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1、2.5等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和,【知识提炼】 等比数列的前n项和公式,【即时小测】 1.判断 (1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式 () (2)等比数列的前n项和不可以为0.() (3)数列an的前n项和为Sn=an+b(a0，a1)，则数列an一定是等比数列.(),【解析】(1)不正确.只有当公比不等于1时，才可以用这个公式求和. (2)不正确.当公比等于-1，n为偶数时，前n项和为0.,(3)不正确.根据和与项的关系，当n2时，an=an-an-1 =an-1(a-1)，因为a不等于0和1，所以从第二项起an一定为等比数列，若b=-1，则该数列an为等比数列，否
2、则不是. 答案：(1)(2)(3),2.等比数列an中，首项a1=8，公比q= ，那么它的前5项的和S5的值是() 【解析】选A.,3.等比数列1，x，x2，x3，（x0）的前n项和Sn为 (),【解析】选C.当x=1时，Sn=1+1+1=n， 当x1时，Sn=1+x+x2+xn= .,4.等比数列an中，若a1=1，ak=243，公比q=3，则Sk=_. 【解析】Sk= =364. 答案：364,5.若一个等比数列an的前4项的和为 ，公比为 ， 则其首项a1为_. 【解析】由题知 所以a1=1. 答案：1,【知识探究】 知识点1等比数列前n项和公式 观察图形，回答下列问题：,问题1：你会计
3、算1+2+22+23+263吗？等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？如何计算？ 问题2：如何从函数观点研究等比数列前n项和公式？,【总结提升】 1.对等比数列前n项和公式的三点说明 (1)求和公式中是qn，通项公式中是qn-1，不要混淆. (2)应用求和公式时注意公比q的取值，必要时应讨论q1和q=1的情况. (3)利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，各已知三个量可求第四个量.,2.函数观点下的等比数列前n项和公式 (1)若数列an是非常数列的等比数列，则其前n项和 公式为：Sn=-Aqn+A(A0，q0，q1，nN*). (2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A
4、=,(3)当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是函数y=-Aqx+A图象上一群孤立的点. 当q=1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比例函数y=a1x图象上一群孤立的点.,知识点2 等比数列前n项和的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：若等比数列an的前n项和为Sn，则Sm+n，Sn与Sm(m，nN*)有什么关系？ 问题2：若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列吗？,【总结提升】等比数列前n项和的三个常用性质 (1)数列an为公比不为-1的等比数列，Sn为其前n项和， 则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍构成等比数列. (
5、2)若an是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n， mN*).,(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列 的偶数项的和与奇数项的和，则 在其前2n项中， =q； 在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+-a2n+a2n+1,【题型探究】 类型一 利用公式求等比数列前n项和 【典例】(2015四川高考)设数列an(n=1，2，3，) 的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式. (2)设数列 的前n项和为Tn，求Tn.,【解题探究】本例中如何得到数列an的递推公式？ 若数列an是等比数列，则数列
6、 是等比数列吗？ 提示：直接利用前n项和Sn与通项an的关系推出数列an 的递推公式.数列an是等比数列，则数列 也是等 比数列.,【解析】(1)当n2时，有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)， 则an=2an-1(n2)， =2(n2). 则an是以a1为首项，2为公比的等比数列. 又由题意得2a2+2=a1+a3， 即22a1+2=a1+4a1，解得a1=2，则an=2n(nN*).,(2)由题意得 (nN*)， 由等比数列求和公式得,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“Sn=2an-a1，且a1，a2+1， a3成等差数列”改为“数列an是公比为q(q1)
