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1、第2课时 数列的通项公式与递推公式,【知识提炼】 数列的递推公式 如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任何一项an与_间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,它的前一项(或前几项),【即时小测】 1.思考下列问题 (1)所有数列都有递推公式吗？ 提示：不一定.例如 精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式.,(2)仅由数列an的关系式an=an-1+2(n2，nN*)就能确定这个数列吗？ 提示：不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数
2、列是不能确定的.,2.已知数列an满足a10，且an+1= an，则数列an 是() A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 【解析】选B.由a10，且an+1= an， 则an0，又 1，所以an+1an. 因此数列an为递减数列.,3.数列 的递推公式可以是() A.an= (nN*) B.an= (nN*) C.an+1= an(nN*) D.an+1=2an(nN*) 【解析】选C.数列从第二项起，后一项是前一项的 ，故递推公式为an+1= an(nN*).,4.在数列an中，已知a1=1，an= (n2)，则a5=_. 【解析】由a1=1，an= 得a2=2，a3= ，
3、a4= ， a5= . 答案：,5.若数列an中，a1=2，且an+1= (n是正整数)，则数列的通项公式an=_. 【解析】a1=2，a2=22，a3=24，a4=28，猜想an= 答案：,【知识探究】 知识点 递推公式 观察图形，根据下面的说明，回答问 题： 某剧场有9排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图).,问题1：写出前五排座位数，并考虑第n排与第n+1排座位数有何关系，第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗？ 问题2：由递推公式给出一个数列需具备几个条件？,【总结提升】 1.由递推公式给出一个数列的两个条件 用递推公式给出一个数列，
4、必须给出： “基础”数列an的第1项或前几项； 递推关系数列an的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.,2.通项公式与递推公式的异同点,【题型探究】 类型一 由递推公式写数列的项 【典例】1.(2015广州高二检测)在数列an中，已知a1= ，an=(-1)n2an-1(n2)，则a4等于() A.-2B.2C.-4D.4,2.已知数列an满足a1=1，以后的各项由公式an+1= 给出，试写出这个数列的前5项.,【解题探究】1.典例1中，已知a1，怎样求a2？进而怎样求a3，a4？ 提示：在递推公式中令n=2，3，4，结合a1的值即可以求出
5、数列的前几项. 2.典例2中求数列前5项的关键是什么？ 提示：关键是利用a1及递推关系求解.,【解析】1.选C.对n依次取2，3，4得 a2=(-1)22 =1， a3=(-1)321=-2，a4=(-1)42(-2)=-4.,2.因为a1=1，an+1= ，所以a2= a5= 故该数列的前5项为,【延伸探究】若典例2中“an+1= ”变为 “an+1= ”，其他条件不变，结论如何？,【解析】因为a1=1，an+1= ，所以a2= =1， a3= =1，a4=1，a5=1. 故该数列的前5项为1，1，1，1，1.,【方法技巧】由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首
6、先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.,【变式训练】(2015西安高二检测)数列an满足 an+1= ，若a1= ，则a2 014=(),【解析】选A.因为a1= ，所以a2=2a1-1= ， 所以a3=2a2= ，a4=2a3= ， 所以a5=2a4-1= ，a6=2a5-1= ， a7=2a6= ，a8=2a7= ， 所以an+4=an，nN*，所以a2014=a4503+2=a2= .,【补偿训练】数列an中a1=1，a2=3， -
7、an-1an+1= (-1)n-1(n2)，那么a4=_. 【解析】令n=2，得 -a1a3=-1，所以a3=10. 令n=3，得 -a2a4=(-1)2，所以a4=33. 答案：33,类型二 由数列的递推公式求通项公式 【典例】1.已知数列an满足a1=1，an=an-1+ (n2)，则an=_. 2.已知数列an中，a1=1，且an+1=3an(nN*). (1)写出这个数列的前5项. (2)猜想数列an的通项公式并加以证明.,【解题探究】1.典例1中，可对递推公式作何种变形？ 提示：将递推公式作移项，将其变形为an-an-1= 再分别令n=2，3，4，n-1，n后将这n-1个等式相加.,
8、2.典例2中，递推公式反映了数列有何特征？ 提示：将an+1=3an变形为 =3，数列中后一项与前一项的比是常数3.,【解析】1.由an=an-1+ (n2)，可得， an-an-1= (n2)， 所以a2-a1=1- ，a3-a2= - ，a4-a3= - ， an-an-1= 将各式累加得an-a1=1- ，又因为a1=1，所以an=2- . 又a1=2- =1，符合上式，所以an=2- . 答案：2-,2.(1)因为a1=1，且an+1=3an 所以a2=31=31，a3=33=32， a4=39=33，a5=327=34.,(2)由(1)猜想数列an的通项公式an=3n-1(nN*).
9、 证明：因为an=3an-1(n2)，所以 =3， 所以 =3n-1， 又a1=1，符合上式，所以an=3n-1(nN*).,【延伸探究】 1.(变换条件)若典例2中“a1=1，且an+1=3an”变为“a1=2，且an+1= an”，则通项公式如何？,【解析】因为an= an-1(n2)，所以 所以 所以an=2 又a1=2，符合上式，所以an=2 (nN*).,2.(变换条件)若典例2中“an+1=3an”变为“an+1= an”，通项公式如何？ 【解析】方法一：累乘法 因为 所以 所以 又因为a1=1，所以an=,方法二：迭代法 因为an+1= an，所以an= an-1= an-2=
10、an-3= a1= a1. 又因为a1=1，所以an= .,方法三：构造特殊数列法 因为 ，所以(n+1)an+1=nan， 所以数列nan是常数列， 所以nan=1a1=1，所以an= .,【方法技巧】 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项). (2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.,2.递推公式的常见类型及通项公式的求法 (1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式. 将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2
11、)+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n-1).,(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式. 将原递推公式转化为 =f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由 =f(1)， =f(2)， = f(n-1)，累乘可得 =f(1)f(2)f(n-1).,【补偿训练】在数列an中，a1=2，且an+1=an+ log2(1+ )，则an=_.,【解析】由an+1=an+log2(1+ )知， an+1-an=log2(1+ )， 则a2-a1=log2( )，a3-a2=log2( )， a4-a3=log2( )， an-an-1=log2( ).,累加得，an-
12、a1=log2( ) +log2( ) +log2( ) + +log2( ) =log2( )=log2n， 所以an=2+log2n. 答案：2+log2n,易错案例 由递推公式求数列中的项 【典例】(2015烟台高二检测)在数列an中，若a1=2，且对所有nN*满足an=an+1+2，则a2016=_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：求通项公式时，采用累加法漏掉了a1，错解为an=-2n+2.,【自我矫正】由题意知an+1-an=-2， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1 =-2(n-1)+2=-2n+4， 所以a2 016=-22 016+4=-4 028. 答案：-4 028,【防范措施】解决与递推公式相关问题的两个关注点 (1)明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函数，有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例中an+1-an=-2即为an+1-an=f(n)的类型，求通项公式时要写成an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1的形式.,(2)明确项数：在采用“累加法”或“累乘法”时，要注意有多少项.如本题中，采用累加法共有(n-1)个-2，而不是n个.,