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1、第1讲绝对值不等式,最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.,知 识 梳 理,1.绝对值不等式的解法,(1)含绝对值的不等式|x|a的解集,(a，a),(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法 |axb|c_； |axb|c_；,caxbc,axbc或axbc,(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形
2、结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则_|ab|_，当且仅当_时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立.,|a|b|,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,(ab)(bc)0,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)若|x|c的解集为R，则c0.() (2)不等式|x1|x2|2的解集为.() (3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.() (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成
3、立.() (5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.() 答案(1)(2)(3)(4)(5),2.若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为() A.5或8 B.1或5 C.1或4 D.4或8,答案D,3.(2015山东卷)不等式|x1|x5|2的解集为_. 解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1. 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4， 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(，4). 答案(，4),4.若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_. 解析|kx4|2，
4、2kx42，2kx6. 不等式的解集为x|1x3，k2. 答案2,考点一含绝对值不等式的解法,【例1】 解不等式|x1|x2|5. 解法一如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，).,规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在
5、每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.,【训练1】 (2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.,(1)在图中画出yf(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|1的解集.,考点二含参数的绝对值不等式问题,【例2】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值； (2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.,解(1)x，yR， |x1|x|(
6、x1)x|1， |y1|y1|(y1)(y1)|2， |x1|x|y1|y1|123. |x1|x|y1|y1|的最小值为3. (2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.,规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.,解(1)|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1， 关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时，d1.,考点三含绝对值的不等式的应用,解(1)当a2时，f(x)|2x2|2. 解
7、不等式|2x2|26得1x3. 因此f(x)6的解集为x|1x3.,(2)当xR时， f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立， 所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3. 当a1时，等价于1aa3，无解. 当a1时，等价于a1a3，解得a2. 所以实数a的取值范围是2，).,规律方法(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,【训练3】 (2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当a1时，求不等式f(x)1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.,思想方法 1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法. 2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.,易错防范 1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件. 2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.,