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1、2.6函数与方程,高考文数 (课标专用),考点二函数零点的应用 (2017课标全国,12,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=() A.-B.C.D.1 答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=. 令h(t)=,易得h(t)为偶函数, 又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0, 所以a=,故选C.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,考点一函数零
2、点个数或所在区间的判定 1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+),B组 自主命题省（区、市）卷题组,答案Cf(1)=6-log21=60, f(2)=3-log22=20, f(3)=2-log230, f(4)=-log24=-20,包含f (x)零点的区间是(2,4),故选C.,2.(2014湖北,9,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为() A.1,3 B.-3,-1,1,3 C.
3、2-,1,3D.-2-,1,3,答案D当x0时, f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1. 当x0,f(-x)=(-x)2-3(-x), -f(x)=x2+3x,f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0,得x3=-2-,x4=-2+0(舍), 函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是-2-,1,3,故选D.,评析本题考查奇函数的性质、一元二次方程的根等知识,忽略x的范围会导致出错.,3.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个 数为() A.2B.3C.4D
4、.5,答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y =f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示. 由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.,4.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为.,答案2,解析f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y
5、2=x2的图象如图所示: 由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.,5.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是 .,答案2,解析当x0时,由x2-2=0得x=-;当x0时, f(x)=2x-6+ln x在(0,+)上为增函数,且f(2)=ln 2-20,所以f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.综上可知f(x)的零点个数为2.,6.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上, f(x)=其中集 合D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .,答案8,解析解法一:由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况, 在
6、此范围内,xQ且xZ时,设x=,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可设lg x =,m,nN*,m2且m,n互质,因此1=,则10n=,此时等号左边为整数,等号右边为非整 数,矛盾.因此lg xQ, 因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等, 只需考虑lg x与每个周期内xD对应的部分的交点. 画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)= 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,解法二:先证明结论:1k-,其中p,qN*且p,q互质,k,nN*. 假设1=k-,则10q=. 左边是整数,而右边
7、不是整数,矛盾. 则1k-, 则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中kN*,x0,1), 该方程即k=10f(x)-x. 当xD时,该方程有唯一解x=0,此时k=1, 由于函数y=10 x-x在(0,1)上单调递增, 因此,当xD时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解. 综上所述,方程的解的个数为8.,考点二函数零点的应用 1.(2014重庆,10,5分)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个 不同的零点,则实数m的取值范围是() A.B. C.D.,答案A令g(x)=0,则f(x)=m(x+1),故函数g(x)在(-1,1内有且仅有两
8、个不同的零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=m(x+1)有且仅有两个不同的交点.函数f(x)的图象如图中实线所示.易求kAB=,kAC=-2,过A(-1,0)作曲线的切线,不妨设切线方程为y=k(x+1), 由得kx2+(2k+3)x+2+k=0, 则=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解之得k=-. 故实数m的取值范围为.,评析本题考查函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的关系,考查转化与化归思想和数形结合思想的应用.本题的易错点是忽视过点A的直线与f(x)的图象有两个公共点.,2.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.,答
9、案(0,2),解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b(0,2).,3.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为 .,答案-,解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.,4.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实
10、数a 的取值范围为 .,答案(1,2),解析函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点等价于函数y=f(x)和y=a|x|的图象恰有4个公共点. 在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)和y=a|x|的图象可知,若满足条件,则a0. 当a2时,在y轴右侧,两函数图象只有一个公共点,此时在y轴左侧,射线y=-ax(x0)与抛物线y=-x2-5x-4(-4x-1)需相切. 由消去y,得x2+(5-a)x+4=0. 由=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9. a=1与a2矛盾,a=9时,切点的横坐标为2,不符合.故0a2,此时,在y轴右侧,两函数图象有两个,公共点,若满足条件,则-a1.故1a2
11、.,5.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m0.若存在实数b,使得关于x的方 程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .,答案(3,+),解析f(x)的图象如图所示, 若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m23或m0,所以m3.,方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.,评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.,考点一函数零点个数或所在区间的判定 (2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为() A.B. C.