7、的等比 数列，a1=1”，其他条件不变，试用Sn表示Tn.,【解析】因为Sn= 所以Tn=,2.(改变问法)典例条件不变，计算a1a2+a2a3+a3a4 +anan+1. 【解析】因为an=2n，所以anan+1=2n2n+1=22n+1， 所以a1a2+a2a3+a3a4+anan+1 =23+25+22n+1,3.(变换条件、改变问法)若把典例中条件改为 “an= 求数列an的前n项和Sn. 【解析】由an= 可知数列an的所有奇数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，所有偶数项构成以4为首项，以4为公比的等比数列，,当n为正奇数时， 当n为正偶数时，,所以数列an的前n项和为,【方法
8、技巧】等比数列前n项和公式的基本运算 (1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q=1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.,(2)当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1； 当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式. 当已知a1，q与n时，用Sn= 比较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn= 比较方便.,【补偿训练】设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 【解析】设数列an的公比为q，由题设得 当a1=3，q=2时，an=32n-1，Sn=3(2n-1)； 当a1=2，q=3时，an=23n-1，Sn=3n-1.,【延伸探
9、究】 1.(变换条件)若将本题条件“a2=6，6a1+a3=30”改为 “a1+a3=10，a4+a6= ”，则结果如何？,【解析】设公比为q， 由已知得 即 得q3= ，即q= ， 将q= 代入得，a1=8，,所以,2.(变换条件、改变问法)若将本题条件“a2=6， 6a1+a3=30”改为“4a3-a6=0”，试计算 . 【解析】由4a3-a6=0得q3=4， 所以,类型二 利用公式构建方程(组)求关键量 【典例】1.(2015全国卷)数列an中a1=2，an+1=2an， Sn为的前n项和，若Sn=126，则n=_. 2.设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=S9，求数列 an的
10、公比q的值.,【解题探究】1.典例1中，数列an是等比数列吗？求n的基本思路是什么？ 提示：由an+1=2an确定数列an为首项a1=2，公比q=2的等比数列.根据Sn=126列方程求n.,2.典例2中，是否可以直接利用公式Sn= 根据条件S3+S6=S9转化为关于q的方程求解？ 提示：不可以.应分q=1和q1两种情况讨论.,【解析】 1.因为 =2，所以数列an是首项a1=2，公比q=2的 等比数列，Sn= =126，即2n+1=128，解得n=6. 答案：6,2.若q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1， 显然满足S3+S6=S9，所以q=1符合题意； 若q1，则有 解得q=-
11、1，所以所求公比q=1.,【延伸探究】典例2条件“S3+S6=S9”改为“S2=7，S6=91”，其他条件不变，结果如何？,【解析】因为S2=7，S6=91，易知q1， 所以 所以 所以q4+q2-12=0，所以q2=3，q= .,【方法技巧】等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换.,【变式训练】等比数列an的前n项和为Sn，已知a1+an=66，a2a
12、n-1=128，Sn=126，求n和公比q的值. 【解析】方法一：在等比数列an中， a1an=a2an-1=128. 又a1+an=66，所以,解得 或 所以q1. 由an=a1qn-1和,方法二：当q=1时，经检验不合适，由题意可得 由可得qn-1= 代入，得,化简得a12-66a1+128=0， 解得a1=2或a1=64. 当a1=2时，得qn-1=32， 将a1=2和qn-1=32代入，得 =126，解得q=2. 又qn-1=32，即2n-1=32=25，所以n=6.,同理，当a1=64时，可解得q= ，n=6. 综上所述，n的值为6，q=2或 .,【补偿训练】等比数列an的首项a10
13、，公比q0，前n项和Sn=80，其中最大的一项为54，前2n项和S2n= 6 560，求a1和q.,【解析】由Sn=80，S2n=6 560知q1. 所以 所以qn=81，因为q0，所以q1，又a10.,所以该数列为递增数列.所以前n项中最大的项为an， 所以an=a1qn-1=54，又qn=81，所以3a1=2q， 将qn=81代入得a1=q-1，所以a1=2，q=3.,类型三 等比数列前n项和的性质 【典例】1.(2015衡水高二检测)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于() A.80B.30C.26D.16,2.等比数列an的前n项和为Sn，
