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1、2.4等比数列 第1课时等比数列,【知识提炼】 1.等比数列的定义及通项公式,2,它的前一项,比,常数,q(q0),a1qn-1(a10)(q0),2.等比中项 (1)前提：三个数_组成等比数列. (2)结论：_叫做_的等比中项. (3)满足的关系式：G=_.,a，G，b,G,a和b,【即时小测】 1.判断 (1)等比数列的公比可以为任意实数.() (2)若b2=ac，则a，b，c成等比数列.() (3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.() (4)常数列既是等差数列又是等比数列.(),【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零. (2)错误.如02=30，
2、但是3，0，0不成等比数列. (3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数，不符合等比数列的定义，因而是错误的. (4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列. 答案：(1)(2)(3)(4),2.下列各数列成等比数列的是() 1，-2，-4，-8； 1， -1，1，-1，1； (a为常数且a0). A.B.C.D.,【解析】选A. 因为 所以1，-2，-4，-8不 是等比数列； 1， 是首项为1，公比为 的等比数列； -1，1，-1，1是首项为-1，公比为-1的等比数列； (a为常数且a0)是首项为 ，公比为 的 等比数列， 综上可知是等比数列.,3.已知an是一个等比数列，若a1=
3、3，a5=12，则公比 q=() 【解析】选D.因为a5=a1q4， 所以 所以q= .,4.等比数列an的首项为2，公比为5，则数列an的通项公式为_. 【解析】数列an通项公式为an=25n-1. 答案：an=25n-1,5.-1与-25的等比中项为_. 【解析】-1与-25的等比中项为 答案：5,【知识探究】 知识点1 等比数列的概念 观察图形，回答下列问题：,问题1：图中的细胞分裂组成的数列1，2，4，8，16，是等比数列吗？ 问题2：等比数列中相邻项之间有什么关系？,【总结提升】 1.从三个方面剖析等比数列的概念 (1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义： 其一，第1项前面没
4、有项，无法与后续条件中的“与它的前一项的比”相吻合； 其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作商.,(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是等比数列.,2.等比数列定义的符号表示 在数列an中，若 =q(nN*)，q为不为0的常数，则数列an是等比数列.,知识点2 等比中项 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：任意两个实数都有等比中项吗？ 问题2：两个正数的等比中项是唯一的吗？,【总结提升】对等比中项的三点认识
5、(1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.,(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2=ab”(a，b均 不为0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的.可 以用它来判断或证明三个数成等比数列.同时还要注意 到“a，G，b成等比数列”与“G= ”是不等价的. (3)同号的两个实数才有等比中项.,知识点3 等比数列的通项公式 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？ 问题2：由等比数列的定义如何推导等比数列的通项公式？,【总结提升】 1.推导等比数列通项公式的常见方法 (1)迭代法： 设等比数列an
6、的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义得，an=an-1q=an-2q2=an-3q3=a2qn-2=a1qn-1.,(2)归纳法： a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3， an=an-1q=a1qn-1. (3)累乘法： =qqqq，即 =qn-1，故an=a1qn-1.,2.理解等比数列通项公式应注意的三点 (1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式. (2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q，an中的三个，就可以求出第四个. (3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.,【拓展延伸】用函数的观点看等比数列的通项 等比数列an的通项公式
7、an=a1qn-1，可以改写为an= qn.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而 y= qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等 比数列an的图象是函数y= qx的图象上的一群孤立 的点.,例如，当a1=1，q=2时，an= 2n，表示这个数列各项 的点就都在函数y= 2x的图象上，如图所示：,【题型探究】 类型一 等比数列通项公式的应用 【典例】1.(2015承德高一检测)在等比数列an中， a1= ，a3+a5=4，an=3，则n=() A.5B.6C.4D.3,2.(2015北京高考)已知等差数列an满足a1+a2=10，a4-a3=2. (1)求数列an的通项公式. (2)