12、D. 答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图, 作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间内,又f=- 20.故选C.,C组 教师专用题组,考点一函数零点个数或所在区间的判定 1.(2018内蒙古呼和浩特质量普查)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案Cf(1)=-=-20.f(2)f(3)0. 函数的零点所在的区间是(2,3).选C.,2.(2018辽宁朝阳一模)方程4sin x=在-2,4内根的个数为() A.6B
13、.7C.5D.8,答案D由原方程得2sin x=,在同一直角坐标系中作出函数y=2sin x与y=的图象, 如图,由图象可知,在区间-2,4内,两函数图象共有8个交点,故选D.,3.(2017陕西渭南二模)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是() A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5),答案B由题意可知函数f(x)是定义在(0,1)(1,+)上的增函数,又注意到f(2)=ln 2-20,所以f(2)f(3)0,根据零点存在性定理,知函数f(x)=ln x-在区间(2,3)上必存在零 点.故选B.,4.(2018重庆酉阳一中期末)定义域为R的偶函数f(x)满足xR,有f(
14、x+2)=f(x)-f(1),且当x2,3时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至多有三个零点,则a的取值范围是.,答案(1,+),解析f(x+2)=f(x)-f(1),f(-1+2)=f(-1)-f(1), 又f(x)是定义域为R的偶函数, f(-1)=f(1), f(1)=0,则有f(x+2)=f(x), f(x)是周期为2的偶函数. 当x2,3时,f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2, 函数的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线. 函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至多有三个零点, 令g(x)=
15、loga(|x|+1),f(x)的图象和g(x)的图象在(0,+)上至多有3个交点. 可以分两种情况:其一是有交点,其二是一个交点也没有, 当一个交点都没有时,a1. 当有交点时,f(x)0,g(x)0,可得0a1, 要使函数y=f(x)-loga(|x|+1)在(0,+)上至多有三个零点, 则有g(4)f(4),可得loga(4+1)f(4)=-2,即loga5,解得a或a-,又0a1,a1,故答案为(1,+).,5.(2017甘肃肃南一中模拟)已知函数f(x)=g(x)=ln x,则函数y=f(x)-g(x)的零点个 数为.,答案3,解析由y=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),
16、所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数g(x)的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与函数g(x)的图象(如图所示),结合图象可知,函数f(x)与函数g(x)的图象有三个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有三个零点.,考点二函数零点的应用 1.(2018辽宁辽阳一模)设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a +2b+2c的取值范围是() A.(16,32)B.(17,35)C.(18,34)D.(6,7),答案C不妨设abc,则1-2a=2b-1,得2a+2b=2, 结合图象可知c(4,5),则2a+2
17、b+2c=2+2c(18,34),故选C.,2.(2018黑龙江佳木斯一中七调)已知f(x)=若函数f(x)有四个零点,则实数a的取值 范围是() A.B. C.D.(-,-e),答案B由题易知f(x)是偶函数,则x0时,a=-有两个解. 令g(x)=-,则g(x)=,所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减. 所以g(x)max=g(2)=-,又x0时,g(x)-,x+时,g(x)-,所以a-.故选B.,3.(2017甘肃兰州高考实战模拟)已知a,bR,定义运算“”:ab=函数f(x)=(x2-2) (x-1),xR,若方程f(x)-a=0只有两个不同实数根,则实数a的取值
18、范围是() A.-2,-1(1,2)B.(-2,-1(1,2 C.-2,-11,2D.(-2,-1(1,2),答案B由x2-2-(x-1)1,解得x-1,2,故f(x)=函数图象如图所示,可知f(x)=a 有两个不同实数根时,a的取值范围是(-2,-1(1,2.,4.(2017辽宁锦州质检(二)若方程|ln x|=a有两个不等的实根x1和x2,则x1+x2的取值范围是( ) A.(1,+)B.(,+) C.(2,+)D.(0,1),答案C令f(x)=|ln x|= f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,且f(1)=0, 方程|ln x|=a有两个不等的实根x1和x2,不妨设x
19、12,故选C.,5.(2018吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联合模拟)函数f(x)满足对任意xR,都有f(x+2)=-f(-x),且f(x)=g(x)=-x+,则函数h(x)=f(x)-g(x)在(-1,3)上的零点之和是 .,答案4,解析f(x+2)=-f(-x),f(1)=0,易知在区间(-1,3)上,函数f(x)的图象和直线g(x)=-x+都关于 点(1,0)中心对称,且直线g(x)=-x+和曲线f(x)在区间(-1,3)上有四个交点,根据点的对称性得 到h(x)在(-1,3)上的零点之和为4.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:40分钟分值:40分) 一、选择题(每
