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1、第二章 函数,第1讲,函数与映射的概念,1函数的概念 (1)函数的定义 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的_,在集合 B 中都有_ 的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常 记为_.,每一个数 x,唯一确定,yf(x),xA,(2)函数的定义域、值域,的集合f(x)|xA,在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫 做 yf(x)的_;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,_ _称为函数 yf(x)的值域 (3)函数的三个要素,即_、_和_.,2映射的概念,定义域,值域,对应关系 f,设 A、
2、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集 合 A 中的_元素,在集合 B 中都有_的元素与之对 应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为_.,任意,唯一确定,f:AB,定义域,函数值,A,Ax|x3 Cx|x3,Bx|x3 Dx|x3,2下列函数中与函数 yx 相同的是(,),B,2,2,4函数 y,lg(4x) x3,的定义域是_.,5设 Mx|0 x2,Ny|0y3,给出如图 211 所示四个图象,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是,_(填序号),x|x4 且 x3,图 211,考点1 有关映射与函数的概念,例1:若 f:y3x1 是从集合 A1,2
3、,3,k到集合 B4,7, a4 ,a2 3a 的一个映射,则自然数 a _ ,自然数 k _;集合 A_,B_.,解题思路:处理映射有关问题的关键是理解透概念 解析:f(1)3114,f(2)3217, f(3)33110,f(k)3k1, 由映射的定义知,aN, 方程组(1)无解 解方程组(2),得 a2 或 a5(舍) 3k116,3k15,k5. A1,2,3,5,B4,7,10,16,【互动探究】 1已知映射:f:AB,其中 ABR,对应关系 f:xy x22x,对于实数 kB,且在集合 A 中没有元素与之对应,,),则 k 的取值范围是( Ak1 Ck1,Bk1 Dk1,解析:y(
4、x1)211,若kB,且在集合A 中没有元素 与之对应,则k1.,A,考点2,判断两函数是否为同一个函数,例2:试判断以下各组函数是否表示同一函数?,解题思路:要判断两个函数是否为同个函数,只需判断其定 义域和对应关系是否相同即可,【互动探究】 2若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”例如解析式为 y2x21、值域为 9的孪生函数有三个: y2x21,x2; y2x21,x2; y2x21,x2,2 那么函数的解析式为 y2x21,值域为1,5的孪生函数共有,(,),C,A5 个,B4 个,C3 个,D2 个,考点3,求函数的定义域,答案:A,求一些具体
5、函数的定义域,有分母的保证分母不为 零;有开偶次方根的要保证被开方数为非负数;有对数函数保证 真数大于零,底数大于零且不等于 1.在求定义域的过程中,往往 需要解不等式(组),很多时候需要利用函数的单调性,A,lg(1x)的定义域是(,1 1x,),4(2011 年广东)函数 f(x) A(,1) B(1,) C(1,1)(1,) D(,),C,易错、易混、易漏,4对复合函数的定义域理解不透彻,例题:(1)若函数 f(x)的定义域为2,3,则 f(x1)的定义域为,_;,(2) 若 函 数 f(x 1) 的 定义域为 2,3 , 则 f(x) 的定义域为,_;,(3) 若函数 f(x 1) 的
6、定义域为 2,3 , 则 f(x) 的 定 义 域 为,_,f(2x1)的定义域为_;,(4)若函数 f(x)的值域为2,3,则 f(x1)的值域为_;f(x),1 的值域为_,(4)f(x1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位,不改变 值域f(x)1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1 个单位,所以f(x 1)的值域为2,3,f(x)1 的值域为1,2,【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值 域,加深对函数定义域的理解,弄明白f(x)与 fu(x)定义域之间的 区别与联系,其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与fu(x)中式子 u(x)的取值范围一致就行了.注
7、意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的 综合.,函数的概念含有三个要素,当函数的定义域及对应关系确定 之后,函数的值域也就随之确定因此,“定义域和对应关系” 为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系 分别相同时,这两个函数才是同一个函数,对于求抽象的复合函数的定义域,主要理解三种情形:已 知 f(x) 的定义域为a ,b ,求 fu(x) 的定义域,只需求不等 式 au(x)b 的解集即可;已知 fu(x)的定义域为a,b,求 f(x) 的定义域,只需求 u(x)的值域;已知 fu(x)的定义域为a,b, 求 fg(x)的定义域,必须先利用的方法求 f(x)的定义域然后利用
8、的方法求解,第2讲,函数的表示法,1函数的三种表示法,图象法,列表法,解析法,_、_、_ (1)图象法:就是_表示两个变量之间的关系 (2)列表法:就是_来表示两个变量的函数关系 (3)解析法:就是把两个变量的函数关系,用_来表示,2分段函数,列出表格,等式,在自变量的不同变化范围中,对应关系用不同式子来表示的 函数称为分段函数分段函数的对应关系为一整体,用函数图象,A,B,5已知函数f(x)x2|x2|,则f(1)_.,A,2,2 或 2,,若 f(a)2,则实数,考点1 求函数值,例1:(2011 年浙江)设函数 f(x),4 1x,a_.,答案:1,(2011 年广东)设函数 f(x)x
