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1、学习必备欢迎下载几何证明经典题型（提高）1.如图 10-1 ，四边形ABCD 是正方形， G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合 )，以 CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结BG， DE我们探究下列图中线段BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）请直接写出图10-1 中线段 BG、线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系；将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针 (或逆时针 )方向旋转任意角度，得到如图10-2 、如图 10-3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2 证明你的判断（2） 将原题
2、中正方形改为矩形（如图 10-4 10-6 ） ， 且kbCGkaCEbBCaAB,)0,(kba，试判断（ 1）中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明 . （ 3） 在图 10-5 中， 连结DG、BE， 且21,2,4kba， 则22BEDG= 答案： BGDE；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页学习必备欢迎下载BG DE；中得到的结论仍然成立BGDE 成立；BGDE不成立BE2+DG2=25 2.如图 1， ABC 中，ACB 90 ， ACBC，BD 是中线， CEBD 于点 E，交 A
3、B 于点 F。求证： ADF CDE。简证：过点A 作 AGAC 交 CF 的延长线于点G。因为 90 ， ACBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页学习必备欢迎下载所以Rt CAG Rt BCD （ASA ） 。所以 AG CD AD ，GCDE。因为 45 ， AF AF, 所以ADF AGF（SAS） 。所以ADF GCDE。3.如图，四边形ABCD 中， AC 平分BAD ，CEAB 于点 E， AE12（ AD AB） 。求证： ADC ABC 180 。简证：过点C 作 CF AD 交 AD 的延长线
4、于点F。因为， ACAC，所以Rt ACF Rt ACE（AAS） 。所以 CFCE，AFAE。因为 AD AB AE，ABAEEB，所以 EBAEAD 。因为 FD AFAD ，所以 EBFD。所以Rt CEBRt CFD （SAS） 。所以ABC5。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页学习必备欢迎下载所以ADC ABC ADC 180 。4.已知：MAN，AC平分MAN在图 1 中，若MAN 120 ，ABCADC 90 ，ABADAC （填写“”，“”，“”）在图 2 中，若MAN 120 ，ABCADC 18
5、0 ，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由在图 3 中：若MAN 60 ，ABCADC 180 ，判断ABAD与AC的数量关系，并说明理由；若MAN （ 0 180 ），ABCADC 180 ，则ABAD_AC（用含 的三角函数表示 ,直接写出结果，不必证明）23. 解：(1) ABAD = AC-1分(2) 仍然成立证明：如图2 过 C 作 CE AM 于 E， CF AN于 F，则CEA= CFA=90 NMCDBAMNDBACNMABDC图 1 图 2 图 3 NMACBDFE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
6、- -第 4 页，共 26 页学习必备欢迎下载 AC 平分MAN ，MAN=120 ， MAC= NAC=60 又 AC=AC ， AECAFC， AE=AF ，CE=CF 在 Rt CEA 中，EAC=60 ， ECA=30 ， AC=2AE AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=ACABCADC 180 ，CDE+ ADC=180 ， CDE= CBF又 CE=CF ，CED= CFB， CEDCFB ED=FB ， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC (3) AB+AD=3AC证明：如图3，方法同 (2)可证AGCAHCAG=AH MAN=60 ， GAC= HAC=30 A
7、G=AH=23ACAG+AH=3AC GD+DA+AH=3AC方法同 (2)可证GDCHBC GD=HB， HB+DA+AH=3AC AD+AB=3ACMNADCBHG图 3 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页学习必备欢迎下载ABAD 2cos2 AC5.如图所示，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合， 点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上， OC=4 ，点 E为 BC 的中点， 点 N 的坐标为 （3，0），过点 N 且平行于y 轴的直线MN 与 EB交于点
8、 M ，现将纸片折叠，使顶点C 落在 MN 上，并与 MN 上的点 G 重合，折痕为EF，点 F 为折痕与y 轴的交点。（1）求点 G 的坐标；（2）求折痕EF 所在直线的解析式；（3）设点 P 为直线 EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。答案： （1）四边形 ABCO 是正方形 BC=OA=4 E 为 CB 中点，EB=2 MN/y轴， N（3，0） MN EB，且 MB=NA=1 EM=1 而 EGM=30 ， MG=EG cos30 = G（3，）（2） EGM=30 MEG= FEG= CE