8、设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列an的第几项相等？,【解题探究】 1.典例1中，关键是计算哪个量？ 提示：关键是计算公比.,2.典例2中，(1)关键是计算哪些量？计算的顺序是什么？ (2)如何求等比数列bn的通项公式？判断b6与数列an的第几项相等的本质是计算什么？,提示：(1)关键是计算首项、公差.根据题目条件应先计算公差，再计算首项. (2)先计算b2，b3，再计算公比，最后求等比数列bn的通项公式.本质是依据b6=an计算n的值.,【解析】1.选A.设等比数列an的公比为q， 因为a1= ，a3+a5=4， 所以 q2+ q4=4，即q4+q2-12=0， 解得q
9、2=3或q2=-4(舍)， 所以|q|1，所以等比数列an各项的绝对值是逐项递 增的.又因为a5=a1q4= 32=3，所以n=5.,2.(1)设等差数列an的公差为d， 则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10， 所以a1=4.因此，an=4+(n-1)2=2(n+1).,(2)设等比数列bn的公比为q，则b2=8，b3=16， 所以q= =2，b1=4，bn=2n+1， b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63. 所以b6与数列an的第63项相等.,【延伸探究】若将典例2的条件“等差”改为“等比” “a1+a2=10，a4-a3=2”改为“a3+a1=5，a5-a
10、1=15”， 求数列an的通项公式.,【解析】设等比数列an的公比为q， 由已知得 即 由得q2-1=3，所以q=2. 代入得a1=1，所以数列an的通项公式为 an=2n-1或an=(-2)n-1.,【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.,【变式训练】1.(2015成都高一检测)已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a7=() A.18B.24C.30D.42 【解析】选C.设等比数
11、列an的公比为q，由题意得3+3q2+3q4=21，即q4+q2-6=0，解得q2=2或q2=-3(舍)，所以a3+a7=3q2+3q6=32+323=30.,2.已知数列an是递增的等比数列，且a1+a3=5，a1a3=4. 求数列an的通项公式. 【解析】由a1a3=4，a1+a3=5知，a1，a3是方程x2-5x+4=0 的两根.又因为an+1an，所以a1=1，a3=4， 所以q2= =4，所以q=2或q=-2(舍去)， 故an=a1qn-1=2n-1.,【误区警示】解答本题容易忽视数列an是递增的等比数列，导致增解.,【补偿训练】在等比数列an中，已知a2+a5=18，a3+a6=9
12、，an=1，求n. 【解析】因为 所以由除以得q= ，从而a1=32. 又因为an=1，所以32 =1， 所以 ，所以n=6.,类型二 等比中项的应用 【典例】1.(2015福建高考)若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于() A.6B.7C.8D.9,2.(2015广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列， 其中a=5+2 ，c=5-2 ，则b=_.,【解题探究】 1.典例1中，如何确定a，b的符号？进一步如何找出关于a，b的等量关系？ 提示：由a+b=p0，ab=q0知a
13、0，b0. 2.典例2中，a，b，c满足的关系是什么？ 提示：b2=ac.,【解析】1.选D.由题意可得 所以a0，b0，不妨设ab，所以等比数列为a，-2，b或b，-2，a，从而得到ab=4=q，等差数列为a，b，-2或-2，b，a，从而得到2b=a-2，两式联立解出a=4，b=1，所以p=a+b=5，所以p+q=5+4=9.,2.因为三个正数a，b，c成等比数列， 所以b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1， 因为b0，所以b=1. 答案：1,【方法技巧】应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其中a，b，G均不为零. (2)已知等比数列中的
14、相邻三项an-1，an，an+1，则an是an-1与an+1的等比中项，即an2=an-1an+1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.,【变式训练】 1.已知a-1，a+1，a+4三个数成等比数列，则公比q=_. 【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4)， 解得a=5，三个数依次为4，6，9， 公比q= 答案：,2.已知等差数列an满足：a1=2，a3=6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_.,【解析】设所加的数为x， 则(a4+x)2=(a1+x)(a5+x)， 因为公差d= 所以a4=8，a5=10， 所以(8+x)2=(2
15、+x)(10+x)，解得x=-11. 答案：-11,【补偿训练】(2015南阳高二检测)在等比数列an中，若an=2n，则a7与a9的等比中项为() A.a8B.-a8 C.a8D.前3个选项都不对,【解析】选C.因为数列an是等比数列，且an=2n， 所以a82=a7a9=2729=(28)2， 所以a7与a9的等比中项为28，即a8.,类型三 等比数列的判定 【典例】已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且2an+1=Sn+2(n2). (1)求a2，a3的值. (2)求数列an的通项公式.,【解题探究】典例中(1)根据哪些等式计算a2，a3？ 典例中(2)为求数列an的通项公式，应先求
