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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 二次函数及其图象欢迎下载 【考点聚焦】学问点二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向大纲要求1 懂得二次函数的概念；2 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口 方向,会用描点法画二次函数的图象； 【课前热身】x 秒后的高度为y 公尺,且时间与高度关系为y=ax2 bx. 如1. 向上发射一枚炮弹,经此炮弹在第7 秒与第14 秒时的高度相等,就再以下哪一个时间的高度是最高的？（）A 第 8 秒 B 第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒2. 在平面直角坐标系中,将二次函数y2x2的图象向上平移2 个单位
2、,所得图象的解析式为（）A y2x22B y2x22C y2 x2 2Dy2 x2 23. 抛物线yx223的顶点坐标是（）A（2,3） B（ 2,3） C（ 2, 3） D（ 2,3 会平移二次函数yax2a 0 的图象得到二次函数yaax m2k 的图3）象,明白特别与一般相互联系和转化的思想；4 会用待定系数法求二次函数的解析式；4. 二次函数yx2 12的最小值是（）5 利用二次函数的图象,明白二次函数的增减性,会求二次函数的图象与xA 2 B 1 C 3 D）2轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,明白二次函数与一元二次方程和3不等式之间的联系. 5. 抛物线 y=2x24x 5 经过
3、平移得到y=2x2,平移方法是（ 【备考兵法】考查重点与常见题型 A向左平移1 个单位,再向下平移3 个单位 B向左平移1 个单位,再向上平移3 个单位1 考查二次函数的定义、性质,有关试题常显现在挑选题中,如：已知以x C向右平移1 个单位,再向下平移3 个单位为自变量的二次函数ym2x2m 2m2 额图象经过原点,就 m的值是 D向右平移1 个单位,再向上平移3 个单位2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象,习题的特点是在 同始终角【参考答案】1.B 坐标系内考查两个函数的图象,试题类型为挑选题,如：如图,假如函数y2.B kx b 的图象在第一、二、三象限内,那么函数ykx
4、2 bx1 的图象大3.A 致是（）4.A y y y y 第 1 页,共 14 页5.D 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题显现的频率很高,习题欢迎下载最值当x 时 , y 有 最当 x, y 有最值值增在对称轴左y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而侧减类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3 ,4,6在对称轴右y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而性两点,对称轴为x5 3,求这条抛物
5、线的解析式. 侧2. 二次函数yax2bxc用配方法可化成yaxh2k的形式,其中4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线yax2bxc（a 0）与 x 轴的两个交点的横h,k . 坐标是 1、3,与 y 轴交点的纵坐标是3 2（1）确定抛物线的解析式； （2）3. 二次函数ya xh2k 的图象和yax2图象的关系 . 用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4. 二次函数yax2bxc中a,b,c的符号的确定 . 5考查 代数与几何的综合才能,常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移y=ax2 沿着 y 轴（上“ ”,下“ ” ）抛
6、物线的平移主要是移动顶点的位置,将平移 k（k0）个单位得到函数y=ax2 k,将 y=ax2沿着 x 轴（右“ ”,左“ ” ）平移 h（h0）个单位得到y=a（ x h）2 .在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,如沿y.轴平移就直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减）,如沿 x轴平移就直接在含x 的括号内进行加减（右减左加） 【典例精析】 【考点链接】例 1 已知：二次函数为y=x2 x+m,（1）写出它的图象的开口方向,对称轴及顶点坐标；（ 2）m为何值时,顶点在x 轴上方,（3）如抛物线与y 轴交于 A,过 A 作 AB1. 二次函数ya xh2k 的图象和性质 x 轴交抛
7、物线于另一点B,当 S AOB=4 时,求此二次函数的解析式【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在 x 轴的上方, .即顶点的纵坐a 0 a 0 标为正；（3）AB x 轴, A, B 两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值y 【解答】（1）由已知y=x2x+m中,二次项系数a=10,开口向上,图象O x 又 y=x2x+m=x2x+（ 1 2）2 1+m=（x1）2+ 4 m2 41,4 m 1）2 414对称轴是直线x=1 2,顶点坐标为（开口（2）顶点在x 轴上方,对 称 轴顶点的纵坐标大于0,即4 m410 顶点坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14
