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1、第2课时 等比数列的性质,【知识提炼】 1.等比数列的项与序号的关系,qn-m,aman=apaq,2.等比数列的单调性,递增,递减,递减,递增,常,【即时小测】 1.判断 (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.() (2)若an为等比数列，且m+n=p(m，n，pN*)，则aman=ap.(),(3)若等比数列an的公比q1，则数列an是递增数列.(),【解析】(1)正确.根据等比数列中任意两项关系，即an=amqn-m(n，mN*)可知该说法正确. (2)错误.例如等比数列1，2，4，8，中，a1a2a3. (3)错误.在等比数列an中，若q1，数列an并不一定是递
2、增数列，如等比数列-1，-2，-4，公比q=21，但此数列是递减数列. 答案：(1)(2)(3),2.等比数列an中，a5=3，q= ，则a3=() 【解析】选D.因为数列an是等比数列，所以a5=a3q2， 所以3=a3 ，所以a3=12.,3.若数列an为等比数列，则下列式子一定成立的 是() A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10 C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6 【解析】选C.以等比数列32n为例进行检验，可知 A，B，D均不成立.对于C，因为a1a9=a12q8，a3a7=a12q8， 所以a1a9=a3a7.,4.已知摆动数列an是等比数列，且a2=1，a4
3、=16，则公比q为_. 【解析】由题意得q2= =16， 所以q=4，又因为数列an是摆动数列， 所以q=-4. 答案：-4,5.在等比数列an中，a10+a11= ，a11+a12=2，则公比 q=_. 【解析】因为a11+a12=(a10+a11)q，所以q= 答案：,【知识探究】 知识点1 等比数列通项公式的推广 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？ 问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什么？,【总结提升】 1.等比数列通项公式推广形式的证明 设等比数列an的公比为q，则 an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，nN*，两式相除
4、得 所以an=amqn-m.,2.等比数列通项公式的推广形式的作用 (1)求等比数列的公比. (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m，可求出等比数列的任何一项.,知识点2 等比数列的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等比数列an中，若m+n=s+t，则aman=asat，该结论是如何证明的？ 问题2：已知数列an是等比数列，还有哪些与该数列有关的等比数列呢？,【总结提升】 1.等比数列中四项关系的性质及证明 若等比数列an中，m，n，s，tN*且m+n=s+t， 则aman=asat.,证明：设等比数列an的公比为q， aman= a1qm-1a1qn-1
5、=a12qm+n-2， asat= a1qs-1a1qt-1=a12qs+t-2， 因为m+n=s+t，所以aman=asat.,2.等比数列的“子数列”的性质 数列an是公比为q的无穷等比数列. (1)去掉数列an的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列. (2)奇数项数列a2n-1是公比为q2的等比数列；偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列.,(3)在数列an中每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.,【题型探究】 类型一 等比数列通项公式的推广和应用 【典例】1.(2015全国卷)等比数列an满足a1=3， a1+a3+a5=21，则a
6、3+a5+a7=() A.21B.42C.63D.84 2.已知等比数列an为递增数列，且a52=a10，2(an+an+2)= 5an+1，则数列的通项公式an=_.,【解题探究】1.典例1中，解题的基本思路是什么？ 提示：利用条件a1=3，a1+a3+a5=21求出公比，再利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值. 2.典例2中，an+2，an+1与an有什么关系？ 提示：an+2=anq2，an+1=anq.,【解析】1.选B.设等比数列的公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3， 所以q4+q2-6=0，解得q2=2， a3+a5+a7=(a1+a3+a5)
7、q2=42.,2.设等比数列的公比为q. 因为a52=a10，所以(a1q4)2=a1q9，所以a1=q， 所以an=qn.因为2(an+an+2)=5an+1， 所以2an(1+q2)=5anq， 所以2(1+q2)=5q，解得q=2或q= (舍去)， 所以an=2n. 答案：2n,【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧 (1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由an =amqn-m可得qn-m= ，进一步计算公比. (2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列 的通项公式. (3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相 同项数的和之间的关系，如a4+a6+a8=(a
8、1+a3+a5)q3.,【变式训练】已知数列an为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11. 【解析】因为数列an为等比数列， 所以a1a9=a3a7=64，又因为a3+a7=20， 所以a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根.,所以a3=4，a7=16或a3=16，a7=4.当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20， 所以1+q4=5，所以q4=4. 当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20， 所以1+q4= ，所以q4= . 所以a11=a1q10=a3q8=64或1.,【补偿训练】 1.在等比数列an中，a2 012=8a2 009，则公比q的值 为