9、F=60 CF=CE tan60 FO=。F（0，）， E（2，4）设直线 EF 的解析式为折痕 EF 所在直线解析式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页学习必备欢迎下载MKGFBCDAEMKGFBCDAE（3）如图所示，。6.如图，在梯形ABCD 中， AD BC，B=90， AD=AB=2,点 E 是 AB 边上一动点 (点 E不与点 A、B 重合 )，连结 ED，过 ED 的中点 F 作 ED 的垂线，交AD 于点 G,交 BC于点K,过点 K 作 KM AD 于 M (1) 当 E 为 AB 中点时，求DM
10、DG的值；(2) 若13AEAB, 则DMDG的值等于；(3) 若1AEABn（n为正整数），则DMDG的值等于（用含n的式子表示） 答案： （1）连接 GEKM AD ，KG 是 DE 的垂直平分线 KMG= DFG=90 GKM= GDF MK=AB=AD, KMG= DAE=90 KMG DAE MG = AE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页学习必备欢迎下载E是 AB 中点，且AB=AD=2 AE=MG=1 KG 是 DE 的垂直平分线GE=GD 设 GE=GD=x 则 AG=2-x 在 Rt AEG 中
11、，EAG=90 ，由勾股定理得（2-x ）2+12=x2x=45 DM=GD-GM=4151DGDM（2）52（3）1)1(22nn7.如图所示，等腰Rt ABC 的直角边AB=2 ，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，以相同速度做直线运动。已知点P 沿射线 AB 运动，点Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ 与直线 AC相交于点D。（1）设 AP 的长为 x， PCQ 的面积为S，求出 S 关于 x 的函数关系式；（2）当 AP 的长为何值时，？（3）作 PEAC 于 E，当点 P、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论。答案： （1）当点P 在线段 AB 上时，如图（1）所
12、示 AP=CQ=x，PB=2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页学习必备欢迎下载即当点 P 在 AB 延长线上时，如图（2）所示 AP=CQ=x，PB=x 2 即（2）令，即，此方程无实根；令，即。解得，舍去负值。故当 AP 的长为时，（3）作 PF/BC 交 AC 的延长线于F，则 AP=PF=CQ，AE=EF DF=CD 当点 P 在线段 AB 上时，当点 P 在 AB 的延长线上时， DE=EF FD故当 P、Q 运动时，线段DE 的长度保持不变，始终等于精选学习资料 - - - - - - - - -
13、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页学习必备欢迎下载mMOFE(D)CBA8. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2 1请你用此性质解决下面的问题. 已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，90CAB，直线m过点O,过CBA、三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点FED、. (1)当直线m与BC平行时（如图1） ，请你猜想线段CFBE、和AD三者之间的数量关系并证明；(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时， 分别探究在图2、图 3 这两种情况下， 上述结论是
14、否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CFBEAD、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明答案： （1）猜想： BE+CF=AD 证明：如图，延长AO 交 BC 于 M 点，点O为等腰直角三角形ABC的重心 AO=2OM且 AM BC 又EFBC AM EF BE EF,CF EF EBOM CF EB=OM=CF EB+CF=2OM=AD mOFEDCBAABCDEFOmmABC(D)EFO图 1 图 2 图 3 图 1 HGABCDEFOm图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页学习必备
15、欢迎下载（2）图 2 结论： BE+CF=AD 证明：联结AO 并延长交BC 于点 G, 过 G 做 GH EF 于 H 由重心性质可得AO=2OG ADO= OHG=90 , AOD= HOG AOD GOH AD=2HG O 为重心 G 为 BC 中点 GH EF,BEEF,CFEF EBHG CF H 为 EF中点 HG=21(EB+CF) EB+CF=AD (3)CF BE= AD 9.已知：如图所示，梯形ABCD 中， AB/CD ，C=90 ， AB=BC=4，CD=6 。（1）点 E 为 BC 边上一点， EF/AD ，交 CD 边于点 F，FG/EA ，交 AD 边于点 G，若
16、四边形 AEFG 为矩形，求BE 的长；（2）如图所示， 将（1） 中的AEF 绕 E点逆时针旋转为，交 CD 边于点，且点与 D 点不重合，射线交 AB 边于点 M ，作N/交 AD 边于点 N ，设 BM为 x，中，边上的高为y，求 y 关于 x 的函数解析式及自变量x 的取值范围。mOFEDCBA图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案： （1）作 AH CD 于点 H（如图所示）四边形 AEFG 为矩形 AEF=90 1+ 3=90 C=90 ，2+ 3=90 1= 2 EF/AD
17、。 2= D 1= D AB=BC=CH=4 HD=CD CH=2 tan 1= BE=2 ，即 E 为 BC 的中点。（2）如图所示，作NP CD 于点 P，则 PN=y 可得4= 5= 6，它们的正切值相等。即。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页学习必备欢迎下载，即整理，得当点与点 D 重合时（如图所示） BEM= EDC， tan BEM x 的取值范围为10. 在ABC中，AC=BC，90ACB，点D为AC的中点（1）如图 1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90 得到线段DF，连结CF
