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1、第2课时 数列的通项公式与递推公式,1.会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题. 2.体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.,数列的递推公式 如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_(或前几项)(n2，nN*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式.,an-1,1.已知数列an满足a1=1，an=2an-1+1(n2)，则a5=() A.7B.15C.20D.31 【解析】选D.因为a1=1，an=2an-1+1(n2)，所以a2=3
2、，a3=7，a4=15，所以a5=2a4+1=31.,2.数列an中，a1=-1，an+1=an-2，则a3=. 【解析】因a1=-1，an+1=an-2. 所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5. 答案：-5,3.数列an中a1=3，an+1=an+4，则它的第5项是 . 【解析】a1=3，an+1=an+4，则a2=7，a3=11，a4=15，a5=19. 答案：19,数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：,探究1：
3、根据数列的递推公式如何求数列中的项？ 提示：根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就可依次求出数列中的其他项.,探究2：若仅由数列an的递推关系an=ban-1+c(n2，nN*)，能否确定数列an的每一项？ 提示：仅由数列an的递推关系an=ban-1+c(n2，nN*)，只能确定数列an中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的每一项.而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项或前几项.,探究3：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？ 提示：数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化.但有些递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不一定能互相转化.,【探究总结】数列递推
4、公式与通项公式的区别与联系,类型一数列通项公式的应用 1.数列an的通项公式为an=3n2-28n，则数列an各项中最小项是() A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项 2.数列an的通项公式为an=n2-5n+4(nN*)，问： (1)数列中有多少项为负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.,【解题指南】1.用函数的观点看待通项公式，是开口向上的抛物线，越接近对称轴的函数值越小. 2.数列的通项公式an与n是函数关系，本题为二次式，需结合二次函数知识探求，当然不能忘记n的取值范围.,【自主解答】1.选B.由an=3n2-28n= 又n为正整数，故当n=5时an取最小值. 2.
5、(1)由an为负数，得n2-5n+40，解得1n4. 因为nN*，所以n=2，3.故数列有两项为负数. (2)因为an=n2-5n+4= ，所以对称轴为n= =2.5. 又因nN*，故n=2或3时，an有最小值. 其最小值为22-52+4=-2.,【规律总结】数列最大项或最小项的求法 (1)利用单调性，确定n的取值或范围，从而确定最大或最小项. (2)通过解不等式组 (nN*，n1)求出最大项是第几 项；通过 (nN*，n1)求出最小项是第几项.,【变式训练】已知数列an的通项公式为 则当an取得最大值时，n等于. 【解析】由题意知 所以 解得 所以n=5或6. 答案：5或6,类型二由递推公式
6、求数列的项 1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项为.,2.数列an中，a1=1，对所有的n2都有a1a2a3 an=n2，则a3+a5等于() A.B.C.D. 3.已知数列an中，a1=1，an+3an+3，an+2an+2，求a2013.,【解题指南】1.阅读框图，得到递推公式，求出前5项. 2.根据已知，写出a1a2an-1=(n-1)2，可以求出an. 3.利用递推关系推导2013a20132013.,【自主解答】1.根据框图，数列的递推公式为 数列的前5项依次为：1， 答案：1，,2.选A.因为a1a2an=n2， 所以a1a2an-1=(n-1)2， 所以an= (
7、n2)， 所以 所以,3.由an+2an+2得 a2013a2011+2a2009+22a1+21006=2013， 由an+2an+2得anan+2-2， 又an+3an+3得an+3an+3an+2+1，于是 a2013a2012+1a2011+21a2010+31a2009+41a1+20121=2013，所以a2013=2013.,【规律总结】已知递推公式求数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.若数列前几项各项间规律明显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的每一项.,【变式训练】(2014巢湖高二检测)在各项均
8、为正数的数列 an中，任意m，nN*都有am+n=aman.若a6=64，则a9等于 () A.256B.510C.512D.1024,【解析】选C.在各项均为正数的数列an中， 对任意m，nN*都有am+n=aman. 所以a12=a6a6=642， 又a6=a3a3，所以a3=8， 所以a12=a9a3，解得a9= =512.,类型三利用递推公式研究数列 1.已知an中，a1=1， 则数列an的通项公式是() A.an=2nB.an= C.an=D.an=,2.已知数列an满足：a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 (n2)，则an的通项an= 3.已知数列an满足a1
9、=2，an+1=2an，写出数列的前4项，猜 想数列的通项公式并加以证明.,【解题指南】1.写出数列的前几项，观察得出数列的通项公式. 2.利用方程进行等价转化找数列an的项an与前一项an-1之间的关系. 3.根据递推公式可以逐个写出前4项，用累乘法证明.,【自主解答】1.选C.a1=1，a2= ，a3= ，a4= ， 观察得an= 2.由已知得：an=a1+2a2+(n-2)an-2+(n-1)an-1(n2)， an-1=a1+2a2+(n-2)an-2(n3). 两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n3)， 所以an=nan-1，即 =n(n3)，,所以 =345(n-1)
10、n， 所以 (n3). 又因为a1=1，a2=a1=1，所以an= (n2). 答案：,3.由a1=2，an+1=2an，得 a2=2a1=4=22，a3=2a2=222=23，a4=2a3=223=24， 猜想an=2n(nN*). 证明如下： 由a1=2，an+1=2an， 得 所以 =2222=2n.,【规律总结】由递推公式求数列的通项公式的两种方法 (1)观察归纳法： 根据递推公式，求出数列的前几项； 通过前几项观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变，初步归纳出公式； 取n的特殊值进行检验，判断得到的通项公式是否正确.,(2)递推公式法： 观察数列相邻两项间的递推关系，将它们一般化； 得到数列的普遍的递推关系； 通过代数方法由递推关系求出通项公式.,【变式训练】设数列an，a1=0，an+1= ，写出数列的 前4项，并归纳出该数列的一个通项公式. 【解析】a1=0， 直接观察可以发现a3= 可写成a3= ， 这样可知an= (n2).当n=1时， =0=a1， 所以an=,