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1、1 绝对值不等式核心考点精准研析考点一绝对值不等式的解法1.求不等式|1-2x|1的解集.2.求不等式|x-5|+|x+3|6的解集.3.求不等式x+|2x+3|2的解集.【解析】1.因为|1-2x|1,所以|2x-1|1,所以-12x-11,所以0x1,所以不等式的解集为x|0x6,所以原不等式的解集为R.3.因为原不等式可化为或解得x-5或x-.综上,原不等式的解集是.解绝对值不等式的根本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解
2、.考点二绝对值不等式性质的应用【典例】(2022重庆模拟)函数f(x)=|2x+1|.(1)解不等式f(x)x+5.(2)假设对于任意x,yR,有|x-3y-1|,|2y+1|,求证f(x)x+5|2x+1|x+52x+1x+5或2x+14或x-2.(2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|2|x-3y-1|+3|2y+1|1的解集.(2)假设x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立,等价于当x(0,1)时|ax-1
3、|0,那么|ax-1|1的解集为,所以1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.函数图像与绝对值不等式【典例】(2022全国卷)设函数f=+. (1)画出y=f的图像;(2)当x时, fax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图像如下图.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各局部所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)上成立,因此a+b的最小值为5.恒成立和存在性问题【典例】(2022全国卷)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集.(2)假设f(x)1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2,所以a的取值范围是(-,-62,+).- 4 -