18、，过点F作FHFC，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）如图 2，若E为线段DC的延长线上任意一点， （1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明HF图2图1HFEBCDAEDBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案： （1）FH与FC的数量关系是：FHFC证明：延长DF交AB于点G，由题意，知EDF=ACB=90 ，DE=DFDGCB点D为AC的中点，点G为AB的中点，且12DCACDG为ABC的中位线12DGBCAC=BC，DC
19、=DGDC- DE =DG- DF即EC =FGEDF =90，FHFC， 1+ CFD =90 ， 2+ CFD=90 1 = 211 如图 1，在 ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点，2tanB. （1）求证：AD=AE；（2）如图 2，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF. 求证：AFEFDF2；（3）请你在图3 中画图探究：当P为射线EC 上任意一点（P不与点E重合）时，作EFDP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论 . 21HGFEBCDA图 1 E B C A D 图 3 E B C A D 图 2 E C B A D F P 精
20、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案： （1）在 Rt ABE中，AEB=90，2tanBEAEBBEAE2E为BC的中点，BEBC2AE=BC. ABCD是平行四边形，AD=BC. AE=AD. （2）在DP上截取DH=EF（如图 8） 四边形ABCD是平行四边形，AEBC，EAD=90 EFPD，12，ADH= AEFAD=AE，ADHAEFHAD= FAE，AH=AFFAH =90 在 RtFAH中，AH=AF，AFFH2AFEFFDHDFDFH2即AFEFDF2H E C B A D F
21、P 2 1 图 8 E C B A F P D 图 9 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页学习必备欢迎下载（3）按题目要求所画图形见图9，线段DF、EF、AF之间的数量关系为：AFEFDF212 小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形. （1）如图所示ABC，DBE，两直角边交于点F，过点F作FGBC交AB于点G，连结BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是；直线BF与直线AD的位置关系是，并求证：FGDCAC；（2）如果小华将两块三角板ABC，DBE如图所示摆放，使DBC、 、三点在一条直线上
22、，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FGBC，交直线AE于点G，连结AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是；（3）在（ 2）的条件下，若AG7 2，DC5，将一个45角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图） ，线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG2，求线段MN的长12-1 12-212-3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案（1）结论：则线段 BF 于线段 AC 的数量关系是：相等；直线BF 于直线 AC 的位置关系是：
23、互相垂直；证明：ABC、BDE是等腰直角三角形45BDEBACABC，BCAD45CFDCFCDBCFG /45ABCAGFAFFGFCAFADDCFGAD（2）FG、DC、AD 之间满足的数量关系式是DCADFG；（3）过点 B作FGBH垂足为 H ，过点 P 作AGPK垂足为 KBCFG /,C 、 D 、 B在一条直线上，GFEDCBAGFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页学习必备欢迎下载可证AFG 、DCF 是等腰直角三角形，5,27CDAG根据勾股定理得：25,7 FDFGAF2BCAC3BD
24、FGBH，CFBH /，90BHFBCFG /四边形 CFHB 是矩形2, 5 FHBH，BCFG /45G5BHHG，25BGAGPK，2PG2KGPK24225BK45,45HGBPBQ45GBH21AGPK，FGBH90BKPBHQBQH BPKBHBKQHPK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页学习必备欢迎下载QH4543FQBCFG /FQMDBMMFQD,FQM DBM24DMFNPDNBMFQD,BDN PFNPFBDFNDN8215DN8217821524MN13. (1)已知：如图 1，ABC中，
25、分别以AB、AC为一边向ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线ANBC于N，若EPAN于P，FQAN于Q. 判断线段EPFQ、的数量关系，并证明；(2)如图 2， 梯形ABCD中，ADBC, 分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EPMN于P，FQMN于Q(1)中结论还成立吗？请说明理由. 图2FF图1HNQGHMPEPQGEDCBANCBA答案： （1）线段EPFQ、的数量关系为相等EPAN，ANBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，
