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1、学习必备欢迎下载NFEyxMCOBA中考压轴系列之函数类型例 1. （2009 福建福州）已知直线l：y=x+m（m0）交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，点 C、M 分别在线段 OA、AB 上，且 OC=2CA，AM=2MB，连接 MC，将ACM 绕点 M 旋转 180，得到 FEM，则点 E 在 y 轴上， 点 F 在直线 l 上；取线段 EO 中点 N，将 ACM 沿 MN 所在直线翻折，得到 PMG，其中 P 与 A 为对称点记：过点F 的双曲线为1C，过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为2C，过点 P 且以 M 为顶点的抛物线为3C（1）如图，当 m=6 时，直接写出点M、F 的坐标
2、，求1C、2C的函数解析式；（2）当 m发生变化时，在1C的每一支上，y随 x的增大如何变化？请说明理由若2C、3C中的 y 都随着 x 的增大而减小， 写出 x 的取值范围解： （1）点 M 的坐标为（ 2，4） ，点 F 的坐标为（ 2，8）设1C的函数解析式为kyx0k1C过点 F（2，8）1C的函数解析式为16yx2C的顶点 的坐标是（ 0，6）设2C的函数解析式为26(0)yaxa2C过点 M（2，4）464a12a2C的函数解析式为2162yx（2）依题意得， A（m，0） ，B（0，m） ，点坐标为（1233，mm） ，点坐标为（13m，43m） 设1C的函数解析式为kyx（k0
3、） 1C过点（13m，43m）249km0m0k在1C的每一支上， y 随着 x 的增大而增大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载 答：当 m0 时，满足题意的 x 的取值范围为0 x13m；当 m0 时，满足题意的x 的取值范围为13mx0例 2. （2010浙江丽水 ) ABC 中， A=B=30，AB=2 3把 ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O（如图） ，ABC可以绕点 O 作任意角度的旋转（1）当点 B 在第一象限，纵坐标是62时，求点 B 的横坐标；（2）如果抛物线
4、20yaxbxc a的对称轴经过点 C，请你探究：当54a，12b，3 55c时，A，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；设 b=-2am， 是否存在这样的m值，使 A， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由解：（1） 点 O 是 AB 的中点，OB=12AB=3. 设点 B 的横坐标是 x( x0)，则222632x， 解得162x，162x( 舍去) 点 B 的横坐标是62（2）当54a，12b，3 55c时，得2513 5425yxx（*）25513 54520yx以下分两种情况讨论O y x C B A 1 1 -1- 1 精选学习资料
5、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载情况 1：设点 C 在第一象限 ( 如图甲 )，则点 C 的横坐标为55，OC=OBtan30=3333=1由此，可求得点 C 的坐标为 (55，2 55) ，点 A 的坐标为 (2 155，155) ，A，B 两点关于原点对称，点 B 的坐标为 (2 155，155)将点 A 的横坐标代入 (*) 式右边，计算得155，即等于点 A 的纵坐标；将点 B 的横坐标代入 (*) 式右边，计算得155，即等于点 B 的纵坐标在这种情况下， A，B 两点都在抛物线上情况 2：设点 C
6、 在第四象限 (如图乙 ) ，则点 C 的坐标为 (55，2 55)，点 A 的坐标为 (2 155，155) ，点 B 的坐标为 (2 155，155) 经计算， A，B 两点都不在这条抛物线上 存在 m的值是 1 或- 1(22ya xmamc ， 因为这条抛物线的对称轴经过点C， 所以- 1m1 当m=1 时，点 C 在 x 轴上，此时 A，B 两点都在 y 轴上因此当 m=1 时，A，B 两点不可能同时在这条抛物线上) 例 3.（2011江汉）在平面直角坐标系中，抛物线23yaxbx与 x 轴的两个交点分别为 A（- 3，0） 、B（1，0） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. （
7、1）直接填写： a =_，b=_，顶点 C 的坐标为；（2）在 y 轴上是否存在点D，使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点 C 不重合），PQAC于点 Q，当 PCQ 与 ACH 相似时，求点 P 的坐标 . O y x C B A (甲) 1 1 - 1 - 1 O y x C B A (乙) 1 1 - 1 - 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载解： （1）1a，2b，顶点
8、C 的坐标为（ - 1，4）（2）假设在 y 轴上存在满足条件的点D, 过点 C 作 CEy 轴于点 E. 由CDA=90得， 1+2=90. 又 2+3=90，3=1. 又 CED=DOA = 90，CED DOA，CEDOEDAO. 设 D（0，c） ，则143cc. 变形得2430cc，解之得1231c,c. 综合上述：在 y 轴上存在点 D（0，3）或（ 0，1） ，使ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形 . （3）若点 P 在对称轴右侧（如图） ，只能是 PCQCAH，得QCP=CAH. 延 长 CP 交x 轴 于 M， AM=CM ，AM2=CM2. 设 M（ m， 0） ，则(
9、 m+3)2=42+(m+1)2， m=2，即 M（2，0）. 设直线 CM 的解析式为 y=k1x+b1，则1111420kbkb， 解之得143k，183b. 直线 CM 的解析式4833yx. 联立2483323yxyxx，解之得13209xy或14xy( 舍去). 1 2039P，. 若点 P 在对称轴左侧 （如图），只能是 PCQACH，得PCQ=ACH. 过 A 作 CA 的垂线交 PC 于点 F，作 FNx 轴于点 N. 1 3 2 A B H C xyOE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备
10、欢迎下载由CFACAH 得2CACHAFAH，由FNAAHC 得12FNNAAFAHHCCA. 12FNAN，, 点 F 坐标为（ - 5, 1）. 设直线 CF 的解析式为 y=k2x+b2，则2222451kbkb，解之得2231944k,b. 直线 CF 的解析式31944yx. 联立23194423yxyxx，解之得745516xy或14xy(舍去). 7 554 16P，. 满足条件的点 P 坐标为1 2039，或7 554 16，例 4. （2010 广西钦州）如图，将OA = 6，AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 M、N 以每秒个单位的速度分别从点A、
