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1、第6讲,函数与方程,1函数的零点,实根,交点,f(a)f(b)0,(1)方程 f(x)0 有_函数 yf(x)的图象与 x 轴有_ 函数 yf(x)有零点； (2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且 有_，则函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点一般把这一 结论称为零点存在性定理,2二分法,f(m)f(n)0,二分法,如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲 线，且_，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫做_,1图 361 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同
2、的公,共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间(,),上的零点(,),B,图 361,A2.1，1 C4.1,5,B1.9,2.3 D5,6.1,3lgx0 有解的区域是(,2用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计 算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应,计算_以上横线上应填的内容为(,),A,A(0,0.5)，f(0.25) C(0.5,1)，f(0.75),B(0,1)，f(0.25) D(0,0.5)，f(0.125),1 x,),B,A(0,1 C(10,100,B(1,10 D(100，),4(2010 年天津)函数 f(x)exx2
3、 的零点所在的一个区间,是(,),C,A(2，1) C(0,1),B(1,0) D(1,2),5关于 x 的一元二次方程 5x2ax10 有两个不同的实根， 一根位于区间(1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围,为_.,考点1,判断函数零点所在的区间,例1：利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：,那么方程 2xx2 的一个根位于下列哪个区间(,),A(0.6,1.0) C(1.8,2.2),B(1.4,1.8) D(2.6,3.0),解题思路：判断函数 f(x)2xx2 在各个区间两端点的符号 解析：由 f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.01.00，
4、排除 A；由 f(1.4)2.6391.960，f(1.8)3.4823.240，排除 B；由 f(1.8)3.4823.240，f(2.2)4.5954.840，可确定方程2xx2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上,答案：C,的零点所在的区间为(,),答案：C,(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)ex4x3,判断函数 yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；利用函数零点的存在性定理进行判断； 通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断,【互动探究】,2,1(2011年山东)已知
5、函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.,解析：f(2)loga22b0， x0(2,3)故所求的n2.,考点2,二分法的应用,例2：已知函数 f(x)lnx2x6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点；,解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)， 设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2. lnx12x16lnx22x26. f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数,给定精度，用二分法求函数 yf(x)的零点近似值,的步骤如下：,(1)确定区间m，n，验证
6、f(m)f(n)0，给定精度； (2)求区间m，n的中点x1； (3)计算f(x1)： 若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点； 若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)； 若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n),【互动探究】,2用二分法求方程 x32x50 在区间2,3上的近似解，取 区间中点 x02.5，那么下一个有解区间为_,2,2.5,解析：令f(x)x32x5，则f(2)2322510，故下一个有解区间为2,2.5,考点3,利用导数讨论方程的根的分布,例3：(2011 年天津)已知函数 f(x)4x33tx26t2xt1，其 中 tR.
7、(1)当 t1 时，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当 t0 时，求 f(x)的单调区间； (3)证明：对任意 t(0，)，f(x)在区间(0,1)内存在零点,解析：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0， f(x)12x26x6，f(0)6. 所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.,【互动探究】 3若函数 f(x)x33xa 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取,值范围是(,),A,A(2,2) C(，1),B2,2 D(1，),思想与方法 5运用函数与方程思想判断方程根的分布 例题：已知 f(x)log4(4x1)kx(kR)是
8、偶函数 (1)求 k 的值；,一个公共点，求实数 a 的取值范围,将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保 证转化的等价性；解决一元二次方程的实根分布问题时一定要结 合图象，从各个方面考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判 别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等,与二次方程 f(x)ax2bxc0(a0)的根的分布有关的结论： (1)方程 f(x)0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af(r)0. (2)方程 f(x)0 的两根都大于 r,(3)方程 f(x)0 在区间(p，q)内有两根,(4)方程 f(x)0 在区间(p，q)内只有一根 f(p)f(q)0，或 f(p)0，另一根在(p，q)内，或 f(q)0，另 一根在(p，q)内 (5)方程 f(x)0 的两根 x1，x2 中，px1qx2(pq) f(p)f(q)0.,1函数的零点不是点，它是函数 yf(x)与 x 轴交点的横坐标，,是方程 f(x)0 的根,2使用根的存在性定理要注意以下三点：函数 yf(x)在区 间a，b上连续；满足 f(a)f(b)0；(3)该定理只能求变号零点， 对非变号零点则不适用，因此只是零点存在的一个充分条件，但 不必要,