9、() A.2B.3C.4D.8 【解析】选A.因为 =q3=8，所以q=2.,2.在等比数列an中，存在正整数m，有am=3，am+5=24， 则am+15=_. 【解析】因为 =q5=8，又因为 =q10=(q5)2=82. 所以am+15=amq10=2482=1 536. 答案：1 536,类型二 等比数列性质的应用 【典例】在等比数列an中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性质进行转化？如何转化？ 提示：条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l，则aman=akal”转化为a3a8=-5
10、12.,【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512. 解方程组 得 因为q为整数，所以q= =-2， 所以an=a3qn-3=-4(-2)n-3=(-1)n-22n-1.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124， 且公比为整数”改为“a7a11=6，a4+a14=5”，则结果 又如何？,【解析】因为数列an是等比数列， 所以a4a14=a7a11=6.解方程组 得 所以 所以an=a4qn-4=2,2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件改为a4+a7=2，a5a6=-8，求a1+a10.,【解析】因为数列an为等比数列，所以a5
11、a6=a4a7=-8. 联立 可解得 当 时，q3=- ，故a1+a10= +a7q3=-7； 当 时，q3=-2，同理，有a1+a10=-7.,【方法技巧】巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法基本量法 基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； 优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.,(2)利用等比数列的性质解题 基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； 优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.,【补偿训练】若等比数列an的各项均为正数，且a10a11
12、+a9a12=2e5，求lna1+lna2+lna20. 【解析】方法一：各项均为正数的等比数列an中，a10a11=a9a12=a1a20， 则a1a20=e5， lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.,方法二：各项均为正数的等比数列an中，a10a11=a9a12=a1a20， 则a1a20=e5， 设lna1+lna2+lna20=S， 则lna20+lna19+lna1=S， 2S=20ln(a1a20)=100，S=50.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3a9=2a52，a2=2”，其他条件不
13、变，结果又如何？,【解析】因为数列an是等比数列，所以a3a9=a62，又因 为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an0，所以 a5=a6， 所以公比q= 又因为a2=2， 所以an= 所以lna1+lna2+lna20 =ln(a1a2a20)=,2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12 =2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+ log3a10的值. 【解析】log3a1+log3a10 =log3(a1a10)=log3(a3a8)=log39=2.,类型三 等差、等比数列的综合问题 【典例】1.(2015襄阳高一检测)等比数列an
14、中， a1=512，公比q=- ，记Tn=a1a2an，则Tn取最大 值时n的值为() A.8B.9C.9或10D.11,2.(2015湖州高一检测)已知数列an满足：a1=2，an+1=an2-kan+k(kR)，a1，a2，a3分别是公差不为零的等差数列bn的前三项. (1)求k的值. (2)求证：对任意的nN*，bn，b2n，b4n不可能成等比数列.,【解题探究】1.典例1中，Tn符号的变化规律是什么？如何将|Tn|表示为关于n的函数？ 提示：从第1项开始Tn的符号变化规律成正、负、负、正周期变化.利用等比数列的通项公式、指数运算的法则和等差数列求和公式，可将|Tn|表示为关于n的函数.
15、,2.典例2第(1)问中a1，a2，a3满足什么关系？如何用k 表示a2，a3？第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列， 则可推出什么结果？ 提示：第(1)问中2a2=a1+a3，根据a1=2，a2=a12-ka1+k， a3=a22-ka2+k，可用k表示a2，a3.第(2)问中若bn，b2n， b4n能成等比数列，则可推b2n2=bnb4n.,【解析】1.选B.an=a1qn-1=512 =(-1)n-12921-n=(-1)n-1210-n. 所以|Tn|=|a1a2an| =29+8+10-n= 所以当n=9或10时，|Tn|最大. 又因为T100，所以T9最大.,2.(1)因
16、为a1=2，所以a2=4-k，a3=2k2-11k+16. 又因为2a2=a1+a3，所以2k2-9k+10=0，解得k=2或 ， 又因为bn的公差不为零，所以k= .,(2)由(1)知，bn= 假如bn，b2n，b4n成等比数列，则bnb4n=b2n2. 代入化简得：(5-n)(5-4n)=(5-2n)2，解得n=0. 与nN*矛盾，故bn，b2n，b4n不可能成等比数列.,【延伸探究】在典例1的条件下，试分析T2016的符号. 【解析】由于等比数列an中a10，q=- 0.,【方法技巧】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用. (2)对于
17、解答题注意基本量及方程思想.,(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题. (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.,【变式训练】已知在等差数列an与等比数列bn中，公差与公比均为d(d0，且d1).若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求它们的通项公式. 【解题指南】由条件可建立a1与d的方程组求解.,【解析】因为an=a1+(n-1)d，bn=b1qn-1=a1dn-1， 所以由 得 -2，得5a1d4-6a1d2+a1=0. 因为a10，所以5d4-6d2+1=0.