8、 页精选学习资料 - - - - - - - - - m1 4时,顶点在x 轴上方学习好资料欢迎下载y m1 4C （3）令 x=0,就 y=m即抛物线 y=x2x+m与 y 轴交点的坐标是A（0,m）A O B x AB x 轴B 点的纵坐标为m当 x2x+m=m时,解得 x 1=0, x2=1【分析】（ 1）中用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）中考查象限,点关于直线A（0,m）,B（1,m）在 Rt BAO中, AB=1,OA= m 的对称点求法； （3）中主要是做出正确的帮助线求解,进而求出点的坐标. S AOB =1 2OAAB=4【答案】解：（1）抛物线yax2bx4a 经过A
9、1 0, ,C0 4, 两点,1 2 m 1=4, m= 8 y=x2x+8 或 y=x2x8ab4 a0,4 a4.故所求二次函数的解析式为【点评】正确懂得并把握二次函数中常数a, b,c.的符号与函数性质及位置的解得a1,关系是解答此题的关键之处会用待定系数法求二次函数解析式b3.例 220XX 年湖北武汉 如图,抛物线yax2bx4a 经过A 1 0, 、C0 4, 两点,抛物线的解析式为yx23 x4与 x 轴交于另一点B （2）点D m,m1在抛物线上,m12 m3m4,（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D m,m1在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的即m22
10、m30,m1或m3坐标；点 D 在第一象限,点 D 的坐标为 3 4, （3）在（2）的条件下, 连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且DBP45 ,求点 P的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - y 学习好资料欢迎下载BEBCCE5 2,x轴于 H 过DCECBO45 ,C D DECE3 22A E O B x OBOC4,BC4 2,2设tanPBFtanCBDDE3,BE OF5 5 t由（ 1）知OAOB,CBA45 4PF3 t ,就BF5 t ,设点 D 关于直线 BC 的对称点为点EP 5t4 3
11、 ,C0 4, ,CDAB,且CD3,P 点在抛物线上,ECBDCB45 ,3 t 5 t423 5t44E 点在 y 轴上,且CECD32 66,5 25t0（舍去）或t22,POE1,E0 1, 25即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0, 1）方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线PB 于点 Q ,过点 D 作 DH（3）方法一：作 PFAB于 F , DEBC于 E Q 点作 QGDH于 G y y 名师归纳总结 C D OBC45 ,Q C 45D x 第 4 页,共 14 页P E P G A F O B x A O B H 由（ 1）有：OBOC4,DBP45,CBDP
12、BAPBD,QDDBC0 4,D3 4, ,CDOB且CD3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - QDGBDH90 ,BDH 1学习好资料欢迎下载C有两个交点,且它们均在y 轴同侧D无交点又DQGQDG90 ,DQG3. （20XX年湖北荆门）函数y=ax1 与 y=ax2bx 1（a 0）的图象可能是（）QDGDBH,QGDH4,DGBHyyyy由（ 2）知D3 4, ,Q 13, 3x121xo 1xo 1x1xo o B4 0, ,直线 BP 的解析式为yABCD55解方程组yx2x3 x4,x 14,x 22,4. （20XX年广东深圳）二次函数y
13、ax2bxc的图象如图2 所示,如点A（1,y 1）、5y312,得B（2,y2）是它图象上的两点,就y1 与 y2的大小关系是（）y 10；y 266. 25Ay1y2By 1y2Cy 1y2D不能确定55点 P 的坐标为2 66,5 25 【迎考精练】一、挑选题1.20XX 年上海市 抛物线y2xm 2n （ m,n是常数）的顶点坐标是（）5. （20XX 年湖北孝感）将函数yx2x 的图象向右平移aa0个单位,得到函A m,nB m,nC m,nD m,n2.20XX 年陕西省 依据下表中的二次函数yax2bxc的自变量 x 与函数 y 的对应数yx23x2的图象,就a 的值为值,可判定
14、二次函数的图像与x 轴A1 B 2 C3 D4 （）6. （20XX年天津市）在平面直角坐标系中,先将抛物线yx2x2关于 x 轴作轴x 1 0 1 2 对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新y 1 72 744抛物线的解析式为（）Ayx2x2Byx2x2C.y2 xx2A只有一个交点B有两个交点,且它们分别在y 轴两侧名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载D2 y xx2就此抛物线的解析式为7. （20XX 年四川遂宁）把二次函数y1x2x3用配方法化成yaxh2
15、k的6. （20XX年湖北荆门）函数yx23x 取得最大值时,x_4形式A.y1x222 B. y1x22444三、 解答题C.y1x224 D. y1x1231.（20XX年湖南衡阳） 已知二次函数的图象过坐标原点, 它的顶点坐标是 （1,2）,求这个二次函数的关系式4228.20XX 年河北 某车的刹车距离y（m）与开头刹车时的速度 x（m/s）之间满意二次2.（20XX年湖南株洲） 已知ABC 为直角三角形,ACB90, ACBC , 点 A 、函数y12 x （x0）,如该车某次的刹车距离为5 m,就开头刹车时的速度为20C 在 x 轴上,点 B 坐标为（ 3 , m ）（m0）,线段