11、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点 N 作 NPBC，交 OB 于点 P，连接 MP（1）点 B 的坐标为 _；用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 _；（2）记 OMP 的面积为 S，求 S与 t 的函数关系式（ 0 t 6） ；并求 t 为何值时，S有最大值？（3）试探究：当 S 有最大值时，在 y 轴上是否存在点T，使直线 MT 把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC 面积的13？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由P A B H C xyOQ M （图）yP A B H
12、 C xOQ F N （图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载yxBOAC解： （1）OA=6，AB=4，点 B 的坐标为（ 6，4） ；由图可得，点 P 的横坐标 =CN=t，纵坐标 =4- NP，NPBC，NPOC，NP: OC=BN: CN，即 NP: 4=(6- t): t，NP=4-23t，点 P 的纵坐标 =4- NP=23t，则点 P 的坐标为（23t,t）（2）SOMP=12OM23t，S=12（6-t）23t=213t+2t=21333t（0t6） 当 t=3 时，S有最大值（3）
13、存在由（2）得：当 S有最大值时，点 M、N 的坐标分别为： M（3，0） ，N（3，4） ，则直线 ON 的函数关系式为：43yx. 设点 T 的坐标为（ 0，b） ，则直线 MT 的函数关系式为：13yxb解方程组4313yxyxb得3444bxbbyb直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为34,44bbbb，NCAPMOBxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载14362OCNS，123ORTOCNSS当点 T 在点 O、C 之间时，分割出的三角形是1 1OR T，如图，作1 1RTy 轴，
14、1D为垂足，则111113222 4OR DbSRD OTbb234160bb，b=22 133122 133b，222 133b（不合题意，舍去）此时点 T1 的坐标为（ 0，22 133） 当点 T 在 OC 的延长线上时，分割出的三角形是2R NE，如图，设 MT 交 CN于点 E，由得点 E 的横坐标为312bb，作22R DCN 交 CN 于点2D，则22211312496(3) (4)2224(4)R NEbbSEN RDbbbb24480bb，4164482 1322b12 132b，22 132b（不合题意，舍去）此时点2T的坐标为（ 0，2 132） 综上所述，在 y 轴上存
15、在点1T（0，22 133） ，2T（0，2 132）符合条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载OyxEDCBA例 5. （2011山东东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为(- 3，0)，(0，1)，点 D 是线段 BC 上的动点 ( 与端点 B、C 不重合 )，过点 D作直线12yxb 交折线 OAB于点 E（1）记 ODE 的面积为 S求 S与 b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA 上时，且 tanDEO=12若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四
16、边形1111O A B C试探究四边形1111O A B C与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由解： （1）四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（ 3，0） ， （0，1） ，B（3，1） ，若直线经过点 A（3，0）时，则 b=32，若直线经过点 B（3，1）时，则 b=52，若直线经过点 C（0，1）时，则 b=1，若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1b32，如图 1，此时 E（2b，0） ，S=12OE?CO=122b1=b；若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即32b0) 的图象过点 E 且
17、与直线1l相交于点 F（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；（2）连接 OE、OF、EF若 k2，且 OEF 的面积为 PEF 的面积 2 倍，求点E 的坐标；（3） 是否存在点 E 及y轴上的点 M， 使得以点 M、 E、 F 为顶点的三角形与 PEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由解： （1）若点 E 与点 D 重合，则 k=12=2；（2）当 k2 时，如图 1，点 E、F 分别在 P 点的右侧和上方，过E 作 x 轴的垂线 EC，垂
18、足为 C，过 F 作 y 轴的垂线 FD，垂足为 D，EC 和 FD 相交于点 G，则四边形 OCGD 为矩形，PFPE，2111(1)(2)122 24FPEkSPE PFkkk，四边形 PFGE 是矩形，PFEGEFSS，2211(1)1244OEFDOFEGDOCEOCGDkSSSSSkkkkk矩形2OEFPEFSS，221112(1)44kkk，解得 k=6 或 k=2，k=2 时，E、F 重合，k=6，E 点坐标为：（3，2） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载（3）存在点 E 及 y
19、轴上的点 M，使得 MEFPEF，当 k2 时，如图 2，只可能是 MEFPEF，作 FHy 轴于 H，FHMMBE，BMEMFHFM，FH=1，EM=PE=12k，FM=PF=2k，1212kBMk，BM=12，在 RtMBE 中，由勾股定理得，222EMEBMB，2221(1)()()222kk，解得34k，此时 E 点坐标为（38，2） ，当 k2 时，如图 3，只可能是 MFEPEF，作 FQy 轴于 Q，FQMMBE 得，BMEMFQFM，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载FQ=1，EM=PF=k2，FM=PE=2k1，2112BMkk，BM=2，在 RtMBE 中，由勾股定理得，222EMEBMB ，222(2)( )22kk，解得 k=163或 0，但 k=0 不符合题意，k=163此时 E 点坐标为（83，2） ，符合条件的 E 点坐标为（38，2） （83，2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页