9、3cosx1.若 f(a)11,则 f(a),_.,解析:f(a)a3cosa111,即f(a)a3cosa10. 则f(a)(a)3cos(a)1a3cosa1 1019. 答案:9,【互动探究】 1已知 a,b 为常数,若 f(x)x24x3,f(axb)x210 x,24,则 5ab_.,2,考点 2 分段函数 例2:(2011 年北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品,已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15,分钟,那么 C 和 A 的值分别是(,),A75,25,B75,16,C60,25,D60,16,答案:D,若 f(1a)f(1a),则 a
10、 的值为_,答案:D,分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来 表示的,处理相关问题时,首先要确定自变量的值属于哪一个区 间,从而选定相应关系式代入计算特别地要注意分段区间端点 的取舍,【互动探究】,-2,考点3,求函数的解析式,例 3:(1)已知 f(x1)x21,求 f(x)的表达式; (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x1)2f(x1)2x17, 求 f(x);,解题思路:本题侧重于从映射的角度理解函数,求函数解析 式 f(x)即是求“对应关系 f 是如何对 x 实施运算的”,解析:(1)方法一:f(x1)x21 (x1)22x2(x1)22(x1), 可令tx1,则有f(
11、t)t22t,故f(x)x22x. (f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的) 方法二:令x1t,则xt1.代入原式,有 f(t)(t1)21t22t,f(x)x22x. (2)设f(x)axb(a0), 则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b axb5a2x17. a2,b7.故f(x)2x7.,【互动探究】 3已知 f(3x)4xlog23233,则 f(2)f(4)f(8)f(28)的,值等于_.,2 008,解析:f(3x)4xlog232334log23x233f(x)4log2x233,f(2)f(4)f(8)f(28)82334(log222log223lo
12、g228log22)1 8641442 008.,考点 4 函数中的信息给予题 例 4:符号x表示不超过 x 的最大整数,如3,1.08 2,定义函数xxx给出下列四个命题: 函数x的定义域是 R,值域为0,1; 函数x是周期函数; 函数x是增函数,其中正确命题的序号有(,),A,B,C,D,答案:C,【互动探究】 4(2011 年广东珠海模拟)对于任意实数 x,符号x表示 x 的 整数部分,即x是不超过 x 的最大整数,例如22;2.12; 2.23,这个函数x叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实 践中有广泛的应用那么log21log22log23log24,log264的值为(,),C,
13、A21,B76,C264,D642,1求抽象函数解析式的几种常用方法,(1)换元法:已知 fg(x)的表达式,欲求 f(x),我们常设 tg(x), 反解求得 xg1(t),然后代入 fg(x)的表达式,从而得到 f(t)的表 达式,即为 f(x)的表达式,(2)凑配法:若已知 fg(x)的表达式,欲求 f(x)的表达式,用换 元法有困难时如 g(x)不存在反函数,可把 g(x)看成一个整体,把 右边变为由 g(x)组成的式子,再换元求出 f(x)的式子,(3)消元法:已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一 个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方 法为消元法,(4)赋值法
14、:在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时 把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出 函数的表达式,2分段函数不论是研究性质,还是作图、求值,都是按自变,量的取值范围和对应关系分段处理,1在函数 f(x)中,符号 f 表示一种对应关系,可以是解析式,,可以是图象,也可以是图表,2分段函数是同一个函数,由于在不同区间上的解析关系式 不同,所以容易忽视自变量的取值范围,从而造成错误,第3讲,函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性的定义,(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有_或 _,则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于_对称 (2)对于函数 f(x)的定义域内任意一
15、个 x,都有_或 _,则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_轴对称 (3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函 数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称),原点,f(x)f(x),f(x)f(x)0,f(x)f(x)0,y,f(x)f(x),2函数的周期性的定义 对于函数 f(x),如果存在一个_T,使得定义域内的 每一个 x 值,都满足_,那么函数 f(x)就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的_,非零常数,f(xT)f(x),周期,D,A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数,),C,2下列函数中,在