16、什么？关键是什么？ 提示：典例中根据2a2=S1+2，2a3=S2+2计算a2，a3.为求数列an的通项公式，应先求递推公式.关键是证明数列an是等比(差)数列，或将数列an与等比(差)数列联系起来.,【解析】(1)因为2a2=S1+2=a1+2=3， 所以a2= . 因为2a3=S2+2=a1+a2+2= ，所以a3= .,(2)因为2an+1=Sn+2，所以2an=Sn-1+2(n2)， 两式相减，得2an+1-2an=Sn-Sn-1. 所以2an+1-2an=an，则an+1= an(n2). 因为a2= a1，所以an+1= an(nN*). 因为a1=10，所以 所以数列an是首项为
17、1，公比为 的等比数列， 所以,【延伸探究】 1.(变换条件)将典例中条件“a1=1，且2an+1=Sn+2(n2)” 改为“3Sn=an-1(nN*)”，其他条件不变，结果如何？,【解析】(1)由3S1=a1-1，得3a1=a1-1， 所以a1=- . 由3S2=a2-1，得3a1+3a2=a2-1，解得a2= . 由3S3=a3-1，得3a1+3a2+3a3=a3-1，解得a3=- .,(2)当n2时， an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)， 得 所以an是首项为- ，公比为- 的等比数列. 所以an=,2.(变换条件、改变问法)将典例中条件“a1=1，且 2an+1=
18、Sn+2(n2)”改为“a1= ，an+1= ，nN*”， 其他条件不变，求证：数列 为等比数列.,【证明】因为 所以 因为 -10，所以 0(nN*)， 所以 所以 是等比数列.,【方法技巧】 1.判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列an满足 =q(q为常数且不为零) 或 =q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等 比数列. (2)通项公式法：若数列an的通项公式为an=a1qn-1(a1 0，q0)，则数列an是等比数列.,(3)等比中项法：若an+12=anan+2(nN*且an0)，则数列an为等比数列. (4)构造法：在条件中出现an+1=kan+b关系时，
19、往往构造数列，方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照，求出x即可.,2.由等比数列“生成”的新等比数列 若数列an是公比为q的无穷等比数列，则 (1)数列|an|是公比为|q|的等比数列. (2)数列 是公比为 的等比数列. (3)数列kan(k0)是公比为kq的等比数列.,(4)若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列.,【补偿训练】已知数列an的前n项和Sn=2an+1，求数列an的通项公式.,【解析】因为Sn=2an+1，所以Sn+1=2an+1+1. 所以an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an，
20、所以an+1=2an，又因为S1=2a1+1=a1， 所以a1=-10，又由an+1=2an知an0， 所以 =2，所以an是以-1为首项，2为公比的等比数列. 所以an=-12n-1=-2n-1.,【延伸探究】1.(变换条件)将本题条件“Sn=2an+1”改为“a1=1，an+Sn是公差为2的等差数列”，其他条件不变，结果如何？ 【解析】因为a1+S1=2a1=2， 所以等差数列an+Sn的首项为2，又因为公差为2， 所以an+Sn=2+2(n-1)=2n， 所以an+1+Sn+1=2(n+1)，,-得an+1-an+an+1=2，整理得2(an+1-2)=an-2， 又因为a1-2=-10
21、，所以an-20，所以 所以数列an-2是首项为-1，公比为 的等比数列. 所以an-2= ，即an=2 .,2.(变换条件、改变问法)将本题条件“Sn=2an+1”改为“a1=1，Sn+1=4an+1”，证明：数列an+1-2an是等比数列.,【证明】由于Sn+1=4an+1， 当n2时，Sn=4an-1+1. -，得an+1=4an-4an-1. 所以an+1-2an=2(an-2an-1)，n2 因为a1=1，且a1+a2=4a1+1，即a2=3a1+1=4. 所以a2-2a1=2， 故数列an+1-2an是首项为2，公比为2的等比数列.,易错案例 等比数列中项的设法问题 【典例】已知一
22、个等比数列的前4项之积为 ，第2项 与第3项的和为 ，则这个等比数列的公比为 _.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是对成等比数列的4个数的设法 出错.实际上设这4个数为 aq，aq3，公比为q2， 这就相当于规定了这个等比数列各项要么同为正，要 么同为负，而题设中无此规定.,【自我矫正】 设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq0)， 由题意得 所以 所以,整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0， 解得q=32 或q=-52 . 答案：32 或-52,【防范措施】 1.关注等比数列中项的设法 (1)三个数成等比数列，常设为 ，a，aq(a0). (2)四个数成等比数列，常设为a，aq，aq2，aq3，而 不设为 ， ，aq，aq3，这样设会因等比数列的公比 为q2而失根.,2.注意等比数列中项的变化规律 (1)各项均为正数. (2)各项均为负数. (3)正负间隔出现，即奇数项为正(负)，偶数项为负(正).,