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1、第4讲,轨迹与方程,求轨迹方程的常用方法,(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，,直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程,(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数 (3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭,圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求,(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程 (5)参数法：当动点 P(x，y
2、)坐标之间的关系不易直接找到，也 没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示， 得参数方程，再消去参数得普通方程,A双曲线,B椭圆,C圆,D抛物线,D,D,4在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_. 5(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为_.,y28x,y28x,解析：定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p4所以其方程为y28x.,3已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_,(x10)2y2
3、36(y0),考点1利用直接法求轨迹方程,例1：如图 1241 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,解析：设点 M 的坐标为(x，y)， M 是线段 AB 的中点，,图 1241,求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系 的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通 过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系,D,考点2 利用定义法求轨迹方程,图D20,求曲线的方程，然后利用圆锥曲线的定义或圆锥 曲线中有关几何元素的范围求最值(范围)是高考的一种基本模
4、式 广东试题(2011 年、2009 年即是如此)这样出题，一改直线与圆 锥曲线联立这一传统，多少有些出乎意料，在备考时应予以关注,【互动探究】,2已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程,图 D21,解：如图D21，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.,考点3,利用相关点法求轨迹方程,例3：已知点 A 在圆 x2y216 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程,点P 为M
5、A 的中点，点 M 为固定点，点A 为圆 上的动点，因此利用点P 的坐标代换点 A 的坐标，从而代入圆的 方程求解，这种求轨迹方程的方法叫相关点法(也有资料称转移 法),【互动探究】 3设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹,考点4利用参数法求轨迹方程,图1242,又点B在抛物线yx2上，所以y1x. 再将式代入y1x，得 (1)2x2(1)y(1)x2 (1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2 2(1)x(1)y(1)0. 因0，两边同除以(1)，得 2xy10. 故所求点P的轨迹方程为y2x1.,1如果问题中涉及平面向量知识，那么应从已知向量的特点 出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数 形式进行转化,2在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性 质”、“数形结合”、“方程与函数性质”化解析几何问题为代 数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等 式”、“求变量范围构造不等关系”等等,3如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可,选择应用“斜率或向量”为桥梁转化,1能用定义法求轨迹方程可以减少大量的运算，因此对椭圆、,双曲线、抛物线的定义要理解透彻,2利用参数法求轨迹方程要注意参数的范围，要注意转化的,等价性,