16、其定义域内是奇函数的是(,C,Ay 轴对称 C坐标原点对称,B直线 yx 对称 D直线 yx 对称,4设函数 f(x)(x21)(xa)为奇函数,则 a_.,0,5设 f(x) 是( ,) 上的奇函数,f(x2) f(x) ,当,0 x1 时,f(x)x,则 f(7.5)_.,0.5,解析:由f(x2)f(x)得f(x4)f(x),故f(x)是以4为周期的函数故f(7.5)f(0.58)f(0.5)又f(x)是(,)上的奇函数,且当0 x1时,f(x)x,所以f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5.,考点1 判断函数的奇偶性 例1:判断下列函数的奇偶性:,解:(1)函数的定义域为x(,),
17、关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1| (|x1|x1|)f(x), f(x)|x1|x1|是奇函数 (2)此函数的定义域为x|x0 由于定义域关于原点不对称, 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (3)去掉绝对值符号,根据定义判断,故f(x)的定义域为1,0)(0,1,关于原点对称,且有x2 0.,故 f(x)为奇函数 (4)函数f(x)的定义域是(,0)(0,) 当x0 时,x0, f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0) 当 x0 时,x0,f(x)x(1x)f(x)(x0) 故函数f(x)为奇函数,(5)此函数的定义域为1,1,且f(x)0. 可知图象既关于原点对称、
18、又关于 y 轴对称, 故此函数既是奇函数又是偶函数,f(x)是奇函数,(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义 域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则 xD 时都 有xD)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件,因此判断函 数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 (2)分段函数的奇偶性一般要分段证明 (3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是:定义域(关于原点对 称)验证 f(x)f(x)下结论,还可以利用图象法或定义的等,【互动探究】,域均为 R,则(,),B,Af(x)与 g(x)均为偶函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数,Bf(x)为偶函数,g(x)为奇函数 Df(x)为奇函数,g(x
19、)为偶函数,0,1(2010年广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义,_.,解析:f(x)为偶函数,f(x)f(x)即x2|xa|(x)2 |xa|.a0.,考点2,利用函数的奇偶性求函数解析式,【互动探究】 3(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数,当 x0 时,f(x)x3x2,则当 x0 时,f(x)的解析式为_,_.,f(x)x3x2,4(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,,f(x)2x2x,则 f(1)(,),A,A3,B1,C1,D3,解析:f(1)f(1)2(1)2(1)3.故选 A.,考点3
20、,函数奇偶性与周期性的综合应用,答案:A,值的方法关键是通过周期性和奇偶性,把自变量转化到区间,本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数,5 2,0,1上进行求值,【互动探究】 5(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0 x2 时,f(x)x3x,则函数 yf(x)的图象在区间0,6上,与 x 轴的交点的个数为(,),B,A6,B7,C8,D9,解析:因为当0 x2 时,f(x)x3x,又因为f(x)是R 上最 小正周期为2 的周期函数,且 f(0)0,所以 f(6)f(4)f(2)f(0) 0,又因为f(1)0,所以 f(3)0,f(5)0.故函
21、数yf(x)的图象 在区间0,6上与x 轴的交点的个数为7 个,故选B.,D,Aabc Ccba,Bbac Dcab,2x,易错、易混、易漏 5判断函数奇偶性时没有考虑定义域 例题:给出四个函数:,ylg,; 2x,ylg(2x)lg(2x); ylg(x2)(x2); ylg(x2)lg(x2) 其中奇函数是_,偶函数是_,正解:的定义域相同,均为(2,2),且均有f(x)f(x), 所以都是奇函数;的定义域为(,2)(2,),且有 f(x)f(x),所以为偶函数;而的定义域为(2,)不对称, 因此为非奇非偶函数,答案: ,【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面对定 义域内任意一个
22、x,都有f(x)f(x),f(x)f(x)的实质是:函 数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件,对于函数 f(x)定义域中的任意 x,总存在一个常数 T(T0),,使得 f(xT)f(x)恒成立,则 T 是函数 yf(x)的一个周期,(1)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0),则 T2a 是它,的一个周期,(2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0),则 T2a 是它的,一个周期,(3)若函数 yf(x)满足 f(xa),1 f(x),(a0),则 T2a 是它的,一个周期,(4)若函数 yf(x)满足 f(xa),1 f(x),(a0),则 T2a 是