20、题5分,共30分) 1.(2018辽宁凌源一模)已知函数f(x)=,若关于x的方程f 2(x)+2a2=3a|f(x)|有且仅有4个不等实 根,则实数a的取值范围为() A.B.C.(0,e)D.(0,+),答案B函数f(x)=的图象如图所示,极小值点为x=1,f(1)=e.f(x)0时,方程f 2(x)+2a2=3a|f(x)| 等价于f(x)=a或f(x)=2a;f(x)e,即ae.故选B.,2.(2018陕西质检)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意x都满足f(x+1)=-f(x),且当0 x1时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数为() A.2B.3C.4
21、D.5,答案B当-1x0时,0 x+11, 此时有f(x)=-f(x+1)=-x-1, f(x+1)=-f(x), f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x), 函数y=f(x)是周期为2的周期函数. 令g(x)=f(x)-ln |x|=0,则f(x)=ln |x|, 则函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数即为函数y=f(x)的图象与函数y=ln |x|的图象交点的个数. 在同一直角坐标系内画出函数y=f(x)和函数y=ln |x|的图象(如图所示),结合图象可得两函数的图象有三个交点, 函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数为3.选B.,3.(2018海南二模)已知
22、a1,方程ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则+2x1x2的取值 范围为() A.(1,+)B.(0,+)C.D.,答案A方程ex+x-a=0的根,即y=ex与y=a-x图象的交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即 y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,而y=ex与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示. x1+x2=a,+2x1x2=a2,又a1, +2x1x21,故选A.,4.(2017重庆质量调研(第一次)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三个 不同实数根,则m的取值范围是() A.m2,答案B因为x0时,
23、f(x)=2-x1;x0时,f(x)=-ln xR,且f(x)单调递减,所以当t1时,f(x)=t有两个不同的根;当t1时,f(x)=t有一个根.因此要使关于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三个不同实数根,需使方程t2+t+m=0有一个小于1的根,一个不小于1的根,则1+1+m0m-2,选B.,5.(2017宁夏石嘴山三中二模)已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x0,1时,f(x)=x,若在区间(- 1,1上,g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,则实数m的取值范围是() A.m1B.0m C.0mD.m1,答案B当x(-1,0)时,x+1(0,1), f(x)+1=,f(x)=
24、-1=-1, f(x)= g(x)=f(x)-mx-2m在区间(-1,1上有两个零点, 即函数y=f(x)与y=m(x+2)的图象有两个不同的交点. 而y=m(x+2)表示过点P(-2,0),且斜率为m的直线. 作y=f(x)在(-1,1上的图象如图.,kAP=, 显然0mkAP,即0m时,直线y=m(x+2)与y=f(x)的图象有两个不同的交点,即g(x)在区间(-1, 1上有两个零点.故选B.,6.(2017甘肃高台一中四模)设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2, x3,x4,且x1x2x3x4,则x3(x1+x2)+的取值范围是() A.(-3,+)B.(-
25、,3)C.-3,3)D.(-3,3,答案D由题意得x1+x2=-22=-4,-log2x3=log2x4x3x4=1, 所以x3(x1+x2)+=-4x3+,又易知x31, 所以x3(x1+x2)+=-4x3+(-3,3,故选D.,二、填空题(每题5分,共10分) 7.(2018吉林四平质量检测)设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x-2)=f(x+2)且当x-2,0时,f(x)=-1,若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3个不同的实数根, 则a的取值范围是.,答案(,2),解析对于任意的xR,都有f(x-2)=f(2+x),函数f(x)
26、是一个周期函数,且T=4,又当x-2,0时,f(x)=-1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+ 2)=0恰有3个不同的实数根,则函数y=f(x)与y=loga(x+2)的图象在区间(-2,6上有三个不同的交点,画出y=f(x)与y=loga(x+2)的图象,如图所示,则即解得a2,故 答案为(,2).,8.(2017黑龙江佳木斯一中第五次调研)函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是 .,答案(-,-1),解析函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点, f(-1)f(1)0,a.故答案为(-,-1).,