16、 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P（）（1,0）为顶点的抛物线过点 B、D（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；（2）求抛物线的解析式；A40 m/s B20 m/s C10 m/s D5 m/s 二、填空题（3）设点 Q 为抛物线上点P 至点 B 之间的一动点,连结PQ 并延长交 BC 于点 E ,1. （20XX年北京市）如把代数式x22x3化为xm2k 的形式,其中m k 为连结BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明：FC ACEC为定值常数,y BE Q D就 mk= . 2. （20XX 年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（1,1）,且图象与x 轴24的另一交点到原点的
17、距离为1,就该二次函数的解析式为3. （20XX年湖南郴州）抛物线y= -3x-2 1+5的顶点坐标为 _4.（20XX 年内蒙古包头） 已知二次函数y2 axbxc 的图象与 x 轴交于点 2 0, 、x, ,且1x 12,与 y 轴的正半轴的交点在0 2, 的下方以下结论：AOPFCx4 a2 bc0；ab0； 2 ac0； 2 ab10其中正确结论的3. （20XX 年 湖 南 常 德 ）已知二次函数过点A （0, 2）,B（1,0）,C（5 9, ）4 8个数是个y 5. （20XX年湖北襄樊）抛物线yx2bxc 的图象如下列图,x=1（1）求此二次函数的解析式；第 6 页,共 14
18、页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料A,欢迎下载20XX年世界金融危机, 准时调整投（2）判定点 M（ 1,1 2）是否在直线AC上？5.20XX 年湖北黄冈 新星电子科技公司积极应对（3）过点 M（1,1 2）作一条直线 l 与二次函数的图象交于E、F两点（不同于B,C三点）,请自已给出E 点的坐标,并证明BEF是直角三角形资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本 高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经受了由初期的4.20XX 年陕西省 如图,在平面直角坐标系中,第 3 题亏
19、损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情形每月最终一天结算1 次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与 x 之间的关系）对应的点都在如下列图的图象上该图象从左至右,依次是线段OA、曲线 AB和曲线 BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A 为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线的一 部分,且点A,B,C的横坐标分别为4, 10,12 OB OA,且 OB 2OA,点 A 的坐标是 1,2 （1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式；（3）连接 AB,在（ 2）中的抛物线上求出点P,使得 S ABPS ABO（1
20、）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x 个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出运算过程）；（3）前 12 个月中, 第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载的顶点坐标是 抛物线6. （20XX年内蒙古包头） 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装, 规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发觉,销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数,且 时,；时,（1
21、）求一次函数 的表达式；（2）如该商场获得利润为 元,试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元？（3）如该商场获得利润不低于500 元,试确定销售单价的范畴【参考答案】挑选题7. （20XX年福建漳州）如图1,已知：抛物线与轴交于两1.B 2.B 3.C 【解析】此题考查函数图象与性质,当a0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上, D是错的,函数y=ax1 与 y=ax 2bx1（a 0）的图象必过（0,1）,所点,与轴交于点 C,经过 B、C两点的直线是,连结以 C是正确的,应选C4.C 5.B （1）B、C 两点坐标分别为B（ _
22、, _）、 C（_,_）,抛物线的函6.C 数关系式为 _；7.D （2）判定的外形,并说明理由；8.C 填空题（ 3）如内部能否截出面积最大的矩形（顶点在1.-3 2.yx2x,y1x21各边上） ？如能, 求出在边上的矩形顶点的坐标；如不能, 请说明理由33名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3.（1,5）点 （ 3 , 0 ）, 所 以b1c0, 解 得b2, 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为4.4 2c33 b9【解析】此题考查二次函数图象的画法、识别懂得,方程根与系数的关系筀等学问和
23、数形结合才能. 依据题意画大致图象如下列图,由y2 axbxc 与 X 轴的交点坐yx22x3,标为 -2,0得a22b2c0,即4 a2 bc0所以正确；故填yx22x3由图象开口向下知a0,由yax2bxc 与 X 轴的另一个交点坐标为x 1,0且6.5 21x 12,就该抛物线的对称轴为xb22x 11由 aa, 所以【解析】此题考查二次函数的最值问题,可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求 出当 x 为何值时二次函数取得最大值,下面用配方法,2a2yx23x x25x6x5249,所 以 当x5时, 函 数结论正确；242由一元二次方程根与系数的关系知x x2c2,结合 a0 得 2ac
