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1、第2课时数列的通项公式与递推公式【知知识识提提炼炼】数列的数列的递递推公式推公式如果已知数列如果已知数列aan n 的第的第1 1项项(或前几或前几项项)，且任何一，且任何一项项a an n与与_间间的关系可以用一个公式来的关系可以用一个公式来表示，那么表示，那么这这个公式就叫做个公式就叫做这这个数列的个数列的递递推公式推公式.它的前一它的前一项项(或前几或前几项项)【即即时时小小测测】1.1.思考下列思考下列问题问题(1)(1)所有数列都有所有数列都有递递推公式推公式吗吗？提示：提示：不一定不一定.例如例如 精确到精确到1 1，0.10.1，0.010.01，0.0010.001，的不足近似
2、值排列成一列数：的不足近似值排列成一列数：1 1，1.41.4，1.411.41，1.4141.414，没有递推公式没有递推公式.(2)(2)仅仅由数列由数列aan n 的关系式的关系式a an n=a=an-1n-1+2(n2+2(n2，nNnN*)就能就能确定确定这这个数列个数列吗吗？提示：提示：不能不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的么这个数列是不能确定的.2.2.已知数列已知数列aan n 满满足足a a1 100，且，且a an+
3、1n+1=a=an n，则则数列数列aan n 是是()A.A.递递增数列增数列 B.B.递递减数列减数列C.C.常数列常数列 D.D.摆动摆动数列数列【解析解析】选选B.B.由由a a1 100，且，且a an+1n+1=a=an n，则则a an n00，又，又 11，所以，所以a an+1n+1aan n.因此数列因此数列aan n 为递减数列为递减数列.3.3.数列数列 的的递递推公式可以是推公式可以是()A.aA.an n=(nN=(nN*)B.a)B.an n=(nN=(nN*)C.aC.an+1n+1=a=an n(nN(nN*)D.a)D.an+1n+1=2a=2an n(nN
4、(nN*)【解析解析】选选C.C.数列从第二项起，后一项是前一项的数列从第二项起，后一项是前一项的 ，故递推公式为，故递推公式为a an+1n+1=a=an n(nN(nN*).).4.4.在数列在数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=1=1，a an n=(n2)=(n2)，则则a a5 5=_.=_.【解析解析】由由a a1 1=1=1，a an n=得得a a2 2=2=2，a a3 3=，a a4 4=，a a5 5=.=.答案：答案：5.5.若数列若数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，且，且a an+1n+1=(n=(n是正整数是正整数)，则则数数列的通列的通项项公
5、式公式a an n=_.=_.【解析解析】a a1 1=2=2，a a2 2=2=22 2，a a3 3=2=24 4，a a4 4=2=28 8，猜想，猜想a an n=答案：答案：【知识探究知识探究】知知识识点点 递递推公式推公式观观察察图图形，根据下面的形，根据下面的说说明，回答明，回答问问题题：某某剧场剧场有有9 9排座位，第一排有排座位，第一排有7 7个座位，从第二排起，个座位，从第二排起，后一排都比前一排多后一排都比前一排多2 2个座位个座位(如如图图).).问题问题1 1：写出前五排座位数，并考：写出前五排座位数，并考虑虑第第n n排与第排与第n+1n+1排座排座位数有何关系，第
6、位数有何关系，第n n排座位数排座位数a an n与第与第n+1n+1排座位数排座位数a an+1n+1能能用等式表示用等式表示吗吗？问题问题2 2：由：由递递推公式推公式给给出一个数列需具出一个数列需具备备几个条件？几个条件？【总结总结提升提升】1.1.由由递递推公式推公式给给出一个数列的两个条件出一个数列的两个条件用用递递推公式推公式给给出一个数列，必出一个数列，必须给须给出：出：“基基础础”数列数列aan n 的第的第1 1项项或前几或前几项项；递递推关系推关系数列数列aan n 的任一的任一项项a an n与它的前一与它的前一项项a an-1n-1(或前几或前几项项)之之间间的关系，并
7、且的关系，并且这这个关系可以用一个公式个关系可以用一个公式来表示来表示.2.2.通项公式与递推公式的异同点通项公式与递推公式的异同点不同点不同点相同点相同点通通项项公式公式可根据某可根据某项项的序号，直的序号，直接用代入法求出接用代入法求出该项该项都可确定一个数列，都可确定一个数列，都可求出数列的任何都可求出数列的任何一一项项递递推推公式公式可根据第可根据第1 1项项或前几或前几项项的的值值，通，通过过一次或多次一次或多次赋赋值值逐逐项项求出数列的求出数列的项项，直至求出所需的直至求出所需的项项都可确定一个数列，都可确定一个数列，都可求出数列的任何都可求出数列的任何一一项项【题型探究题型探究】
