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1、学习好资料欢迎下载二次函数及其图象【课前热身】1. 向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx. 若此炮弹在第7 秒与第14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（）A 第 8 秒 B 第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒2. 在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为（）A 222xyB 222xyC 2)2(2 xyD2)2(2 xy3. 抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A （2，3） B （ 2，3） C （ 2， 3） D （ 2，3）4. 二次函数2(1)2yx的最小值是（） A 2 B
2、 1 C 3 D235. 抛物线 y=2x24x 5经过平移得到y=2x2，平移方法是（） A向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位 B向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位 C向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位 D向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位【参考答案】1.B 2.B 3.A 4.A 5.D 【考点聚焦】知识点二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向大纲要求1 理解二次函数的概念；2 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3 会平移二次函数yax2(a0) 的图象得到二次函数ya(ax m)2k 的图象，了解特
3、殊与一般相互联系和转化的思想；4 会用待定系数法求二次函数的解析式；5 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系. 【备考兵法】考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m 2 额图象经过原点，则 m的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykx b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数ykx2 bx1 的图
4、象大致是（） y y y y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习好资料欢迎下载y x O 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6)两点，对称轴为x53，求这条抛物线的解析式. 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线yax2bxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是 1、3，与 y 轴
5、交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查 代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着 y 轴（上“” ，下“”）平移 k（k0）个单位得到函数y=ax2k，将 y=ax2沿着 x 轴（右“” ，左“”）平移 h（h0）个单位得到y=a（ xh）2 ?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿 x轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）【考点链接】1. 二次函数2()ya xhk的图象和性
6、质a0 a0 图象开口对 称 轴顶点坐标最值当x 时 ， y 有 最值当x， y 有最值增减性在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而2. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中h，k . 3. 二次函数2()ya xhk的图象和2axy图象的关系 . 4. 二次函数cbxaxy2中cba,的符号的确定 . 【典例精析】例 1 已知：二次函数为y=x2 x+m ， （1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （ 2）m为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛
7、物线于另一点B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x 轴的上方， ?即顶点的纵坐标为正；（3）ABx 轴， A， B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值【解答】（1）由已知y=x2x+m中，二次项系数a=10，开口向上，又 y=x2x+m=x2x+（12）2 14+m= （x12）2+414m对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m） （2）顶点在x 轴上方，顶点的纵坐标大于0，即414m0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习好资料欢迎下载m14
8、m14时，顶点在x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m即抛物线 y=x2x+m与 y 轴交点的坐标是A（0，m ） AB x 轴B点的纵坐标为m 当 x2x+m=m 时，解得x1=0， x2=1A（0，m ） ，B（1，m ）在 Rt BAO中， AB=1 ，OA= m SAOB =12OA AB=4 12m 1=4， m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a， b，c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处会用待定系数法求二次函数解析式例 2(20XX 年湖北武汉 ) 如图，抛物线24yaxbxa经过( 1 0)A，、
9、(0 4)C，两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D mm，在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下， 连接BD，点P为抛物线上一点，且45DBP，求点P的坐标【分析】（ 1）中用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）中考查象限，点关于直线的对称点求法； （3）中主要是做出正确的辅助线求解，进而求出点的坐标. 【答案】解：（1）抛物线24yaxbxa经过( 1 0)A，(0 4)C，两点，4044.abaa，解得13.ab，抛物线的解析式为234yxx（2）点(1)D mm，在抛物线上，2134mmm，即2230mm，1m或3m
10、点D在第一象限，点D的坐标为(3 4)，y x O A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习好资料欢迎下载由（ 1）知45OAOBCBA，设点D关于直线BC的对称点为点E(0 4)C，CDAB，且3CD，45ECBDCB，E点在y轴上，且3CECD1OE，(0 1)E，即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0， 1） （3）方法一：作PFAB于F，DEBC于E由（ 1）有：445OBOCOBC，45DBPCBDPBA ，(0 4)(3 4)CD，CDOB且3CD45DCECBO，3 22DECE4OBOC，