23、它的一,个周期,1f(x) 1f(x),(a0),则 T2a 是它,(5)若函数 yf(x)满足 f(xa) 的一个周期,(6)若函数 yf(x)(xR)的图象关于直线 xa 与 xb 对称,,则 T2|ba|是它的一个周期,(7)若函数 yf(x)(xR)的图象关于点(a,0)与 xb 对称,则 T,4|ba|是它的一个周期,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)f(x)或 f(x)f(x),则称 f(x)为奇(偶)函数因此在讨论函数的奇偶性时, 应首先求函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若不 对称,则函数不具备奇偶性,为非奇非偶函数;只有定义域关于 原点对称,才
24、有必要利用定义进一步研究其奇偶性,第4讲,函数的单调性与最值,1函数的单调性的定义,设函数 yf(x)的定义域为 A,区间 IA,如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1,x2,当 x1x2 时,都有_,那么就说 y f(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 yf(x)的_; 如果对于区间 I 内的任意两个值x1,x2,当x1x2 时,都有_, 那么就说 y f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ,I 称 为 y f(x) 的,_,单调增区间,f(x1)f(x2),单调减区间,f(x1)f(x2),2用导数的语言来描述函数的单调性 设函数 yf(x),如果在某区间 I 上_,那么 f(x
25、)为 区间 I 上的增函数;如果在某区间 I 上_,那么 f(x)为,区间 I 上的减函数,f(x)0,f(x)0,3函数的最大(小)值 设函数 yf(x)的定义域为 A,如果存在定值 x0A,使得对于 任意 xA,有_恒成立,那么称 f(x0)为 yf(x)的最大 值;如果存在定值 x0A,使得对于任意 xA,有_恒 成立,那么称 f(x0)为 yf(x)的最小值,f(x)f(x0),f(x)f(x0),Ak,1函数 yx26x 的减区间是(,),D,A(,2 C3,),B2,) D(,3,2函数 y(2k1)xb 在实数集上是增函数,则(,),A,1 2,Bk,1 2,Cb0,Db0,3已
26、知函数 f(x)的值域是2,3,则函数 f(x2)的值域为(,),D,A4,1 C4,10,5,B0,5 D2,3,解析:f(x2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位因此 f(x2)的值域不变,单调减区间是_,0,),5指数函数 y(a1)x 在(,)上为减函数,则实数 a,的取值范围为_.,1a2,4若函数f(x)(m1)x2mx3(xR)是偶函数,则f(x)的,例1:已知函数f(x)x2(x0,aR),考点1 利用定义判断函数的单调性,a x,(1)判断函数 f(x)的奇偶性;,(2)若 f(x)在区间2,)是增函数,求实数 a 的取值范围,当 a0 时,f(x)既不是奇函数也不是
27、偶函数,解:(1)当a0时,f(x)x2为偶函数,【互动探究】,2x x1,在区间(0,1)上,1试用函数单调性的定义判断函数 f(x) 的单调性,考点2 利用导数判断函数的单调性,函数,在区间(6,)上为增函数,试求实数 a 的取值范围 解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题 求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解,解析:函数f(x)的导数为f(x)x2axa1. 令f(x)0,解得x1或xa1. 当a11即a2时,函数f(x)在(1,)上为增函数,不合题意 当a11,即a2时,函数f(x)在(,1)上为增函数,在(1,a1)内为减函
28、数,在(a1,)上为增函数 依题意应有:当x(1,4)时,f(x)0. 当x(6,)时,f(x)0. 所以4a16,解得5a7, 所以a的取值范围是5,7,【互动探究】,mf(x)0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_.,m1,考点3 函数的最值与值域 例3:求下列函数的值域:,程,用判别式可求值域,也可把函数解析式化成A,(A,,解题思路:关于 x 的一次分式函数,可通过求关于 x 的方程 在定义域内有解的条件来求得值域,也可以经过变形(分离常量), 观察得出结果;关于有理分式函数,去分母化成关于 x 的二次方,B,xx1,B 是常数)的形式来求值域;可用换元法将无理函数化为有理函数 或将已
29、知等式化成关于 x 的二次方程,用判别式求函数的值域,【互动探究】 3求下列函数的值域:,易错、易混、易漏 6求函数的单调区间时没有考虑定义域 例题:(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x),log2(4xx2)的单调递减区间是(,),A(0,4),B(0,2),C(2,4),D(2,),正解:由4xx20 得 0x4,又由 u4xx2(x2)24 知函数 u 在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数 f(x) log2(4xx2)的单调递减区间是(2,4)故选 C. 答案:C 【失误与防范】易忽略 x 需满足4xx20 这个条件,求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、 图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域, 都必须考虑函数的定义域,1在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确如函,有的函数既无最大值也无最小值,如y.,2并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最 小值,如 yx2;有的函数只有最小值而无最大值,如 yx2;,1 x,