8、类类型一型一 由由递递推公式写数列的推公式写数列的项项【典例典例】1.(20151.(2015广州高二广州高二检测检测)在数列在数列aan n 中，已中，已知知a a1 1=，a an n=(-1)=(-1)n n2a2an-1n-1(n2)(n2)，则则a a4 4等于等于()A.-2A.-2B.2B.2C.-4C.-4D.4D.42.2.已知数列已知数列aan n 满满足足a a1 1=1=1，以后的各，以后的各项项由公式由公式a an+1n+1=给给出，出，试试写出写出这这个数列的前个数列的前5 5项项.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中，已知中，已知a a1 1，怎，怎样样求
9、求a a2 2？进进而怎而怎样样求求a a3 3，a a4 4？提示：提示：在递推公式中令在递推公式中令n=2n=2，3 3，4 4，结合，结合a a1 1的值即可以的值即可以求出数列的前几项求出数列的前几项.2.2.典例典例2 2中求数列前中求数列前5 5项项的关的关键键是什么？是什么？提示：提示：关键是利用关键是利用a a1 1及递推关系求解及递推关系求解.【解析解析】1.1.选选C.C.对对n n依次取依次取2 2，3 3，4 4得得a a2 2=(-1)=(-1)2 22 2 =1 =1，a a3 3=(-1)=(-1)3 32 21=-21=-2，a a4 4=(-1)=(-1)4
10、42 2(-2)=-4.(-2)=-4.2.2.因为因为a a1 1=1=1，a an+1n+1=，所以，所以a a2 2=a a5 5=故该数列的前故该数列的前5 5项为项为【延伸探究延伸探究】若典例若典例2 2中中“a an+1n+1=”变为变为“a an+1n+1=”，其他条件不，其他条件不变变，结论结论如何？如何？【解析解析】因为因为a a1 1=1=1，a an+1n+1=，所以，所以a a2 2=1=1，a a3 3=1=1，a a4 4=1=1，a a5 5=1.=1.故该数列的前故该数列的前5 5项为项为1 1，1 1，1 1，1 1，1.1.【方法技巧方法技巧】由由递递推公式
11、写出数列的推公式写出数列的项项的方法的方法(1)(1)根据根据递递推公式写出数列的前几推公式写出数列的前几项项，首先要弄清楚公，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入式中各部分的关系，依次代入计计算即可算即可.(2)(2)若知道的是末若知道的是末项项，通常将所，通常将所给给公式整理成用后面的公式整理成用后面的项项表示前面的表示前面的项项的形式的形式.(3)(3)若知道的是首若知道的是首项项，通常将所，通常将所给给公式整理成用前面的公式整理成用前面的项项表示后面的表示后面的项项的形式的形式.【变变式式训练训练】(2015(2015西安高二西安高二检测检测)数列数列aan n 满满足足a an+
12、1n+1=，若，若a a1 1=，则则a a2 0142 014=(=()【解析解析】选选A.A.因为因为a a1 1=，所以，所以a a2 2=2a=2a1 1-1=-1=，所以所以a a3 3=2a=2a2 2=，a a4 4=2a=2a3 3=，所以所以a a5 5=2a=2a4 4-1=-1=，a a6 6=2a=2a5 5-1=-1=，a a7 7=2a=2a6 6=，a a8 8=2a=2a7 7=，所以所以a an+4n+4=a=an n，nNnN*，所以，所以a a20142014=a=a4 4503+2503+2=a=a2 2=.=.【补偿训练补偿训练】数列数列aan n 中
13、中a a1 1=1=1，a a2 2=3=3，-a-an-1n-1a an+1n+1=(-1)(-1)n-1n-1(n2)(n2)，那么，那么a a4 4=_.=_.【解析解析】令令n=2n=2，得，得 -a-a1 1a a3 3=-1=-1，所以，所以a a3 3=10.=10.令令n=3n=3，得，得 -a-a2 2a a4 4=(-1)=(-1)2 2，所以，所以a a4 4=33.=33.答案：答案：3333类类型二型二 由数列的由数列的递递推公式求通推公式求通项项公式公式【典例典例】1.1.已知数列已知数列aan n 满满足足a a1 1=1=1，a an n=a=an-1n-1+(