14、已知a4=8，且Sn+1=pSn+1，则实数p的值为() A.1B.2C.D.4 3.一个等比数列的首项是1，项数是偶数项，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.,【解题探究】1.典例1中，可以利用哪个关于等比数列前n项和的性质解题？ 提示：利用等比数列中Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比数列的性质解方程求值. 2.典例2中，Sn+1与Sn有什么关系？ 提示：Sn+1=a1+qSn.,3.典例3中，S偶与S奇有什么关系？ 提示：S偶=S奇q.,【解析】1.选B.由等比数列性质得， Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比数列，
15、则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， 所以(S2n-2)2=2(14-S2n).又S2n0，得S2n=6， 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n)， 所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.,2.选B.设等比数列an的公比为q， 则Sn+1=a1+qSn，又因为Sn+1=pSn+1， 所以a1+qSn=pSn+1， 即(a1-1)+(q-p)Sn=0对任意nN*成立， 所以a1=1，p=q， 又因为a4=8，所以1p3=8，故p=2.,3.因为S偶=a2+a4+a2n =a1q+a3q+a2n-1q =(a1+a3+a2n-1)q=S奇q
16、， 所以 又Sn=85+170=255，,所以2n=256， 所以n=8.故公比q=2，项数为8.,【延伸探究】若将典例3中“奇数项的和为85，偶数项的和为170”改为“所有项之和是奇数项之和的3倍”，其他条件不变，求这个数列的通项公式. 【解析】由题意得S奇+S偶=3S奇， 所以S奇+qS奇=3S奇， 解得q=2，又a1=1， 所以an=12n-1=2n-1.,【方法技巧】等比数列前n项和性质的应用技巧 (1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差 或比进行简化运算.若项数为2n，则 =q(S奇0)； 若项数为2n+1，则 =q(S偶0).,(2)涉及Sn，S2n，S3n，的关系或S
17、n与Sm的关系考虑应 用以下两个性质 等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2n-Sn， S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn(q-1). 等比数列an的公比为q，则Sn+m=Sn+qnSm.,(3)等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但利用通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.,【变式训练】设正项等比数列an的首项a1= ，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求数列an的通项公式. 【解题指南】解答本题的关键是应用S30-S20=q10(S20-S
18、10)简化运算.,【解析】由已知得210(S30-S20)=S20-S10， 即210q10(S20-S10)=S20-S10. 因为an0，所以S20-S100，所以210q10=1， 所以q= .从而an=( )n(nN*).,【补偿训练】1.已知等比数列an中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20，则前9项之和为_. 【解析】S3=a1+a2+a3=40，S6-S3=a4+a5+a6=20， 所以S9-S6=10，所以S9=(S9-S6)+(S6-S3)+S3 =10+20+40=70. 答案：70,2.等比数列an前8项的和为24，前16项的和为36，则前24项的和为_. 【
19、解题指南】利用数列前8项、第2个8项、第3个8项的和成等比数列求解.,【解析】因为在等比数列an中，连续n项的和仍组成等比数列(这连续n项和必须非零才能成立)， 所以S8，S16-S8，S24-S16成等比数列. 所以(S16-S8)2=S8(S24-S16)，所以S24=42. 答案：42,巧思妙解 用等比数列前n项和公式的函数特征解题 【典例】(2015深圳高二检测)已知等比数列an的前n项和Sn=t2n-1+1，则实数t的值为_.,【常规解法】因为a1=S1=t+1，a2=S2-S1=t，a3=S3-S2=2t， 所以由an是等比数列知t2=(t+1)2t，显然t0，所 以t=-2. 答案：-2,【巧妙解法】 Sn=t2n-1+1= 2n+1， 因为等比数列an的前n项和Sn=-Aqn+A， 其中q为公比，所以 +1=0， 所以t=-2. 答案：-2,【方法指导】等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当q=1时，Sn=na1是关于n的正比例函数. (2)当q1时，Sn=-Aqn+A是关于n的一个指数式与一 个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数， 且A=,