11、4 2BC，5 22BEBCCE，3tantan5DEPBFCBDBE设3PFt，则5BFt，54OFt，( 54 3 )Ptt，P点在抛物线上，23( 54)3( 54)4ttt，0t（舍去）或2225t，2 665 25P，方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q， 过点D作DHx轴于H 过Q点作QGDH于G45PBDQDDB ，y x O A B C D E y x O A B C D E P F y x O A B C D P Q G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习好资料欢迎下载QDGBDH9
12、0，又90DQGQDG，DQGBDHQDGDBH，4QGDH，1DGBH由（ 2）知(3 4)D，( 13)Q，(4 0)B，直线BP的解析式为31255yx解方程组23431255yxxyx，得1140 xy，；222566.25xy，点P的坐标为2 665 25，【迎考精练】一、选择题1.(20XX 年上海市 ) 抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A()mn，B()mn，C()mn，D()mn，2.(20XX 年陕西省 ) 根据下表中的二次函数cbxaxy2的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（）x 1 0 1 2 y 1 472 47A只有一个交点
13、B有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C有两个交点，且它们均在y 轴同侧D无交点3.（20XX年湖北荆门）函数y=ax1 与y=ax2bx 1（a0）的图象可能是（）4.（20XX年广东深圳）二次函数cbxaxy2的图象如图2 所示，若点A（1，y1） 、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与 y2的大小关系是（）A21yyB21yyC21yyD不能确定5. （20XX 年湖北孝感）将函数2yxx的图象向右平移a(0)a个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为A 1 B 2 C3 D4 6.（20XX年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线
14、关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A22yxxB22yxxC.22yxxABCD1111xo yyo xyo xxo y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习好资料欢迎下载D22y xx7. （20XX 年四川遂宁）把二次函数3412xxy用配方法化成khxay2的形式A.22412xy B. 42412xyC.42412xy D. 321212xy8.(20XX 年河北 ) 某车的刹车距离y（m ）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数2120yx （x0） ，若该车某次的
15、刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（）A40 m/s B20 m/s C10 m/s D5 m/s 二、填空题1. （20XX年北京市）若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中,m k为常数，则mk= . 2. （20XX年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12，14） ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3. （20XX年湖南郴州）抛物线23(1)5yx= -+的顶点坐标为 _4.（20XX年内蒙古包头） 已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0)，、1(0)x，且112x，与y轴的正半轴的交点在(0 2)，的下方下列结论：420abc；
16、0ab；20ac；210ab其中正确结论的个数是个5. （20XX年湖北襄樊）抛物线2yxbxc的图象如图所示，则此抛物线的解析式为6. （20XX年湖北荆门）函数(2)(3)yxx取得最大值时，x_三、 解答题1.（20XX年湖南衡阳） 已知二次函数的图象过坐标原点， 它的顶点坐标是 （1，2） ，求这个二次函数的关系式2.（20XX年湖南株洲） 已知ABC为直角三角形，90ACB，ACBC, 点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m） （0m） ，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示） ；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P
17、至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：()FC ACEC为定值3.（20XX 年 湖 南 常 德 ）已知二次函数过点A（0，2） ，B（1，0） ，C（5 94 8，） （1）求此二次函数的解析式；yxQPFEDCBAOy x=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习好资料欢迎下载（2）判断点M（ 1，12）是否在直线AC上？（3）过点M（1，12）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明BEF是直角三角形4.(2
18、0XX 年陕西省 ) 如图，在平面直角坐标系中，OB OA ，且 OB 2OA ，点 A 的坐标是( 1，2) （1）求点 B的坐标；（2）求过点 A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接 AB ，在（ 2）中的抛物线上求出点P，使得 SABPSABO5.(20XX 年湖北黄冈 ) 新星电子科技公司积极应对20XX年世界金融危机， 及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月
19、）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一 部分，且点A，B，C的横坐标分别为4， 10，12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3） 前 12 个月中， 第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？第 3题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
20、- - -第 7 页，共 14 页学习好资料欢迎下载6.（20XX年内蒙古包头） 某商场试销一种成本为每件60 元的服装， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45% ，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数， 且时，；时，（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价的范围7. （20XX年福建漳州）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结（1）B、C两点坐标分别为B（ _，