26、共 26 页学习必备欢迎下载90PANB，1390又四边形ABGE是正方形，90EAB，AEAB，129032. EPAANBEPAN同理可证F QA NEPFQ（2）过点A作JKAD交EP于J,交BC于K, 过点D作RTAD交FQ于R,交BC于TPNAD于M，JKPNADBC, 四边形AKNM为平行四边形AKMN同理可得DTMNAKDT又EPMN，JKPN,ADBC, JKEP，JKBC，同（ 1）的证明可得,EJAKFRDTABCNEGQPH12图13F图2GEPQAMBNCHFDKJRT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页
27、，共 26 页学习必备欢迎下载FEQPNMDCBAABCDM21HGQPNMDCBAEJFR由平行四边形JAMP和QMDR可知,JPAMQRMD又AMMD, JPQREJJPQRRFEPFQDEF与ADG都是等腰直角三角形，DEF =DGA = 45 CEF =FGH = 135 CEF FGHCF=FH（2）FH与FC仍然相等14 如图，正方形 ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点M ， 正方形 MNPQ与正方形 ABCD全等，射线MN 与 MQ 不过 A、B、C、D 四点且分别交ABCD 的边于 E、F 两点 .（1）求证： ME=MF；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且24BCA
28、B，其他条件不变，探索线段ME与线段 MF 的数量关系 .答案：过点 M 作 MG BC 于点 G， MH CD 于点 H. MGE= MHF=090. M 为正方形对角线AC、BD 的交点， MG=MH.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页学习必备欢迎下载21HGFEQPNABCDM又 1+ GMQ= 2+ GMQ=090， 1= 2.在MGE 和MHF 中 1= 2，MG=MH， MGE= MHF .MGE MHF . ME=MF.（2）解：当MN交 BC 于点 E，MQ 交 CD 于点 F 时.过点 M 作
29、MG BC 于点 G， MH CD 于点 H. MGE= MHF=090. M 为矩形对角线AC、BD 的交点， 1+ GMQ= 2+ GMQ=090. 1= 2.在MGE 和MHF 中， 1= 2 MGE= MHF MGE MHF .MHMGMFME. M 为矩形对角线AB、AC 的交点， MB=MD=MC 又MG BC， MH CD，点 G、H 分别是 BC、DC 的中点 . 24BCAB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页学习必备欢迎下载4321HFEQPNBDMCAF21HGEQPNBDMCABCMHAB
30、MG21,21.21MFME. 当 MN 的延长线交AB 于点 E，MQ 交 BC 于点 F 时.过点 M 作 MG AB 于点 G， MH BC 于点 H. MGE= MHF=090. M 为矩形对角线AC、BD 的交点， 1+ GMQ= 2+ GMQ=090. . 1= 2.在MGE 和MHF 中， 1= 2， MGE= MHF . MGE MHF .MHMGMFME. M 为矩形对角线AC、BD 的交点， MB=MA=MC.又MG AB， MH BC，点 G、H 分别是 AB、BC 的中点 .24BCAB，ABMHBCMG21,21.2MFME. 当 MN 、MQ 两边都交边BC 于 E
31、、F 时.过点 M 作 MH BC 于点 H. MHE= MHF= NMQ=090. 1= 3，2= 4.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页学习必备欢迎下载FHGE QPNBDMCAMEHFEM， FMHFEM.MEMHFEFM，FMMHFEEM. M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，点M 为 AC 的中点 . 又MH BC，点 M 、H 分别是 AC 、BC 的中点 .24BCAB，AB=2 . MH=1 .1FMFMMEMH EFEF，1E ME MM FM HE FEF.11122222EFEMFMMF
32、ME. 6 分当 MN 交 BC 边于 E 点， MQ 交 AD 于点 F 时.延长 FM 交 BC 于点 G. 易证MFD MGB . MF=MG.同理由得22111MGME.22111MEMF. 综上所述： ME 与 MF 的数量关系是21MFME或2MFME或11122MFME.14. 已知：AOB中，2ABOB，COD中，3CDOC,ABODCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点 . PNMDCABOPNMDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页学习必备欢迎下载图 1 图 2
33、 (1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO，则PMN的形状是_，此时ADBC_ ；(2) 如图 2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO，证明PMNBAO，并计算ADBC的值（用含的式子表示） ；(3) 在图 2 中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值 . 答案： (1)等边三角形， 1；(每空 1 分) -2分（2）证明：连接BM、CN. 由题意，得BM，CNOD,90CODAOB. A、O、C三点在同一直线上，B、O、D三点在同一直线上. 90BMCCNB. P为BC中点， 在 Rt BMC中，BCPM21. 在 Rt BNC中，BCPN21. PN
34、PM. B、C、N、M四点都在以P为圆心，12BC为半径的圆上. 2MPNMBN. 又ABOMBN21，MPNABO. PMNBAO. MPNDABOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页学习必备欢迎下载BAAOPMMN. 由题意，12MNAD，又BCPM21. PMMNBCAD. ADAOBCBA. 在 RtBMA中，sinABAM. AMAO2，2sinAOBA. sin2BCAD. （3）52. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页