24、0,所以ayx23x 取得最大值,故填5 2结论正确；由 4 a2 bc0得 2abc,而 0c2, ,1c0-12a-b0, 所以结论正确. 点拨： 4 a2 bc0是否成立, 也就是判定当x2时,yax2bxc 的解得：函数值是否为0；判定yax2bxc 中 a 符号利用抛物线的开口方始终判定,开这个二次函数的关系式是,即口向上 a0, 开口向下a0; 判定 a、b 的小关系时,可利用对称轴xb的值的情2. （1）由B 3,m 可知OC3, BCm,又ABC为等腰直角三角形, ACBCm,OAm3,所以点 A 的坐标是（ 3m ,0）. 2a（ 2 ） ODAOAD45ODOAm3, 就
25、点 D 的 坐 标 是况来判定； 判定 a、c 的关系时, 可利用由一元二次方程根与系数的关系x x 2c的a（ 0,m3）. 又抛物线顶点为P1,0,且过点 B 、D ,所以可设抛物线的解析式为：ya x2 1,值的范畴来判定；2a-b+1 的值情形可用4 a2 bc0来判定 . 5.yx22x3得：a32 1m3解得a1抛物线的解析式为yx22x1【解析】此题考查二次函数的有关学问,由图象知该抛物线的对称轴是x1,且过a02 1mm4名师归纳总结 - - - - - - -（3）过点 Q 作 QMAC 于点 M ,过点 Q 作 QNBC 于点 N ,设点 Q 的坐标是第 9 页,共 14
26、页精选学习资料 - - - - - - - - - , x x22x1,就QMCNx12,MCQN学习好资料欢迎下载3x . 当 x=1 时,y5121M（1,1 2）在直线AC上22QM/CEPQMPECQM ECPM即x12x21, 得（3）设 E 点坐标为（1,3）,就直线 EM的解析式为y4x5PCEC2236E C2 x1QN/FCBQN BFCQN FCBN即3x4x2 1, 得由y4 3x5化简得22 x4x70,即x12x70,FC46BC3623y2x22FC41 4x ACx412x18F 点的坐标为（7 13,6 18）又FC ACECx44 12x1x412x2过 E
27、点作 EHx 轴于 H,就 H的坐标为（1 0,）2即FC ACEC为定值 8. EH3,BH1BE232 12210,3. （1）设二次函数的解析式为yax2bxc（a0）,2224类似地可得BF2 131821321690845,把 A （0,2 ）, B（1,0）,C（5 9, ）代入得4 8第 3 题6324162EF240210225001250,186324162ca2bc解得a=2 , b=0 , c=2,BE2BF2108451250EF, BEF是直角三角形416216204. 解：（1）过点 A 作 AFx 轴,垂足为点F,过点 B 作 BEx 轴,垂足为点E,925a5b
28、c就 AF2,OF18164y2x22（2）设直线 AC的解析式为ykxb k0,OAOB,把 A （0, 2）,C（5 9,）代入得4 8 AOF+ BOE90 b2b,解得k5,b2,y5x2又 BOE+ OBE90 ,95 4k AOF OBE228Rt AFORt OEB名师归纳总结 第 10 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习好资料欢迎下载BEOEOB2由于曲线 AB所在抛物线的顶点为A（4,40）,设其解析式为OFAFOABE2,OE4在中,令 x=10,得； B（ 10,320）B4,2 （2）设过点 A
29、1,2 ,B4,2 , O0,0 的抛物线为y=ax 2+bx+cB（10,320）在该抛物线上aab.4c,22,解之,得a1,23160bcb0 .解得2cc所求抛物线的表达式为y1x23x当时,=22综上可知,（3）由题意,知AB x 轴设抛物线上符合条件的点P到 AB的距离为 d,就 S ABP1ABd1ABAF222 当时,d 2点 P的纵坐标只能是0 或 4当时,令 y0,得1x23x0,解之,得x0,或 x322当时, 符合条件的点P10 ,0 ,P23 ,0 令 y4,得1x23x4,解之,得x32413 10月份该公司所获得的利润最多, 最多利润是110 万元 . 226.
30、解：（ 1）依据题意得解得符合条件的点P33241,4 ,P43241, 4 综上,符合题意的点有四个：所求一次函数的表达式为P10 ,0 ,P23 ,0 , P33241,4 , P43241,4 （2）（评卷时,无P10 ,0 不扣分）5. 解：（ 1）当时,线段 OA 的函数关系式为; ,当时,第 11 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线的开口向下,当时,随的增大而增大,学习好资料欢迎下载解法二：而,当时,891 元,当销售单价定为87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是（3）由,得,70 元到 110 元之间,整理得,解
31、得,由图象可知, 要使该商场获得利润不低于500 元,销售单价应在即而,所以,销售单价的范畴是是直角三角形7. （1）（4,0）,（3）能当矩形两个顶点在上时,如图1,交于（2）是直角三角形证明：令,就解法一：,是直角三角形名师归纳总结 解法一：设,就,第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载=当时,最大,与重合,如图2,当矩形一个顶点在上时,解法二：设,就当时,最大解法一：设,名师归纳总结 当时,最大=第 13 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,学习好资料欢迎下载上时,坐标为当矩形一个顶点在解法二：设,=当时,最大,综上所述：当矩形两个顶点在上时,坐标分别为,（ 2,0）；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页