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1、2.5等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和,1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法. 2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.,等比数列前n项和公式,1.等比数列 的前10项和等于() 【解析】选C.因为数列 是首项为 ，公比为 的 等比数列，所以S10=,2.等比数列 从第3项到第7项的和为. 【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数 列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和 为S=,方法二：由题意得，此等比数列的首项为 ，公比为 ， 所以S7= ，所以从第3项到第7项的和为 答案：,3.对于等比数列an，若a1=5，q=2，S
2、n=35，则an=. 【解析】由Sn= ，得an= =20. 答案：20,一、等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列an的前n项和为Sn=a1+a2+an， 即Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1. 用q同乘以式的两边，得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1+a1qn -得(1-q)Sn=a1-a1qn， 当q1时，得Sn=,探究1：式两边为什么要同乘以q？ 提示：根据等比数列的定义，式两边同乘以q，可以使所得到的式子与式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，得到有限项，从而求出数列的前n项和. 探究2：式减式的目的是什么？ 提示
3、：式减式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限项.,探究3：在推导Sn= (q1)的过程中，限制了q1， 当q=1时，Sn等于多少呢？ 提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和 Sn=na1.,【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列an的前n项和时，要注意公比是否为1，要分情况选取合适的公式求解.,【拓展延伸】等比数列的前n项和公式的其他推导方法 方法一：Sn= a1+a2+an =a1+a1q+a1q2+a1qn-1(等比数
4、列定义) =a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2)=a1+qSn-1 =a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)， 所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q1， 所以Sn=,方法二：Sn=a1+a2+an=a1+a1q+a2q+an-1q(等比数列定义) =a1+q(a1+a2+an-1)=a1+q(Sn-an) =a1+qSn-anq， 所以(1-q)Sn=a1-anq，因为q1， 所以Sn=,方法三：q= (等比数列定义) (比例的性质)， 所以q(Sn-an)=Sn-a1，(1-q)Sn=a1-anq. 因为q1，所以Sn=,二、等比数列前n项和的
5、性质 根据Sn= (q1)探究以下问题：,探究1：一个数列an的前n项和写成Sn=Aqn+B(q1)，若此数 列是等比数列，则A+B=0吗？反之成立吗？ 提示：等于.反之也成立.因为Sn= 则常数项与qn的系数互为相反数，即A+B=0.反之，若A+B=0， 则数列是等比数列.当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1). 当n2时，an=Sn-Sn-1 =Aqn-Aqn-1=(q-1)Aqn-1， 又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1， 所以an=A(q-1)qn-1，所以an是等比数列.,探究2：若数列an为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk，S2k
6、-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比为多少？ 提示：Sk=a1+a2+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+a2k=qk(a1+a2+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a3k=q2k(a1+a2+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为Sk，公比为qk.,【探究总结】等比数列前n项和的四条常用性质 (1)数列an是等比数列，则Sn=Aqn-A(A0). (2)若等比数列an共有2n项，则 =q. (3)如果an为公比为q的等比数列，对m，pN*有 Sm+p=Sm+qmSp. (4)若等比数列an的前n项和为
7、Sn，则Sm，S2m-Sm， S3m-S2m，成公比为qm的等比数列.,类型一等比数列前n项和的基本计算 1.(2013新课标全国卷)设首项为1，公比为 的等比数列 an的前n项和为Sn，则() A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an,2.(2013大纲版全国卷)已知数列an满足3an+1+an=0， a2= 则an的前10项和等于() A.-6(1-3-10)B. (1-3-10) C.3(1-3-10)D.3(1+3-10) 3.设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3， 求此数列的公比q.,【解题指南】1.利用等比数列的前n项和公
8、式Sn= 或利 用Sn= 结合an求解. 2.由3an+1+an=0求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式 确定数列的前10项的和. 3.分情况讨论，当q1时，根据S3=3a3建立首项与公比的方程 求解.,【自主解答】1.选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比 为 Sn= 所以Sn=3-2an. 方法二：结合Sn= 观察四个选项可知选D.,2.选C.因为3an+1+an=0，则 又a2= 所以a1=4，所 以数列an是首项为a1=4，公比q= 的等比数列.故S10= 3.当q=1时，S3=3a3，符合题意； 当q1时，由S3=3a3，得 =3a1q2， 因为a10，所以1-q3=3q2(