14、n2)(n2)，则则a an n=_.=_.2.2.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，且，且a an+1n+1=3a=3an n(nN(nN*).).(1)(1)写出写出这这个数列的前个数列的前5 5项项.(2)(2)猜想数列猜想数列aan n 的通的通项项公式并加以公式并加以证证明明.【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中，可中，可对递对递推公式作何种推公式作何种变变形？形？提示：提示：将递推公式作移项，将其变形为将递推公式作移项，将其变形为a an n-a-an-1n-1=再分别令再分别令n=2n=2，3 3，4 4，n-1n-1，n n后将后将这这n-1n-
15、1个等式相加个等式相加.2.2.典例典例2 2中，中，递递推公式反映了数列有何特征？推公式反映了数列有何特征？提示：提示：将将a an+1n+1=3a=3an n变形为变形为 =3=3，数列中后一项与前一项，数列中后一项与前一项的比是常数的比是常数3.3.【解析解析】1.1.由由a an n=a=an-1n-1+(n2)+(n2)，可得，可得，a an n-a-an-1n-1=(n2)=(n2)，所以所以a a2 2-a-a1 1=1-=1-，a a3 3-a-a2 2=-=-，a a4 4-a-a3 3=-=-，a an n-a-an-1n-1=将各式累加得将各式累加得a an n-a-a1
16、 1=1-=1-，又因为，又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n=2-.=2-.又又a a1 1=2-=1=2-=1，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=2-.=2-.答案：答案：2-2-2.(1)2.(1)因为因为a a1 1=1=1，且，且a an+1n+1=3a=3an n所以所以a a2 2=3=31=31=31 1，a a3 3=3=33=33=32 2，a a4 4=3=39=39=33 3，a a5 5=3=327=327=34 4.(2)(2)由由(1)(1)猜想数列猜想数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=3=3n-1n-1(nN(nN*).)
17、.证明：因为证明：因为a an n=3a=3an-1n-1(n2)(n2)，所以，所以 =3=3，所以所以 =3=3n-1n-1，又又a a1 1=1=1，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=3=3n-1n-1(nN(nN*).).【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换变换条件条件)若典例若典例2 2中中“a a1 1=1=1，且，且a an+1n+1=3a=3an n”变为变为“a a1 1=2=2，且，且a an+1n+1=a=an n”，则则通通项项公式如何？公式如何？【解析解析】因为因为a an n=a=an-1n-1(n2)(n2)，所以，所以所以所以所以所以a an n=2=
18、2又又a a1 1=2=2，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=2=2 (nN (nN*).).2.(2.(变换变换条件条件)若典例若典例2 2中中“a an+1n+1=3a=3an n”变为变为“a an+1n+1=a an n”，通，通项项公式如何？公式如何？【解析解析】方法一：累乘法方法一：累乘法因为因为所以所以 所以所以又因为又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n=方法二：迭代法方法二：迭代法因为因为a an+1n+1=a=an n，所以，所以a an n=a an-1n-1=a an-2n-2=a an-3n-3=a a1 1=a=a1 1.又因为又因为a a1
19、1=1=1，所以，所以a an n=.=.方法三：构造特殊数列法方法三：构造特殊数列法因为因为 ，所以，所以(n+1)a(n+1)an+1n+1=na=nan n，所以数列所以数列nanan n 是常数列，是常数列，所以所以nanan n=1=1a a1 1=1=1，所以，所以a an n=.=.【方法技巧方法技巧】1.1.由由递递推公式写出通推公式写出通项项公式的步公式的步骤骤(1)(1)先根据先根据递递推公式写出数列的前几推公式写出数列的前几项项(至少是前至少是前3 3项项).).(2)(2)根据写出的前几根据写出的前几项项，观观察察归纳归纳其特点，并把每一其特点，并把每一项项统统一形式一
