时一般要把求最大或最小值的变量定义为函数； 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.,【探究总结】利用基本不等式求函数最值的三个条件 (1)正：函数的解析式中，各项均
4、为正数. (2)定：函数解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值. (3)相等：函数的解析式中，含变量的各项均相等，取得最值时必须验证等号是否成立. 简记为：一正二定三相等.,【拓展延伸】求条件最值的方法 求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时：通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键；必须指出等号成立的条件.,类型一利用基本不等式求最值 1.(2014临沂高二检测)若x1，则 有() A.最小值1B.最大值1 C.最小值-1D.最大值-1,2.(2014孝感高一检测)若正数x，y满足 则3x+4y的 最小值是( ) 3.已知 求函
5、数 的最大值.,【解题指南】1.对函数 作适当的调整和转化，使 其满足能够利用基本不等式的条件. 2.由 转化为 然后与3x+4y相乘，利用基本 不等式求解. 3.将 转化为其中两部分的积等于常数求解.,【自主解答】1.选D.因为x1，所以x-10， 所以 故选D.,2.选C.由已知得 所以 (x=2y时等号成立). 3.因为 所以4x-50. 所以y-2+4=2， 当且仅当 即x=1或x= (舍)时，等号成立， 故当x=1时，ymax=2.,【延伸探究】若把题1中的条件“x1”.其他不变，则结论如何？ 【解析】选A.因为x1，所以x-10，所以 故选A.,【规律总结】利用基本不等式求最值的方
6、法及技巧 (1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解. (2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满足上述三个条件方可利用基本不等式. (3)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用不等式.,类型二利用基本不等式求参数与代数式的范围 1.(2014晋江高一检测)当x-1时，不等式x+ -1a恒成 立，则实数a的最大值是. 2.已知x0，y0，且 =1，求x+y的最小值.,【解题指南】1.只需x+ -1的最小值大于等于a即可.故转化 为求x+ -1的最小值. 2.要求x+y的最小值，根据基本不等式应构建两个数(式)的积 为定值，因而需要对条件
7、进行变形，可利用“1”的代换，亦 可利用已知条件消元.,【自主解答】1.当x-1时，不等式x+ -1a恒成立，因此 只需h(x)=x+ -1的最小值大于等于a成立即可；x+ -1 =(x+1)+ -2 -2=0，所以h(x)min=0，所以a0. 答案：0,2.方法一：(1的代换)因为 =1， 所以x+y=(x+y) 因为x0，y0，所以 当且仅当 即y=3x 时，取“=”. 又 =1， 解可得x=4，y=12. 所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.,方法二：(消元法)由 =1，得x= 因为x0，y0，所以y9. 所以 =(y-9)+ +10. 因为y9，所以y-90， 所以(y-
8、9)+ 当且仅当y-9= 即y=12时，取“=”，此时x=4， 所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.,【规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型及处理技巧 (1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，进而解出该不等式. (2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式.,【变式训练】若abc，且 恒成立，求m的取 值范围. 【解题指南】先将 变形，再利用基本不等式 求出m的取值范围.,【解析】由abc，得ab0，bc0，ac0，因此原不等 式等价于m 要使原不等式恒成立，只需 的最小值不小于m即可，因
9、为 当且仅当 即2b=a+c时， 等号成立.所以m4.,类型三利用基本不等式解实际应用题 1.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费 的体力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造 成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为 安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n层 楼时，环境不满意度为 ，则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼,2.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增
10、加100元. (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用). (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？,【解题指南】1.建立关于n的函数，讨论其最小值. 2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系，得出总建筑费用，从而得出y=f(x)的表达式. (2)根据(1)中y=f(x)的表达式，把函数的解析式变换成两个数(式子)的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解.,【自主解答】1.选C.只需求不满意度n+ 的最小值.由均值不 等式得n+ 4 ，当且仅当n= ，即n=2 3时，n+ 取 得最小值
11、.,2.(1)由已知，写字楼最下层的总建筑费用为40002000= 8000000(元)=800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用 比其下面一层多1002000=200000(元)=20(万元)，写字楼从 下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，以20为公差的等 差数列，所以函数表达式为f(x)=800 x+ 20+9000=10 x2 +790 x+9000(xN*).,(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)= 10000= 50(2 +79)=6950(元)，当且仅当x= ，即x=30时等号成立，故该 写字楼应建为30层.,【规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤
12、 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数. (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)写出正确答案.,【变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).,(1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式. (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
13、,【解析】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米， 由a2x=4 000，得 则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a +160 =4 000+(8x+20) +160= +4 160(x1). (2) =5 760，当且仅当 即x=2.5时，等号成立，此 时a=40，ax=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1 应设计为长100米，宽40米.,【拓展类型】基本不等式的综合应用 1.已知等比数列a1，a2，a3的和为定值m(m0)，且其公比q0，若t=a1a2a3，则t的取值范围是() A.(0，m3B.-m3，0) C.-m3，m3D.-m3，0)(0
14、，m3 2.在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，求B的取值范围.,【解题指南】1.根据题意，得出a2关于q的关系式，利用基本不等式求出a2的范围.从而得出t的取值范围. 2.由a，b，c成等差数列，得出b= ，利用余弦定理求出cosB的范围，从而得出B的取值范围.,【解析】1.选B.因为m=a1+a2+a3= 所以a2= 因为q0，所以m 0，即ma20，故t=a1a2a3=a23m3，0)，故选B.,2.因为a，b，c成等差数列，所以b= 所以cos B= 当且仅当3a2=3c2，即a=c时， 等号成立.又因为y=cos x在(0，)上是减函数，所以0B,【规律总结】利用基本不等式解决有关问题的方法 对于基本不等式在有关问题中的应用，一方面根据具体问题找到有关参数的关系式，另一方面结合问题，对条件进行变形调整，使其转化为代数式的两部分的积或和为定值的形式，进而利用基本不等式求解.,