9、1-q)， 所以(q-1)2(2q+1)=0，所以q= 综上，q=1或q=,【延伸探究】题3中，若S3=2S2，则公比q等于多少. 【解析】由题意知q1，a10，由S3=2S2得， 所以q3-2q2+1=0， 即(q-1)(q2-q-1)=0，解得q=,【规律总结】等比数列前n项和运算的注意事项 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. (2)对于等比数列有关基本量的计算，列方程组求解是常用方法，通常用约分或相除的方法进行消元. (3)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个基本量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常利
10、用列方程组的方法来解决.,类型二等比数列前n项和性质的简单应用 1.(2014石家庄高二检测)已知等比数列的前4项的和为1，且公比q=2，则数列的前8项的和等于() A.17B.16C.15D.14 2.(2015重庆高二检测)已知Sn为等比数列an的前n项和，若S6=1，S12=3，则S18=. 3.一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.,【解题指南】1.根据S4与S8-S4的关系求出S8-S4，再求S8. 2.根据性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列求解. 3.可设出数列的奇数项之和和偶数项之和，根据所有项之和等于偶数项之
11、和的4倍，找出奇数项之和与偶数项之和的关系，进而求出公比，再求出首项，即可得出通项.,【自主解答】1.选A.因为a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16，所以S8=16+1=17. 2.根据Sn为等比数列an的前n项和， 有(S12-S6)2=S6(S18-S12)， 将S6=1，S12=3代入，计算得S18=7. 答案：7,3.设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之 和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶. 因为数列an的项数为偶数，所以有q= 又因为a1a1qa1q2=64，所以a13q3=64，即a1=12，故所 求通项公式为an=,【
12、规律总结】等比数列前n项和性质应用的关注点 (1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解. (2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，成等比数列.,【拓展延伸】等比数列各项乘积的性质 在等比数列an中，公比为q，Tn为其前n项的积，则Tn， ， 成等比数列： 因为Tn=a1a2an， T2n=a1a2anan+1a2n =(a1a2an)(a1qnanqn) =(a1a2an)2qn2=Tn2qn2，,T3n=a1a2a2na2n+1a3n =Tn2qn2(a1q2nanq2
13、n)=Tn2qn2(a1an)q2n2=Tn3q3n2. 又 所以Tn， ， 成等比数列，且公比为qn2.,【变式训练】各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n=.,【解析】设S2n=x，S4n=y，则2，x-2，14-x，y-14成等比数 列，所以 所以 或 (舍去)，所以S4n=30. 答案：30,【加固训练】若等比数列an的公比为 ，且a1+a3+a99 =60，则an的前100项和为. 【解析】令X=a1+a3+a99=60，Y=a2+a4+a100， 则S100=X+Y， 由等比数列前n项和性质知： =q= ， 所以Y=20，即：S100=X+Y
14、=80. 答案：80,类型三数列在生活中的应用 1.(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于. 2.(2014包头高二检测)从盛满aL(a1)纯酒精的容器里倒出1L，然后灌满水，现倒出1L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液中酒精的质量分数是多少？ 若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%？,【解题指南】1.转化为等比数列前n项和的问题. 2.分别求出操作1次，2次，3次后溶液的质量分数，从而得出操作n+1次与第n次的关系，进而求解.,【自主解答】1.记第n天植树的棵
15、数为an，则数列an是以2为 首项，2为公比的等比数列，由Sn= 100得最少天数 为6. 答案：6,2.由题意得a1=1- ，操作2次后溶液中酒精的质量分数为 操作第3次后溶液中酒精的质量分数是a3=a2 ，依题意得： an+1=an 所以an是以1- 为首项，1- 为公比的等比数列. 所以an=a1qn-1=,即第n次操作后酒精的质量分数为 当a=2时，由an= 得n4， 所以至少应倒4次后才能使酒精的质量分数低于10%.,【规律总结】解决数列应用题的思路和方法 (1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是
16、求Sn.,(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来. (3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. 提醒：数列应用问题，搞清是求通项还是前n项和是解题的关键.,【变式训练】一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？,【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得 an+1= an，因此，数列an是首项a1=25，公比q= 的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn=a1+a2+an
17、= 所以这个热气球上升 的高度不能超过125m.,【加固训练】为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2016年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2016年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式. (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2016年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.,【解析】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1=a，公比q=1-10%=0.9，所以an=a0.9n-1(nN*). (2)10年的出口总量S10= =10a(1-0.910)，因为S1080，所以10a(1-0.910)80，即 a ，所以a12.3.故2016年最多出口12.3吨.,