20、形式.(3)(3)写出一个通写出一个通项项公式并公式并证证明明.2.2.递递推公式的常推公式的常见类见类型及通型及通项项公式的求法公式的求法(1)(1)求形如求形如a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)的通的通项项公式公式.将原来的将原来的递递推公式推公式转转化化为为a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)，再用累加法，再用累加法(逐差相加法逐差相加法)求解，即求解，即a an n=a=a1 1+(a+(a2 2-a-a1 1)+(a)+(a3 3-a-a2 2)+)+(a+(an n-a an-1n-1)=a)=a1 1+f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(
21、2)+f(3)+f(n-1).+f(n-1).(2)(2)求形如求形如a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n的通的通项项公式公式.将原将原递递推公式推公式转转化化为为 =f(n)=f(n)，再利用累乘法，再利用累乘法(逐商逐商相乘法相乘法)求解，即由求解，即由 =f(1)=f(1)，=f(2)=f(2)，=f(n-1)f(n-1)，累乘可得，累乘可得 =f(1)f(2)=f(1)f(2)f(n-1).f(n-1).【补偿训练补偿训练】在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，且，且a an+1n+1=a=an n+loglog2 2(1+)(1+)，则则a an n=_.
22、=_.【解析解析】由由a an+1n+1=a=an n+log+log2 2(1+)(1+)知，知，a an+1n+1-a-an n=log=log2 2(1+)(1+)，则则a a2 2-a-a1 1=log=log2 2()()，a a3 3-a-a2 2=log=log2 2()()，a a4 4-a-a3 3=log=log2 2()()，a an n-a-an-1n-1=log=log2 2().().累加得累加得，a an n-a-a1 1=log=log2 2()()+log+log2 2()()+log+log2 2()()+log+log2 2()()=log=log2 2(
23、)()=log=log2 2n n，所以所以a an n=2+log=2+log2 2n.n.答案：答案：2+log2+log2 2n n易易错错案例案例 由由递递推公式求数列中的推公式求数列中的项项【典例典例】(2015(2015烟台高二烟台高二检测检测)在数列在数列aan n 中，若中，若a a1 1=2=2，且，且对对所有所有nNnN*满满足足a an n=a=an+1n+1+2+2，则则a a20162016=_.=_.【失失误误案例案例】【错错解分析解分析】分析解分析解题过题过程，你知道程，你知道错错在哪里在哪里吗吗？提示：提示：求通项公式时，采用累加法漏掉了求通项公式时，采用累加法
24、漏掉了a a1 1，错解为，错解为a an n=-2n+2.=-2n+2.【自我矫正自我矫正】由题意知由题意知a an+1n+1-a-an n=-2=-2，所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(an-2n-2-a-an-3n-3)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=-2(n-1)+2=-2n+4=-2(n-1)+2=-2n+4，所以所以a a2 0162 016=-2=-22 016+4=-4 028.2 016+4=-4 028.答案：答案：-4 028-4 028【防范措施防范措施】解决与
25、解决与递递推公式相关推公式相关问题问题的两个关注点的两个关注点(1)(1)明确明确递递推公式推公式类类型：因型：因为为数列是一个特殊的函数，数列是一个特殊的函数，有有时时可以借助于函数知可以借助于函数知识识，记记住住类类型找方法，如本例型找方法，如本例中中a an+1n+1-a-an n=-2=-2即即为为a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)的的类类型，求通型，求通项项公式公式时时要要写成写成a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(an-2n-2-a-an-3n-3)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1的形式的形式.(2)(2)明确明确项项数：在采用数：在采用“累加法累加法”或或“累乘法累乘法”时时，要注意，要注意有多少有多少项项.如本如本题题中，采用累加法共有中，采用累加法共有(n-1)(n-1)个个-2-2，而，而不是不是n n个个.