18、,解得d2= 或d2=1，又因为d0，且d1， 所以d= .代入，得a1=- . 所以an=a1+(n-1)d= bn=b1dn-1=a1dn-1=,【补偿训练】已知等比数列bn与数列an满足bn= (nN*). (1)若a8+a13=m，求b1b2b20. (2)若b3b5=39，a4+a6=3，求b1b2bn的最大值.,【解析】(1)易证得an是以log3q为公差的等差数列(q为等比数列bn的公比). 又因为a8+a13=m，所以b1b20= 所以b1b2b20=(b1b20)10=310m.,(2)由b3b5=39，得a3+a5=9.又因为a4+a6=3， 所以d=-3，a1= ，所以a
19、n= +(n-1)(-3). 于是a1+an= + +3-3n=30-3n，所以b1b2bn = 所以，当n=5时，b1b2bn取得最大值 .,拓展类型 等比数列的实际应用 【典例】1.已知某猪场的猪每一年都在上一年存栏的基础上增加一倍，并且每年卖出500头，该猪场2015年卖出后存栏数为1 000头，则到_年时，该猪场的猪的存栏数开始超过1 024 500头.,2.“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份.以后的三只都是如此，则最初至少有多少个苹果？
20、最后至少剩下多少个苹果？,【解析】1.设2015年，2016年，2017年，n年， 猪场的猪的存栏数依次为a1，a2，a3，an，. 由题意得a1=1000，an=2an-1-500，n2，nN*， 所以an-500=2(an-1-500)，,所以an-500是一个首项为500，公比为2的等比数列， 所以an-500=5002n-1，an=500+5002n-1， 令500+5002n-11 024 500，得2n-12 048. 解得n12，即a131 024 500. 所以13+2015-1=2027. 故2027年猪场的猪的存栏数超过1 024 500头. 答案：2027,2.设最初的苹
21、果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得， an+1=an-1- (an-1)= 不难得出an+1+4= (an+4)， 所以an+4=(a1+4) ，n=1，2，3，4，5，6. 所以a6=(a1+4) -4.,又因为a6是整数，所以a1+4的最小值是55， 即a1的最小值是55-4=3 121.即最初至少有3 121个苹果，从而最后至少剩下a6=45-4=1 020个苹果.,【方法技巧】解等比数列应用题的一般步骤,【补偿训练】从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a=2
22、，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%？,【解析】第一次取出纯酒精1L， 加水后，浓度为 记为a1=1- . 第二次取出纯酒精 1L， 再加水后，浓度为 记为a2= ,依次类推，第n次取出纯酒精 1L， 再加水后，浓度为 ，记为an= . 当a=2时，由an= 10%，得n4. 即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.,规范解答 等差数列、等比数列的综合问题 【典例】(12分)(2015广东高考)设数列an的前n项 和为Sn，nN*.已知a1=1，a2= ，a3= ，且当n2时， 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.,(1)求a4的值. (2)证明： 为等比数列. (3)求数列an的通项公式
23、.,【审题指导】(1)令n=2可得a4的值. (2)先将4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)转化为4an+2+an=4an+1 (n2)，再利用等比数列的定义证明 是等比 数列.,(3)先由(2)可得数列 的通项公式，再将数列 的通项公式转化为数列 是等差数列，进而可得数列an的通项公式.,【规范解答】(1)当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1， 1分 即 解得：a4= .2分,(2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)， 所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1 =4Sn+1-4Sn(n2)， 即4an+2+an=4an+1(n2)， 3分,因为4a3+a1
24、=4 +1=6=4a2， 4分,所以4an+2+an=4an+1， 因为 6分,所以数列 是以a2- a1=1为首项，公比为 的等比数列. 7分,(3)由(2)知：数列 是以a2- a1=1为首项， 公比为 的等比数列，所以an+1- an= ， 8分,即 10分 所以数列 是以 =2为首项，公差为4的等差数 列，所以 11分,即an= 所以数列an的通项公式是an= . 12分,【题后悟道】 1.加强解题的目标性 解答等差数列、等比数列的证明问题，关键是根据题 目要求有目的地进行变形.如本例中要证数列 是等比数列，就要分析an+2- an+1与an+1- an的关系.,2.关注解题细节力求严谨 解答数列问题时，要特别关注题目条件中n的取值范围，否则会导致对条件理解不到位出现解题漏洞.如本例中，n2时推出4an+2+an=4an+1，还需验证4a3+a1=4a2.,3.注意转化与化归思想的应用 等差、等比数列是数列问题的两个重要模型.因此，解 答数列问题时要加强构建等差或等比数列的意识.如本 例中， 转化为 可构建等差 数列 ，进一步容易求出数列an的通项公式.,