21、 _）、C（_，_），抛物线的函数关系式为 _；（2）判断的形状，并说明理由；（ 3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上） ？若能， 求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能， 请说明理由 抛物线的顶点坐标是 【参考答案】选择题1.B 2.B 3.C 【解析】本题考查函数图象与性质，当0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上， D是错的，函数y=ax1 与y=ax2bx1（a0）的图象必过（0，1） ，所以 C是正确的，故选C4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 填空题1.-3 2.2yxx，21133yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
22、- - -第 8 页，共 14 页学习好资料欢迎下载3.（1，5）4.4 【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力. 根据题意画大致图象如图所示，由2yaxbxc与 X轴的交点坐标为 (-2,0)得2220abc，即420abc所以正确；由图象开口向下知0a，由2yaxbxc与 X 轴的另一个交点坐标为1,0 x且112x，则该抛物线的对称轴为121222xbxa由 aa, 所以结论正确；由一元二次方程根与系数的关系知12.2cx xa，结合 a0 得20ac，所以结论正确；由420abc得22cab，而 0c2, ，102c-12a-b0, 所以
23、结论正确. 点拨：420abc是否成立， 也就是判断当2x时，2yaxbxc的函数值是否为0；判断2yaxbxc中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上 a0, 开口向下a0; 判断 a、b 的小关系时，可利用对称轴2bxa的值的情况来判断； 判断 a、c 的关系时， 可利用由一元二次方程根与系数的关系12.cx xa的值的范围来判断；2a-b+1 的值情况可用420abc来判断 . 5.223yxx【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是1x，且过点 （ 3 ， 0）， 所 以12930bbc， 解 得23bc， 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为223yx
24、x，故填223yxx6.52【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x 为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，22549(2)(3)5624yxxxxx，所 以当52x时， 函数(2)(3)yxx取得最大值，故填52解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：这个二次函数的关系式是，即2. （1）由(3,)Bm可知3OC，BCm，又ABC为等腰直角三角形，ACBCm，3OAm，所以点A的坐标是（3,0m）. （ 2 ） 45ODAOAD3ODOAm， 则 点D的 坐 标 是（0,3m）. 又抛物线顶点为(1,0)P， 且过点B、D， 所以可设抛物
25、线的解析式为：2(1)ya x，得：22(31)(01)3amam解得14am抛物线的解析式为221yxx（3）过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习好资料欢迎下载2( ,21)x xx，则2(1)QMCNx，3MCQNx. /QMCEPQMPECQMPMECPC即2(1)12xxEC， 得2 (1)E Cx/QNFCBQNBFCQNBNFCBC即234(1)4xxFC， 得41FCx又4AC444()42(1)(22)2(1)8111FC ACECxx
26、xxxx即()FC ACEC为定值 8. 3. （1）设二次函数的解析式为cbxaxy2（0a） ，把 A （0，2） ， B （1，0） ，C（5 94 8，）代入得2092558164cabcabc解得a=2 ，b=0 ，c=2，222yx（2）设直线AC的解析式为(0)ykxb k，把A （0， 2） ，C（5 94 8，）代入得29584bkb，解得522kb，522yx当x=1 时，511222yM（1，12）在直线AC上（3）设E点坐标为（1322，） ，则直线EM的解析式为4536yx由2453622yxyx化简得2472036xx，即17()(2)023xx，F点的坐标为（7
27、136 18，） 过E点作EHx轴于H，则H的坐标为（102，） 3122EHBH，2223110()( )224BE，类似地可得22213131690845()()186324162BF，222401025001250()()186324162EF，2221084512504162162BEBFEF，BEF是直角三角形4. 解：（1）过点 A作 AFx 轴，垂足为点F，过点 B作 BE x 轴，垂足为点E，则 AF 2，OF 1OA OB ， AOF+ BOE 90又 BOE+ OBE 90， AOF OBE RtAFO RtOEB 第 3 题精选学习资料 - - - - - - - - -
28、 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习好资料欢迎下载2OAOBAFOEOFBEBE 2，OE 4B(4，2) （2）设过点A(1，2) ，B(4，2) ， O(0，0) 的抛物线为y=ax2+bx+c.0,2416, 2ccbacba解之，得.0,23,21cba所求抛物线的表达式为xxy23212（3）由题意，知AB x轴设抛物线上符合条件的点P到 AB的距离为d，则 SABPAFABdAB2121d 2点 P的纵坐标只能是0或 4令y0，得023212xx，解之，得x0，或x3符合条件的点P1(0 ，0) ，P2(3 ，0) 令y4，得423212xx，解
29、之，得2413x符合条件的点P3(2413，4) ，P4(2413， 4) 综上，符合题意的点有四个：P1(0 ，0)，P2(3 ，0)， P3(2413，4) ， P4(2413，4)（评卷时，无P1(0，0) 不扣分）5. 解：（ 1）当时，线段OA的函数关系式为; 当时，由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4， 40） ， 设其解析式为在中，令 x=10，得； B（ 10，320）B（10，320）在该抛物线上解得当时，=综上可知，(2) 当时,当时,当时, (3) 10月份该公司所获得的利润最多, 最多利润是110 万元 . 6. 解：（ 1）根据题意得解得所求一次函数的表达式为（2），
30、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习好资料欢迎下载抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，当销售单价定为87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是891 元（3）由，得，整理得，解得，由图象可知， 要使该商场获得利润不低于500 元，销售单价应在70 元到 110 元之间，而，所以，销售单价的范围是7. （1）（4，0），（2）是直角三角形证明：令，则解法一：是直角三角形解法二：，即是直角三角形（3）能当矩形两个顶点在上时，如图1，交于，解法一：设，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习好资料欢迎下载=当时，最大，解法二：设，则当时，最大，当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，解法一：设，=当时，最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习好资料欢迎下载，解法二：设，=当时，最大，综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（ 2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页